高考数学坐标系
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(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平 面直角坐标系中任意一点,在变换_φ_:__xy_′′_= =__λμ_xy_,,__λμ>_>_00_,的作 用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称_φ_为平面直角坐
标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
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4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过 极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在 极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方 程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置 的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方 法相比较,体会它们的区别.
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【反思感悟】 本题求点的轨迹,考查建坐标系和 数形结合思想,利用勾股定理、两点间距离公式等 知识,巧妙探求动点P满足的条件.
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1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转 动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽 AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D在滑槽AB内作往复运 动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画 出的曲线记为C.以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图②所 示的平面直角坐标系. 试求曲线C的方程.
坐标系是现代数学中的重要内容,它在数学发展的历史上起过划
时代的作用.坐标系的创建,在代数和几何之间架起了一座桥梁.利 用坐标系,我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位
置,也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用 代数的方法来描述,几何图形可以通过代数形式来表达,这样便
可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来,又可将先进的
两种坐标系的概念
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2课时
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§1 平面直角坐标系
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1.坐标系 (1)坐标法:根据几何对象的_特__征___,选择适当的坐标 系,建立它的_方__程__,通过_方__程__研究它的__性__质__及 与其他几何图形的关系 .
(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步,建立 适当坐标系,用坐标和方程表示问题中涉及的_几__何__元 素,将几何问题转化成_代__数__问题;第二步,通过代数
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【学习计划】
内容
学习重点
建议学习时间
平面直角坐标系 极坐标系
坐标系的选择;直角坐标系下 的伸缩变换
极坐标的概念
2课时 1课时
点的极坐标与直角坐标的互化
1课时
直线和圆的极坐标方程
1课时
曲线的极坐标方程与直角坐标 方程的互化
1课时
圆锥曲线统一的极坐标方程
1课时
柱坐标系和球坐标系
【综合评价】
通过直角坐标系,平面和空间中的点与坐标(有序数组)、 曲线与方程建立了联系,实现了数形结合,这些数所表示 的几何含义是不同的,同一曲线在不同坐标系下的方程也 有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择 不同的坐标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标 系,其中极坐标系是重点内容,同学们要认真领会极坐标 系下直线和圆的方程,理解它们的特点、意义.
代数方法应用于几何学的研究. 建立直角坐标系,数形结合,我们可以解决许多数学问题,如函
数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.
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【例 1】 如图所示,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1, |O1O2|=4,过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点),使得|PM|= 2|PN|, 试建立适当的坐标系,求动点 P 的轨迹方程. 分析 本题是解析几何中求轨迹方程问题,由题意建立坐 标系,写出相关点的坐标,由几何关系式:|PM|= 2|PN|, 即|PM|2=2|PN|2,结合图形由勾股定理转化为|PO1|2-12= 2(|PO2|2-12).设 P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化 简整理可得.
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解 设点 D(t,0)(|t|≤2),N(x0,y0),M(x,y),依题意,M→D =2D→N,且|D→N|=|O→N|=1, 所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0), 且( x20+x0y-20=t)1.2+y20=1,即ty-=x-=22yx00,-2t, 且 t(t-2x0)=0.由于当点 D 不动时,点 N 也不动,所以 t 不恒等于 0,于是 t=2x0, 故 x0=4x,y0=-2y.代入 x20+y20=1, 可得1x62 +y42=1,即所求的曲线 C 的方程为1x62 +y42=1.
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解 以 O1O2 的中点 O 为原点,O1O2 所在的直线为 x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则 O1(-2,0), O2(2,0).由已知|PM|= 2|PN|,得|PM|2=2|PN|2. 因为两圆的半径均为 1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设 P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33, 所以所求轨迹方程为(x-6)2+y2=33(或 x2+y2-12x +3=0).
运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻 译”成_几__何__结论.
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2.平面直角坐标系的作用 平面直角坐标系的作用:使平面上的点与_坐__标__(有__序__实__数__对__)_, 曲线与_方__程__建立联系,从而实现__数__与__形__的结合.
3.平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换 就可归结为__坐__标___伸缩变换,这就是用__代__数__方__法__研究_几__何__ 变换.
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【学习目标】
1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体 会坐标系的作用.
2.通过具体例子,了解在平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极 坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别, 能进行极坐标和直角坐标的互化.
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【思维导图】
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【知能要点】
1.回顾坐标系有关概念,体会坐标系的作用. 2.了解建立坐标系的方法和原则. 3.坐标伸缩变换 φ:xy′′= =λμxy,,λμ>>00,.
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题型一 平面直角坐标系