电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
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电磁场与电磁波课件 第3章2
∫ B ⋅ dl =µ I
l 0
Bϕ r 2π = µ 0 I
µ0 I Bϕ = 2πr
(3)外圈R2<r<R3， 取一半径为r的圆作积分回路，穿过圆面积的 电流为I’。 2 2 r 2 − R2 R3 − r 2 ∫ B ⋅ dl =µ0 I
I'= I − I
R3 − R2
2
2
=I
R3 − R2
3.3 恒定磁场分析
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
恒定磁场分析的基本变量 一个源变量 两个场变量
r J
r r r µ ( Idl × er ) 磁感应强度（磁通密度） = B 4π ∫ r2 l
单位为T（特斯拉）
r r r 1 ( Idl × er ) 磁场强度（单位安/米） H = 4π ∫ r2 l r r B = µH
解：本题中B线是中心位于芯线轴上的同心圆。 (1) 芯线内，r<R1，电流密度J=I/πR12，作一半径为r的圆作为积 分回路，用柱坐标，穿过圆面积的电流I’为 r r r2 I r2 I'= ⋅ πr 2 = I 2 ∫ B • dl = µ0 I R12 2 πR1 R1 l
µ 0 Ir r2 Bϕ = Bϕ r 2π = µ 0 I 2 2 2πR1 R1 (2) 中间层中R1<r<R2，取一半径为r的 圆作积分回路，穿过圆面积的电流为I
求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a，导线间距离D>>a。 例1 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为 ，导线间距离 。
y
总的磁感应强度
B = µ0 ( H1 + H2 ) = e y
x
dx
×
电磁场理论基础-第三章静态场及其边值问题的解
CEdl
0
SDdS V ρdVq
E C
Байду номын сангаас
dl
0
J
S
dS
0
C
Hdl
SJ
dS
I
S BdS 0
H
E
J
D
t
B
t
B D
0
J
t
E 0
D
E 0 J 0
H
J
B 0
en
( H 1
H
2)
Js
en
(E 1
E 2
)
0
en en
( (
B1 D1
6. 静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为1和2。当两点间距离Δl→0时
12Δ ll i0m P P 1 2E d l0
由 e n(D 1 D 和2 1) S 2
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1n1
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
(4) 求比值Cq U，即得出所求电容。
例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为b，其 间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。
解：设内导体的电荷为q ，则由高斯定理可求得内外导体间
的电场
q
q
D er4πr2, Eer4πr2
同心导体间的电压
U bE d rq(11 )qb a
BAA BEldl
若选取P点 xp, yp,zp 为电位参考点（即 p 0 ）
则任意点A x, y, 的z 电位为
静态电磁场边值问题精品PPT课件
φ=0 h r2
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
qq
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
场源、边界条件不变
-q
19
待求电位：
点电荷q与-q各自产生电位的叠加：
q q
4r1 4r2
20
待求区域电场强度：
Ex
4qx
1 r13
1 r23
Ey
4qy
1 r13
1 r23
Ez 4qzr13hzr23h
21
导体平面上的感应电荷：
s DnEz
qh
2 x2y2h2 3
qs sdS
n Si gi
i 1,2,, n
gi：边界Si上的位函数外法向偏导数值
10
第三类边值问题
边界条件：求解区域边界分为两部分，一部分边 界上给定位函数值，另一部分边界上 给定位函数沿边界外法向的偏导数值
2
F 0
Si
fi
i 1,2, , k
n Si gi
i k 1, k 2, , n
电磁场与电磁波
静态电磁场边值问题
内容
边值问题 唯一性定理 镜像法 分离变量法
2
作业
1. P137：4.1、4.2、4.3 2. 矩形槽沿直角坐标y方向无限延伸，槽两侧电位为 零，当y→∞时，电位φ→0，底部电位为φ(x, 0) =U0 ， 求槽内电位分布。
3
边值问题
概述
静态场问题
分布型问题：已知场源（电荷、电流），直接计 算空间各点的场强或位函数 边值型问题：已知⑴.位函数方程；⑵.空间某一 确定区域内的场源分布；⑶.该区域的边界条件 （边界面上的位函数或位函数的法向导数），求 区域内位函数的分布
分析：待求电位由q与导体平面感应电荷共同产生；
导体平面感应电荷未知，其
第三章静态电磁场及其边值问题
2 2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
y
有题设边界条件： x 0处，1 0 0; 1 x b处，1 b 2 b . x a处， 2 a 0 2 x 1 x 3 x
o
b
a
x
2.
