偏导数与全微分

Dept. Math. & Sys. Sci. 应用数学教研室
f x
x x0 yy
d dx
f
(x,
y0 )
x
x0
z
M0
0
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
Tx
Ty
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
o
y0
y
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
x0
x
是曲线
z
x
f (x, x0
偏导数定义为
fx (x,
y,
z)
f lim
x0
(
x
x, y, z) x
f
(x
,
y,
z)
fy (x, y, z)
lim
y0
f (x, y y, z) y
f
(x, y, z)
fz (x,
y, z)
lim
z 0
f
(x,
y, z
z) z
f
(x,
y, z)
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二元函数偏导数的几何意义:
f , x
zx ,
fx (x, y) ,
f1(x, y)
z , f , y y
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
说明：全增量是关于 x 和 y 的二元函数
例如函. 数 z = 2x2 3y2 在点(1,1)处的全增量为
= 4x 6y 2(x)2 3(y)2.
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
x
x
f (0, y) f (0, 0) y ln(y)2 ln(y)2,
y
y
从而 f (0, 0) 0, f (0, 0) 不存在.
x
y
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注意：1. 函数在某点各偏导数都存在, 不能断定函数
在该点连续，甚至不能断Fra Baidu bibliotek函数在该点的极限存在.
10.2.1 偏导数
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1. 偏导数的概念
引例: 研究弦在点 x0处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅 u(x , t) 中的 x 固定于 x0 处,求 u(x0 , t)关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t )
y)在点M0 处的切线
M 0Ty对
y
轴的斜率.
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例 1 求函数
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y ln(x2 y2 ) , f (x, y)
0 ,
在点(0 , 0) 处的偏导数.
x2 y2 0, x2 y2 0.
解 由于
f (x, 0) f (0, 0) 0 0 0,
注意f:(
x0f)x
(x0li,my0
x 0
)f
lim f (x0 x, (x0x0x) f (x0 )
d dx
f x(x,
y0
)
x x0
y0 ) dx y
dx
f (x0 , y0 ) x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
f y (x0 , y0 ) lim f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
y0
y
d dy
f
(x0 , y)
y y0
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , x
x
z y
3x
2y
z x
(1,
2)
2
1
3
2
8,
z y
(1,
2)
31
2
2
7
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x
(1,
2)
(2x 6)
x
18
z x1 1 3y y2
o x0
x
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偏增量
x z f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
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y z f (x0, y0 y) f (x0, y0 )
全增量
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
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证： f f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
[ f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 y)]
[ f (x0, y0 y) f (x0, y0 )]
利用一元函数中值定理，得
f f (x0 1x, y0 y) x f (x0, y0 2y) y
x
y
其中0 1, 已知两偏导数在(x0, y0)邻域内有界, 因2 此1.
lim f 0.
x0 y0
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2. 偏导数的计算
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例2 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1:
z 2x 3y,
第十章 多元函数的导数及其应用
● §10.1 多元函数的极限与连续 ★ §10.2 偏导数与全微分 ● §10.3 多元复合函数与隐函数的偏导数 ● §10.4 方向导数、梯度及泰勒公式 ● §10.5 多元函数的极值与条件极值
§10.2 偏导与全微分
10.2.1 偏导数 10.2.2 全微分 内容小结与作业
极限
lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 )对 x
的偏导数，记为
z x
(x0 ,
y0 );
f x
(x0 , y0 ) ;
zx
( x0 , y0 )
;
f x (x0 , y0 ) ; f1(x0, y0 ) .
例如,
z
xy
f
(x,
y)
x2
y2
,
0 ,
x2 y2 0 (0, 0)
x2 y2 0
2. 若函数在某点连续，在该点的偏导数不一定存在.
例如, z f (x, y) x2 y4 (0, 0)
3. 若函数的偏导数在某点的邻域内有界, 则函数在该 点必连续.
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