工程力学梁的内力及其求法

F
(a) A
C
D
B
得
FSD
?
FC
?
F
?
F 2
l/2
l/2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l/2
对截面D的形心O取矩
F (c) A
C
D
F SD MD
? MO ? 0,
?
FC
l 2
?
Fl
?
MD
?
0
FC
MD D
B
F SD
FB
l Fl
得
MD
? ? Fl ? FC
?? 2
4
（上侧纤维受拉）
简便法：
(1) 横截面上的剪力，在数值上等于该截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体 上所有外力沿该截面投影的代数和。如果外力对截面有顺时针转动的趋势则为 正，反之为负。
m x
l
(b) FA
(c)
FS M
F M
FS
根据左段梁的平衡条件，由平衡方程：
B
FB
? Fy ? 0
FA ? FS ? 0
可得
FS ? FA
设o点为m-m截面的形心
? M O ? 0 ? FA x ? M ? 0
FB
可得
M ? FAx
例题9?1 试求图 a所示梁D截面上的剪力和弯矩。
，
解：（1）求支反力FC和FB
(a) F1
FS M
左端脱离体
F2
(b)
M
FS
右端脱离体
(2) 横截面上的弯矩，在数值上等于截面任意一侧（左侧或右侧）脱离体上 所有外力对该截面形心取矩的代数和。使该截面下侧受拉的外力矩取正号， 使该截面上侧受拉的外力矩取负号。
(a) F1
FS
M
M1
左端脱离体
(b) M FS
F2 M2
右端脱离体
例题9?2 试求悬臂梁C截面上的剪力和弯矩。
§9-2 梁的内力及其求法
一、梁的剪力和弯矩
(a) A FA
F m
m x
l
(b) A
FS M
FA F
(c)
M
FS
梁在竖向荷载作用下，其横截面上的内力有剪 力和弯矩。
B
FB
剪力FS：沿截面切线方向的内力。单位为N
或kN
弯矩M：梁的横截面上作用在纵向平面内 的内力偶矩。单位是N·m或kN·m
B
FB
二、剪力、弯矩符号的规定
FS2
?
?
FB
?
?
1 4
ql
M2
?
? Me2
?
?
1 4
ql 2
M e1=ql2/2
q
1
A
1
Me2=ql2/4
2 2B
l/2 FA
l/2 FB
习题9-2c，d
习题3
可得
? MB ? 0
可得
（2）求1-1截面上的内力
1
FB
?
ql 4
FA
?
3 ql 4
M e1=ql2/2
q
1
A
1
Me2=ql2/4
2 2B
FS1
?
3 ql 4
?
1 ql 2
?
1 ql 4
l/2 FA
M1
?
3 ql 2 8
?
1 ql 2 8
?
1 ql 2 2
?
?
1 ql 2 4
l/2 FB
（3）求2-2截面上的内力
q=5kN/m
F=8kN
A
B
C a=1m
l=3m
解：
FSC ? F ? qa ? 8 ? 5 ? 1 ? 13kN
MC
?
? Fa
?
1 qa 2 2
?
?8?1?
1? 2
5? 12
?
? 10.5kN ?m
例题9?3 求图示梁截面1?1和2?2上的剪力和弯矩。
解：（1）求支座反力。考虑梁的平衡，由
? MA ? 0
取梁分析，受力如图b
? MC ? 0
解得
? MB ? 0
FB
l
?
F
l 2
?
0
F FB ? ? 2
?? ?
3l , ? FC l ? F 2 ? 0
F (a) A
l/2
C l/2
F (b) A
C FC
D
B
l/2
B FB
解得
FC
?
3F 2
（2）计算D截面上的剪力 FSD和弯矩MD
? Fy ? 0 , FC ? F ? FSD ? 0
FS
FS
FS
FS
(a)
(b)
M
M
M
M
(a)
(b)
1．剪力符号规定：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势 则为正，反之为负。
2．弯矩符号规定：截面上的弯矩如果使考虑的脱离体下侧纵向纤维受拉为正， 反之如果使考虑的脱离体上侧纵向纤维受拉为负。
三、内力计算（截面法、简便法）
截面法：
F
m
(a) A FA