s 0 b a s 0b 解得：C1 , D1 0 D2 . 0a 0 b a b 1 x s 0 x ; 2 x s 0 a x 0a 0a s 0 b a s 0b d1 x d 2 x E1 x 1 x e x ex ; E2 x 2 x e x ex dx 0a dx 0a
电位满足的拉普拉斯方程
2 2 2 在直角坐标系中 2 2 2 x y z 补充例题 半径为a 的带电导体球，其电位为U（无穷远处电位为零），试计 算球外空间的电位。 C1 C2 2 r 解：◇ 球外空间的电位满足拉氏方程 0
2
由题意可知电位及电场具有球对称性 r 在球坐标系下
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r ' ◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' / 0
满足的方程：2G r , r ' r r ' 1 无界空间中的解：G r , r ' r , r ' 0 ◇ 定义格林函数 G r, r ' 0 r, r ' 4 r r ' 格林函数的对称性：G r , r ' G r ', r 意义：电荷量为 0的点电荷的电位。
间的x b处有一面密度为 s 0的均匀电荷分布。求导 体板间的电位和电场。 解：电位函数满足的一 维拉普拉斯方程为 d 1 x d 2 x 0 0 x b ; 0 bxa 2 2 dx dx 方程的解为：1 x C1 x D1 ; 2 x C2 x D2
第三章静态电磁场与..
y
dx2
dx2
方程的解为：1x C1x D1;2 x C2x D2
有题设边界条件：
o
b
ax
x 0处，10 0;1 x a处，2a 0 2.
x b处，1b 2 b.
3
2 x
x
1x
x xb
s0 0
4
解得：C1
s0 b
0a
a,
D1 0
; C2
s0b 0a
,
D2
s0b . 0
1
x
s
意义：电荷量为0的点电荷的电位。
格林定理 泊松方程的积分公式
格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。
由散度定理 gAd Ñ AgndS
S
设 A
而 gA g 2 g
Agn gn n
得格林第一恒等式
同理，若设 A
格林第一恒等式表示为
2
g
d
Ñ
S
n
dS
2
g
d
Ñ
S
n
dS
◇ 于是位于 r r ' 处的点电荷q 的体密度为 q r r '
◇ 单位点电荷产生的电位满足的泊松方程 2 r r ' /0
满足的方程：2G r, r ' r r '
◇
定义格林函数
Gr,r ' 0 r,r '
无界空间中的解：G
r,
r
'
0
r,
r
'
4
1 r
r
'
格林函数的对称性：G r, r ' G r ', r
◇ 极化体电荷 p P ◇ 极化面电荷 p en P （en 为介质表面外法线方向的单位矢量）
《电磁场与电磁波 》课件003
导数就不能再任意给定了，反之亦然。
3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程 在线性、各向同性、均匀的电介质中，将式(2-1-16)代入式
(2-2-9)
2 － V
(3-1-5)
式(3-1-5)称为静电场的泊松方程(Poisson’s Equation)，它表示求
解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。
对于那些电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的
【例3-1】图3-2所示为自由空间垂直放置的两个半无限大 导电接地平面组成的直角劈，今有一电量为100 nC的点电荷置 于点(3，4，0)，求点(3，5，0)处的电位和电场强度，其中各坐 标单位为m。
解 两平面夹角为90°，则n=360°/90°=4。为满足边界上 电位为零，需要三个虚拟电荷，如图32所示，则所求点(3，5， 0)处的电位为
图3-3 接地导体球外的点电荷
q (1－m) 4π 0 r1 r2
(3-3-6)
式中，
r1 r 2 d 2－2rdcos
r2 r 2 b2－2rbcos 电位函数在球表面处满足电位为零的边界条件，即在r = a
处对任意角度θ
1
m
r 2 d 2－2rdcos ra r 2 b2－2rbcos ra
距离d处，如图3-3所示。此时仍然用镜像法讨论，即接地导体 球对点电荷的影响可以用置于导体球内部的镜像电荷来代替。
由于导电球面弯曲，因此镜像电荷在数量上一般不等于真 实电荷q。假设为q1=－mq，其位置应在球内，又因为导体球在 靠近点电荷的一边感应电荷密度大，而远离点电荷的一边感应 电荷密度小，同时考虑到球上的电荷分布左右应对称， 所以镜 像电荷将位于上半球内的球心与实际电荷的连线上，设在距原 点b处 ,则球外任意点处由原电荷和镜像电荷共同产生的电位为
静态电磁场及其边值问题的解
E dl
A
P
定义点A电位： A
E dl
A
(P 为参考点，P 0 )
说明：
① 电位有明确的物理意义；
② 电位差与参考点的选择无关；
③ 同一问题中只能有一个参考点；
④ 选择电位参考点的原则是电位表达式要有意义，
应使电位表达式最简单：
电荷分布在有限区域时一般是无穷远为参考点，
, )
C
C
p cos 4 0r 2
中，p、0 为常数
故 等位面方程：r C1 cos (可画出 r 对 的曲线) ，而
dr Er
rd
E
r sind
E
dr
2 cos
rd sin
dr r
2d (sin sin
)
r
C2 sin2
第19页
[例] 求如图所示同轴电容器的电场和单位长度电容。
解：问题的边界条件是：
① a ， a ； b ， b
② 介质分界面上: E1t E2t，D1n D2n
