偏导数与全微分

zx (x0 , y0 ) ;
注意: f x (x0 , y0 ) lim f x0 x, y0 f x0, y0
f
(x0 )
lim
x 0
f
(x0x0 x)
x
f
(x0 )
xd y
dx
x x0
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同样可定义对 y 的偏导数
即 x＝y＝0 时,
f x (0,0)

d dx
f
( x,0)
x

0
f y (0,0)

d dy
f
(0, y)
y

0
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备用题 设
方程
确定 u 是 x , y 的函数 ,
连续, 且
求
解:
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一、全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
y
y0
o
x0
x
y0
y
是曲线 斜率.
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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注意：函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续.
例如,
z

f
(x, y)

xy

x2

y2
,
0 ,
x2 y2 0 x2 y2 0
显然
0
0 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
(请自己写出)
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二元函数偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 yy0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)

1
二 者
f yx (0,0)

lim
x0
f y (x,
0) x
f y (0, 0)

lim
x0
x x
1
不 等
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定理. 若 f xy (x,y) 和 f y x (x,y) 都在点(x0 , y0 ) 连续, 则
f x y (x0 , y0 ) f y x (x0 , y0 )
f y (x0 , y0 ) lim f (x0 , y0 y) f (x0 , y0 )
y0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z , f , y y
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
令y 0, Ax o ( x )
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x y (x)2 (y)2

x y (x)2 (
y)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证：z f (x x, y y) f (x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，Ax By称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
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例1 . 求 z x2 3xy y2在点(1 , 2) 处的偏导数.
解法1: z 2x 3y ,
x

z x (1, 2)
z y

3x

2y
z
y (1, 2)
解法2:
z y2 x2 6x 4
z x (1, 2)
zy ,
f y (x, y) ,
f2(x, y)
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .
例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的
偏导数定义为
x x
x
x
f y (x, y, z) ? fz (x, y, z) ?

2z y2

f y y (x, y)
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类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶
偏导数为 ( y
)

nz xn1 y
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3z2 r5

2u x2

2u y2

2u z2


3 r3
3(
x2
y2 r5

z2
)
0
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内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法
即 函数zz = ff(x(,xy) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
例5. 解:
求函数 z ex2y z ex2y
的二阶偏导数及
z 2ex2y
3z yx2
.
x
y
2z x2

ex2y
2z 2ex2y x y
2z 2ex2y yx
2 z y2

4ex2y
3z yx2

x
(
2z ) y x

2y
x2 y2 2xy 2x x2 y2 2

2
y3 x2 x2 y2
y
2
.
f
y
(
x,
y)

y

2xy x2 y2


2x
x2
y2 x2
2xy y2 2
2y

2 x3 xy2 x2 y2 2
.
分子与分母的商 !

p V V T
T p

RT pV
1
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二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z x

fx (x, y) ,
z y

f y (x, y)
若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z = f ( x , y )

2ex2y
注意:此处 2 z 2 z , 但这一结论并不总成立. x y yx
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例如, f (x, y)
xy
x2 x2

y2 y2
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
fx (x, y)
y
x4
4x2 (x2
o x0
x
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定义1. 设函数 z f (x, y)在点 (x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x0
x
存在, 则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 对 x
的偏导数，记为 z
x xx0 , y y0
f x xx0 , y y0
x
z 4 yex2 cos x 2 y2 .
y
3z

f x, y arc sin
y2 x
,
z x
1
1
y2 x
2

y2 x2

x
y2
x2 y4
x2

y2
;
x x2 y4
z y
y2 y2 )2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f y (x, y)
x
x4
4x2y2 (x2 y2)2
y4
,
0,
x2 y2 0 x2 y2 0
f xy (0,0)
lim
y 0
f x (0,
y) y
f x (0, 0)

lim y y0 y
证明 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
方程
u

2u x2

2u y2

2u z2

0
证：
r2
2u x2

1 r3

3 r
x
4

r x


1 r3

3x2 r5
利用对称性
,
有

2u y2


1 r3

3 y2 r5
,
2u z2


1 r3

若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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由微分定义 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
(证明略)
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
(z) x x
2z x2
f xx (x, y);
(z) y x
2z x y
fx y (x, y)
(z) 2z x y yx
f yx (x, y);
y
( z ) y
1
2y
1

y2 x
2

x
x 2y .
x2 y4 x
例4. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V


RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个 整体记号, 不能看作
z x1 1 3y y2
z y (1, 2)
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例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1），求证 x z 1 z 2z y x ln x y
证:
x z 1 z
2z
y x ln x y
例3. 求
的偏导数 . (P91 例4)
解:
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
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习题10-2 题1（1）（3）
1z f x, y ex2 sin x 2 y2 , z 2xex2 sin x 2 y2 ex2 cos x 2 y2 ;
先代后求
先求后代 利用定义
• 求高阶偏导数的方法
逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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思考与练习 P98 题 3
解答提示: P98 题 3
当 x2 y2 0 时，
f
x
(
x,
y)

x

2xy x2 y2
第二节
第十章
偏导数与全微分
Baidu Nhomakorabea
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 三、全微分
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一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是
将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u u(x0 , t ) u(x, t)