偏导数ppt课件

z xy lnx y
xz 1 z xyxy 2z yx lnxy
例3. 求 r x2y2z2 的偏导数 .
解:
r
2x
x
x 2 x2 y2 z2 r
r y , r z y r z r
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第七章 多元函数微分学
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例2 求zxy的偏导. 数
例 3设 zx ysix n2y(3)，zx 求 ,zy.
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第七章 多元函数微分学
3.二元函数偏导数的推广
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例5 设r x2 y2 z2， 求 证 ： x r y r z r r. x y z
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第七章 多元函数微分学
第13页
例 2设 ux2zsix y n ，x 求 2 4u yz.
例 3证 明 u1 函 te4 xt2,满 数 u t足 x 2u 2.
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第七章 多元函数微分学
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例4 证明u
上节例10/28/2019
第七章 多元函数微分学
第7页
例1 . 求 zx23xyy2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1
z 2x3y, x
z y

3x2y
先求后代

z x
(1,
2)

2 1 3 2 8 ,

z y
(1, 2) 31227
解法2 z y 2 x26x4
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (yx0, y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
xx0 yy0
ddyf(x0,y)
yy0
O x0
x
y0 y
(x0, y0)
是曲线
z
x
f (x, x0
y)
在点M0
处的切线
M0Ty 对 y 轴的
斜率.
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第七章 多元函数微分学
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
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例如,
zf(x,y) x2xyy2, x2y20 0 , x2y20
显然 fx(0, 0) 0
fy(0, 0) 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
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偏导数定义为
fx(x,y,z)
f(xx, y,z)f(x,y,z)
lim
x 0
x
fy(x,y,z)? fz(x,y,z)?
(请自己写出)
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第七章 多元函数微分学
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7.3.2 二元函数偏导数的几何意义: z
f x
xx0 yy0
ddxf(x,y0)xx0
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , x
f , x
zx ,
fx (x, y)
z , y
f , y
zy ,
fy(x, y)
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第七章 多元函数微分学
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
的偏导数，记为
z x
(x0
,
y0
);
f x
(x0, y0) ;
z x
( x0 , y0 )
f

x
(
x0
,
y0
)
;
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第七章 多元函数微分学
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同样可定义对 y 的偏导数
fy(x0,y0) limf(x0,y0y) f(x0,y 0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
有 下 列 四 个 二 阶 偏 导 数：
f xx ( x, y), f xy ( x, y), f yx( x, y), f yy( x, y).
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第七章 多元函数微分学
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例1 设z arctanxy，求它的所有的 偏导数 .
2. 定理如果函z数 f(x, y)的两个二阶混 合偏导f数 yx(x, y)及fxy(x, y)在区域 D内连续 那 么 在 该 区 域 内 这 二两 阶个 混 合 偏 导 数 相 等.
先代后求
z x
(1,
2) (2x6)
x 18
z x1 13yy2
z y
(1,
2) (32y) y2 7
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第七章 多元函数微分学
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例2. 设 zxy(x0,且 x1 ） ， 求证
xz 1 z2z yx lnxy
证: z yx y1, x
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第七章 多元函数微分学
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7.3.3 高阶偏导数
1. 定 义 设 函 数z f ( x, y)在 区 域D内 具 有 偏 导 数f x ( x, y), f y ( x, y),那 么 在D内f x ( x, y), f y ( x, y)都 是x, y的 函 数 ， 如 果 这 两 个 函数 的 偏 导 数 也 存 在 ， 则 称 它们 是 函 数z f ( x, y) 的 二 阶 偏 导 数 ， 按 照 对变 量 求 导 次 序 的 不 同
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设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
x zfx(x,y), y zfy(x,y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )
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7.3 偏导数
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第七章 多元函数微分学
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定义1. 设函数 zf(x,y)在点 (x0,y0) 的某邻域内
极限
lim f(x0
x 0
x, y0)f(x x
0
, y0)
存在, 则称此极限为函数 z f( x ,y )在 ( x 0 ,y 点 0 )对 x
1
满足拉普
x2 y2 z2
拉斯方程：
2u x2

2u y2

2u z2

0.
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作业 P 18 页 6 : (1 ), ( 3 ) 8、9 : (2 )
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7.3.3 高阶偏导数