用高斯定律试探解： E 1 , D 1
设
C
E1 E2 e
，C为常数，则
4 0r1r2 4 0r 2
定义电偶极矩矢量：
p qd
(单位 C m )
p cos 4 0r 2
p er
4 0r 2
p r
4 0r 3
p
4 0
1 r
第17页
电磁场与电磁波 第三章__静态电磁场及其边值问题的解
《电磁场理论》ch320111013-PPT文档资料
7
单位长度内总的磁场能量为
WW m W W m 1 m 2 m 3
2 2 2 4 2 2 I I I b c c 3 c b 0 0 0 l n 2 22 l n 2 2 1 6 4 a 4 ( c b ) b4 ( c b )
W 0
m 2
I 2 c2 2 2 W ( ) ( 2 2) 2 d m 3 b 2 2 c b
c
0
0I2 c4 c 3 c2 b2 ln 2 2 2 2 2 4 (c b ) b 4(c b )
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
径分别为 b和c，导体中通有电流 I ，试求同轴电缆中单位长度 储存的磁场能量与自感。 解：由安培环路定律，得
e e H e 0
I 2 a 2 I 2
0 a
a
a 2 2 c b c
N
N
1N 1N W d ( I I d 系统增加的磁能为 d m i i) i i 2 2 i 1 i 1
因此有
d W 2 d W S m
F g d W id i m
故得到磁场力为
W m Fi gi
I 不变
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
单位长度的总自感
4 2 2 2 W b c c 3 cb m 0 0 0 L l n 2 2 l n 2 2 2 2 I 82 a 2( cb ) b 4 ( cb )
内导体的内自感 内外导体间的外自感 外导体的内自感
电磁场与电磁波
2. 假定回路的磁通保持不变 此时，各回路中的电流必定发生改变；但由于各回路的磁通不 变，回路中都没有感应电动势，故与回路相连接的外电源不对回 路输入能量，即 dWS＝0，因此
电磁场与电磁波第3章ppt_图文
q
4 0
1 rP
1 rQ
O
选参考点位于无穷远处，即令rQ ，得 P
rP q
4 0rP
P
由此得到点电荷电位的一般表达式 q 4 0r
对于位于r的点电荷，电位表达式为
q
q
40 r r 40R
无限长线电荷：设线电荷l在原点，参考点Q，场点 (电位
微分形式：
D
E 0
本构关系：D E
边界条件
en E1 E2 0
en
D1
D2
S
或
E1t E2t
D1n
D2 n
S
对于理想介质，有
en E1 E2
0 或
en D1 D2 0
x a 处，φ2 (a) = 0
x b处，φ1(b) =φ2 (b),
2 ( x)
x
1(x)
x
xb
S0 0
所以 D1 = 0
C2a + D2 = 0
C1b + D1 = C2 b + D2
C2
-
C1
=
-ρS0 ε0
由此解得
C1
=
-ρS0 (b ε0a
证明 对于单个点电荷产生的场
把试探电荷q0从P移到Q 设电荷q0 受到的电场力为F， 在该力作用下的位移为dl，
则电场力做功为 dW F dl qE dl
WPQ
Q
F dl
P
Q
Q
F cos θdl Fdr
电磁场电磁波静态场及其边值问题的解
Cq
两个带等量异号电荷（q）的
1 U
E
2 0
导体组成的电容器，其电容为
q
q
C q q
U 1 2
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质
的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
11
3.1.4 静电场的能量 静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
1
• 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场
• 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场
• 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容
3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
1 P1 2 P2
Δl
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
10
电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位 的比值，即
上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得
电场力做 的功
Q
Q
P E dl P d (P) (Q)
关于电位差的说明
电磁场课件电磁场与电磁波第三章__静态电磁场及其边值问题的解
n × (E1 − E2 ) = 0 ⇔ E1t = E2t
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
(D1 − D2 )in = 0⇔ D1n = D2n ⇔ ε1E1n = ε 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n = E1 cosθ1 E1t = E1 sinθ1 E2n = E2 cosθ2 E2t = E2 sinθ2 ⇒ tan θ1 = E1t / E1n = ε1 / D1n = ε1
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向；
