线性空间中向量之间的线性关系重点
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(ii)
如果c Z且c | ai , i 1,2,, n, 那么c | d
Leabharlann Baidu
定理1.4.2 任意 n(n 2) 个整数 a1 , a2 ,, an 都有最大公 因数. 如果d是 a1 , a2 ,, an的一个最大公因数，那么 - d a1 , a2 ,, an 的两个最大公因数至 也是一个最大公因数； 多只相差一个符号. 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，定理的后 一个论断是明显的. 现证，任意n个整数 a1 , a2 ,, an 有最大公因数. 如果 a1 a2 an 0，那么0显然就是 a1 , a2 ,, an 的最大公 因数，设 a1 , a2 ,, an 不全为零. 考虑Z 的子集
一、整除与带余除法 一、线性空间中向量之间的线性关系 二、最大公因数
二、线性空间的维数、基与坐标 三、互素
四、素数的性质
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad， 那么就说a整除b（或者说b被a整除）.用符号a | b 表示a 整除b. 这时a叫做b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数. 如果a不整除b，那么就记作 . 整除的基本性质： 2) a | b, a | c a | (b c) 1) a | b, b | c a | c 3) a | b, 而c Z a | bc
I {t1a1 t2 a2 tnan | ti Z ,1 i n}.
I 显然不是空集，因为对于每一个i ,
ai 0 a1 0 a2 0 ai 1 1 ai 0 ai 1 0 an I .
又因为 a1 , a2 ,, an 不全为零，所以I 含有非零整数。因 此
4)
5)
a | bi , 而ci Z , i 1, 2,, t a | (b1c1 bt ct )
每一个整数都可以1和 - 1整除。
6) 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 7)
- a整除
a | b且b | a b a或b a
定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 a 0 ，那么 存在一对整数q和r，使得
I {s | s I 且s 0}
是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，I 有 一个最小数d. 我们说，d 就是 a1 , a2 ,, an 的一个最大 公因数. 首先，因为 d I ，所以d >0并且d 有形式 d t1a1 t2 a2 tn an , ti Z (1 i n). 又由带余除法，我们有 ai dqi ri ,0 ri d (1 i n).
定理1.4.3 设d是 a1 , a2 ,, an 的一个最大公因数。那么存 在整数 t1 , t 2 ,, t n ，使得 t1a1 t 2 a2 t n an d 。 证 若 a1 a2 an 0 ，那么d = 0，定理显然成立. 设 a1 , a2 ,, an 不全为零，由定理1.4.2的证明，知 d I. 因而存在 t1 , t 2 ,, t n Z ，使得 d t1a1 t 2 a2 t n an .
b a(q 1), 若a 0; r b a(q 1), 若a 0
所以 r S且r r .这是与r是S中最小数的事实矛盾.因 此r a . 假设还有 q , r Z ，使得
b aq r 且0 r | a | 于是就有 a(q q ) r r .如果 q q 0 .那么 | r r || a(q q) || a | . 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾.这样,必须 q q 0 ，从而 r r 0 ，也就是说 q q, r r.
二、最大公因数
设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做a与b 的最大公因数：
(i) (ii)
d | a且d | b ；
如果 c Z , 且c | a, c | b, 那么c | d .
一般地，设 a1 , a2 ,, an 是n 个整数. 满足下列条件的整 数d 叫做 a1 , a2 ,, an 的一个最大公因数： (i) d | ai , i 1,2,, n
如果某一 ri 0 ，如 r1 0 ，那么
r1 a1 dq1 (1 t1q1 )a1 t2 q1a2 tn q1an I ,
而 r1 d . 这与d是 I 中的最小数的事实矛盾. 这样， 必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n . 另一方面，如果 c Z , c | ai ,1 i n . 那么 c | (t1a1 t n an ), 即c | d . 这就证明了d 是 a1 , a2 ,, an的一 个最大公因数.