在直角坐标系中
E
=
−
∂ϕ
∂x
ex
−
∂ϕ
∂y
ey
−
∂ϕ
∂z
ez
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位方程
) ∇iE = ρ /
E = −∇ϕ
ε
0
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
⇒ −∇i∇ϕ = ρ / ε0
=(
P'
+
Q )Eidl
P
P P'
E
P' l
∫ = q Q er idr = q ( 1 − 1 )
4πε0 P' r 2
4πε0 rP rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 ϕQ = 0
∴
ϕP
=
q
4π ε 0
1 ( rP
−
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ → ∞ 则：
) ϕ(r) = q 4π ε 0 r
∫ ϕA −ϕB =
B Eidl
my第三章静态场及其边值问题的解讲解
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程
微分形式：
D
E 0
本构关系： D E
积分形式：SD
dS
q
CE dl 0
D和2 ) S
D
媒质1 1 媒质2 2
1 P1 2 P2
l
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即S 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件： 常数，
n
S
例 3.1.1 求电偶极子的电位.
解 在球坐标系中
(r )
q
(1 1)
q
r2 r1
40 r1 r2 40 r1r2
1
dz
40 L 2 (z z)2
z ' dl dz
y
l0 ln[z z
L
2 (z z)2 ]
4 0
L
x
l0 ln 2 (z L)2 (z L)
2. 边界条件
en
(D1
D2
)
S
en (E1 E2 ) 0
或
ED11tn
D2 E2t
n
0
S
若分界面上eenn不 (存(DE1在1面DE电22))荷0，0 即ρ或S＝0，则ED11tn
D2 E2t
n
场矢量的折射关系
tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1 tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
电磁矢论 第三章、静态电磁场及其边值问题的解
q C 单位：F/法拉 U
统的几何尺寸及周围电介质的特性参数有关。
3.1 静电场分析
4. 静电场的能量 （1）静电场的能量
在静电场中，电场对电荷有作用力，电荷在电场力作用下沿
电场方向发生运动，意味着电场力对电荷作功了，表明静电 场是有能量的。
电场能量的来源：建立电荷系统过程中外界提供的能量。
1 P1 2 Δl
P2
3.1 静电场分析
3. 导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷 能力的物理量。 孤立导体的电容：孤立导体所带电荷量q与其电位φ之比。
C
U之比。
q
单位：F/法拉
导体系统的电容：任一导体上的总电荷量q与导体间的电位差
电容的大小与电荷量、电位差无关，只与孤立导体或导体系
求对应的电场强度。
1 r 1 1 r [ 2 e ( )e ]e r 4 0 r r q 1 1 r ( 2 )e e r 4 0 r r q
3.1 静电场分析
(3)电位差（电压） 电位差:电场空间中不同位置处电位的变化量，也称电压，可 用U表示。 注:空间中某点的电位无物理意义，只有两点间的电位差才有 意义。
3.1 静电场分析
在均匀介质中
2
泊松方程
在无源区域中 0 ： 2 0
拉普拉斯方程
解上述的微分方程，结合给定的边界条件，就可得出电位的
定解。
1 2 边界条件 2 1 2 1 S n n
媒质1 媒质2
1
2
电位差有确定值，其取值只与首尾两点的位置有关，与积分
路径无关。
3.1 静电场分析
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不同媒质分界面上的静电位
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1和2。当两点间距离⊿l→0时
1 2 E l 0 1 2
由 nˆ D1 D2 S 和 D E ，得
P1 △ P2 l
1
1
n
2
2
n
S
2
2
n
1
1
n
，
Q er P' r2
q1 dr (
40 rP
1 )
rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 Q 0
P
q
4 0
(1 rP
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ 则：
(r) q 4 0 r
点电荷在空间中产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
静态电场问题
按 电荷静止或运动情况分类
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
(D1 D2 ) n s D1n D2n s
两种理想电介质分界面上
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