三、互素
设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互 a1 , a2 ,, an 是n个整数，如果 (a1 , a2 ,, an ) 1 素. 一般地， ，那么就说这n个整数 a1 , a2 ,, an 互素. 定理1.4.4 n 个整数 a1 , a2 ,, an 互素的充要条件是存在整 数 t1 , t 2 ,, t n ，使得 （ 1）
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的. 证 令 S {b ax | x Z , b ax 0} .因为 a 0 ，所以S 是N 的一个非空子集.根据最小数定理（对于N），S 含有一 个最小数.也就是说，存在 q Z ，使得 r b aq 是S 中 最小数.于是 b aq r，并且 r 0.如果 r | a | ，那 么 r | a | r , r 0 ，而
如果c Z且c | ai , i 1,2,, n, 那么c | d
Leabharlann Baidu
定理1.4.2 任意 n(n 2) 个整数 a1 , a2 ,, an 都有最大公 因数. 如果d是 a1 , a2 ,, an的一个最大公因数，那么 - d a1 , a2 ,, an 的两个最大公因数至 也是一个最大公因数； 多只相差一个符号. 证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，定理的后 一个论断是明显的. 现证，任意n个整数 a1 , a2 ,, an 有最大公因数. 如果 a1 a2 an 0，那么0显然就是 a1 , a2 ,, an 的最大公 因数，设 a1 , a2 ,, an 不全为零. 考虑Z 的子集
一、整除与带余除法 一、线性空间中向量之间的线性关系 二、最大公因数
二、线性空间的维数、基与坐标 三、互素
四、素数的性质
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad， 那么就说a整除b（或者说b被a整除）.用符号a | b 表示a 整除b. 这时a叫做b 的一个因数，而b叫做a的一个倍数. 如果a不整除b，那么就记作 . 整除的基本性质： 2) a | b, a | c a | (b c) 1) a | b, b | c a | c 3) a | b, 而c Z a | bc
I {t1a1 t2 a2 tnan | ti Z ,1 i n}.
I 显然不是空集，因为对于每一个i ,
ai 0 a1 0 a2 0 ai 1 1 ai 0 ai 1 0 an I .
又因为 a1 , a2 ,, an 不全为零，所以I 含有非零整数。因 此
4)
5)
a | bi , 而ci Z , i 1, 2,, t a | (b1c1 bt ct )
每一个整数都可以1和 - 1整除。
6) 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 7)
- a整除
a | b且b | a b a或b a
定理1.4.1（带余除法） 设a，b 是整数且 a 0 ，那么 存在一对整数q和r，使得
I {s | s I 且s 0}
是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，I 有 一个最小数d. 我们说，d 就是 a1 , a2 ,, an 的一个最大 公因数. 首先，因为 d I ，所以d >0并且d 有形式 d t1a1 t2 a2 tn an , ti Z (1 i n). 又由带余除法，我们有 ai dqi ri ,0 ri d (1 i n).
定理1.4.3 设d是 a1 , a2 ,, an 的一个最大公因数。那么存 在整数 t1 , t 2 ,, t n ，使得 t1a1 t 2 a2 t n an d 。 证 若 a1 a2 an 0 ，那么d = 0，定理显然成立. 设 a1 , a2 ,, an 不全为零，由定理1.4.2的证明，知 d I. 因而存在 t1 , t 2 ,, t n Z ，使得 d t1a1 t 2 a2 t n an .
b a(q 1), 若a 0; r b a(q 1), 若a 0
所以 r S且r r .这是与r是S中最小数的事实矛盾.因 此r a . 假设还有 q , r Z ，使得
b aq r 且0 r | a | 于是就有 a(q q ) r r .如果 q q 0 .那么 | r r || a(q q) || a | . 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾.这样,必须 q q 0 ，从而 r r 0 ，也就是说 q q, r r.
二、最大公因数
设a，b是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做a与b 的最大公因数：
(i) (ii)
d | a且d | b ；
如果 c Z , 且c | a, c | b, 那么c | d .
一般地，设 a1 , a2 ,, an 是n 个整数. 满足下列条件的整 数d 叫做 a1 , a2 ,, an 的一个最大公因数： (i) d | ai , i 1,2,, n
如果某一 ri 0 ，如 r1 0 ，那么
r1 a1 dq1 (1 t1q1 )a1 t2 q1a2 tn q1an I ,
而 r1 d . 这与d是 I 中的最小数的事实矛盾. 这样， 必须所有 ri 0 ，即 d | ai ,1 i n . 另一方面，如果 c Z , c | ai ,1 i n . 那么 c | (t1a1 t n an ), 即c | d . 这就证明了d 是 a1 , a2 ,, an的一 个最大公因数.
三、互素
设a，b是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说a与 b互 a1 , a2 ,, an 是n个整数，如果 (a1 , a2 ,, an ) 1 素. 一般地， ，那么就说这n个整数 a1 , a2 ,, an 互素. 定理1.4.4 n 个整数 a1 , a2 ,, an 互素的充要条件是存在整 数 t1 , t 2 ,, t n ，使得 （ 1）
b aq r且0 r | a |
满足以上条件整数q和r 的唯一确定的. 证 令 S {b ax | x Z , b ax 0} .因为 a 0 ，所以S 是N 的一个非空子集.根据最小数定理（对于N），S 含有一 个最小数.也就是说，存在 q Z ，使得 r b aq 是S 中 最小数.于是 b aq r，并且 r 0.如果 r | a | ，那 么 r | a | r , r 0 ，而