(D1 D2 ) n 0 D1n D2n 1E1n 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n E1 cos1 E1t E1 sin 1 E2n E2 cos2 E2t E2 sin 2 tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1
r r l r r r2 l2 2rl cos
无限长线电荷的电位
E
l 2 0 r
er
E
P'
Q
P
l 2 0
(ln
rQ
ln
rP )
电位参考点不能位于无穷远点，否则表
达式无意义。
P
根据表达式最简单原则，选取r=1柱面
为电位参考面，即 rQ 1 得：
P
l 2 0
ln
rP
无限长线电流在空间中产生的电位
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷：(r ) 1 (r ')dV c
40 V R
面电荷：(r ) 1 s (r ')dS c
40 S R
线电荷：(r ) 1 l (r ')dV c
40 l R
式中：R r r '
说明：若参考点在无穷远处，则c=0。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
静电场基本方程
S
D(r )
dS
V
dV
C E dl 0
D
E(r ) 0
积分形式
微分形式
静电场边界条件
两种一般电介质分界面上
D = εE
本构关系
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
电位参考点
E C
仅仅根据电位函数的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可
对应无限多电位分布，
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点， 且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值， 所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第三章 静态电磁场 及其边值问题的解
静态电磁场：场量不随时间变化 静态电磁场包括：静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静电场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
介质1
en 1
介质2
E2
2
E1
1 2
tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
导体表面的边界条件
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界
条件为
en D S
en E 0
或
Dn Et
0
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.2 电位函数
n
S
理想导体是等位体
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
例 求电偶极子 p ql 在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
电偶极子：由两个相距很近的带等量
异号电量的点电荷所组成的电荷系统
电偶极矩 p ：p ql
q
r
解：取无限远处为电位参考点。
P
q
4 0
1 (r
1) r
l
r
O q
电位函数定义 对静电场，由 E 0 E ，即静电场可以用一个标 量的梯度来表示。标量称为标量位或标量电位。
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
E x ex y ey z ez
电磁场与电磁波
电位方程
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
电位差的计算：
E
B
l
el
el为增加最快的方向
A
E l el
d E
dl
B
A
AB B A A E dl
E dl
B
电场空间中两点间电位差为：
B
A B
E dl
A
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
E
/
0
E
/ 0
即： 2 / 0
电位的泊松方程
在无源区域， 0
2 0
电位的拉普拉斯方程
通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。
E1 1
21
介质1 1
21 0 电荷区
介质2
E2
2
2
2 2
0
优越性：求矢量函数 的问题转化为求标量 函数的问题
两点间电位差有定值 电位参考点的选择原则: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
几种基本分布电荷的电位
q
点电荷的电位
E 40r 2 er
Q
Q
P' Q
E
P Q
E dl
P
(
P
)E dl
P'
P' l
q
4 0
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1和2。当两点间距离⊿l→0时
1 2 E l 0 1 2
由 nˆ D1 D2 S 和 D E ，得
P1 △ P2 l
1
1
n
2
2
n
S
2
2
n
1
1
n
，
Q er P' r2
q1 dr (
40 rP
1 )
rQ
q O
P
选取Q点为电位参考点，则 Q 0
P
q
4 0
(1 rP
1 rQ
)
遵循最简单原则，电位参考点Q在无穷远处，即 rQ 则：
(r) q 4 0 r
点电荷在空间中产生的电位
说明：若电荷分布在有限区域，一般选择无穷远点为电位参考点
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
静态电场问题
按 电荷静止或运动情况分类
静电场
静止
任意
J 0
匀速运动
有限
J 0
恒定电流场
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力
(D1 D2 ) n s D1n D2n s
两种理想电介质分界面上
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
(D1 D2 ) n 0 D1n D2n 1E1n 2E2n
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
讨论：分界面上场矢量的折射关系
E1n E1 cos1 E1t E1 sin 1 E2n E2 cos2 E2t E2 sin 2 tan 1 E1t / E1n 1 / D1n 1
r r l r r r2 l2 2rl cos
无限长线电荷的电位
E
l 2 0 r
er
E
P'
Q
P
l 2 0
(ln
rQ
ln
rP )
电位参考点不能位于无穷远点，否则表
达式无意义。
P
根据表达式最简单原则，选取r=1柱面
为电位参考面，即 rQ 1 得：
P
l 2 0
ln
rP
无限长线电流在空间中产生的电位
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
分布电荷体系在空间中产生的电位
体电荷：(r ) 1 (r ')dV c
40 V R
面电荷：(r ) 1 s (r ')dS c
40 S R
线电荷：(r ) 1 l (r ')dV c
40 l R
式中：R r r '
说明：若参考点在无穷远处，则c=0。
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
静电场基本方程
S
D(r )
dS
V
dV
C E dl 0
D
E(r ) 0
积分形式
微分形式
静电场边界条件
两种一般电介质分界面上
D = εE
本构关系
n (E1 E2 ) 0 E1t E2t
电位参考点
E C
仅仅根据电位函数的定义无法唯一确定电位分布，同一电场可
对应无限多电位分布，
为使空间各点电位具有确定值，必须选定空间某一点作为参考点， 且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值， 所以该点的电位也就具有确定值，即
选参考点
令参考点电位为零
电位确定值(电位差)
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第三章 静态电磁场 及其边值问题的解
静态电磁场：场量不随时间变化 静态电磁场包括：静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立
本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静电场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法
介质1
en 1
介质2
E2
2
E1
1 2
tan 2 E2t / E2n 2 / D2n 2
导体表面的边界条件
在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界
条件为
en D S
en E 0
或
Dn Et
0
S
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1.2 电位函数
n
S
理想导体是等位体
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
例 求电偶极子 p ql 在空间中产生的电位和电场。
分析：电偶极子定义
电偶极子：由两个相距很近的带等量
异号电量的点电荷所组成的电荷系统
电偶极矩 p ：p ql
q
r
解：取无限远处为电位参考点。
P
q
4 0
1 (r
1) r
l
r
O q
电位函数定义 对静电场，由 E 0 E ，即静电场可以用一个标 量的梯度来表示。标量称为标量位或标量电位。
关于电位函数的讨论
电位函数为电场的辅助函数，是一个标量函数； “－”表示电场指向电位减小最快的方向； 在直角坐标系中
E x ex y ey z ez
电磁场与电磁波
电位方程
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
电位差（电压）
电位差反映了电场空间中不同位置处电位的变化量。
电位差的计算：
E
B
l
el
el为增加最快的方向
A
E l el
d E
dl
B
A
AB B A A E dl
E dl
B
电场空间中两点间电位差为：
B
A B
E dl
A
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
第3章 静态电磁场及其边值问题的解
E
/
0
E
/ 0
即： 2 / 0
电位的泊松方程
在无源区域， 0
2 0
电位的拉普拉斯方程
通过求解电位方程可求得空间中电位分布，进而求得电场分布。
E1 1
21
介质1 1
21 0 电荷区
介质2
E2
2
2
2 2
0
优越性：求矢量函数 的问题转化为求标量 函数的问题
两点间电位差有定值 电位参考点的选择原则: 应使电位表达式有意义 应使电位表达式最简单 同一个问题只能有一个参考点
电磁场与电磁波 第3章 静态电磁场及其边值问题的解
几种基本分布电荷的电位
q
点电荷的电位
E 40r 2 er
Q
Q
P' Q
E
P Q
E dl
P
(
P
)E dl
P'
P' l
q
4 0