【自招】2004-2019年上海市四校八大自主招生数学试题及答案

2004-2019年上海初中自主招生数学试题及答案真题及答案解析内容涵盖上海著名的“四大名校”和“八大金刚”在历年自主招生中的科学素养数学试题目录2019年复旦附中自主招生数学试题及答案2019年华师二附自主招生数学试题及答案2019年交大附中自主招生数学试题及答案（完全 ）２０１８年上海复旦附中自主招生数学试题及详解２０１６复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日试题2004年交大附中自主招生数学试题及答案2011年华师二附自主招生数学试题及答案2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）2012年复旦附中自主招生数学试题及答案2013年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）2013年上海中学自主招生数学试题及答案2014年交大附中自主招生数学试题及答案2014年进才中学自主招生数学试题及答案2014年上海中学自主招生数学试题及答案2014年复旦附中自主招生数学试题及答案2014年华师二附自主招生数学试题2014年华中一附自主招生数学试题2015年复旦附中自主招生数学试题2015年华师一附自主招生数学试题及答案郝老师解答：（一）1、2、3、4、5、6、（二）1、2、3、（三）1、2、3、参考答案8、如果正整数n按照上述规则施行变换后的第八项为1，则变换中的第7项一定是2，变换中的第6项一定是4；变换中的第5项可能是1，也可能是8；变换中的第4项可能是2，也可是16变换中的第4项是2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或16变换中的第4项是16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128，21或20，3则n的所有可能的取值为2，3，16，20，21，128。

所以n的所有可能值共有6个991011.2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日一. 填空题1. 已知a b c xbcacab，则x ________.2. 已知函数225323yxa xb x b≤≤图像关于y 轴对称，则ab ________.3. 已知函数2221yk xkx k的图像与x 轴只有一个交点，则k__________.4. 在同一个直角坐标系中，已知直线y kx 与函数283233243xx yxxx ，≥，，≤图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是__________.5. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥CD AB ，，设E F 、分别是AC BD 、的中点，AC与BD 交于点O ，已知OEF △是边长为1的正三角形，BOC △的面积为1534，则梯形ABCD 的面积为__________.6. 已知矩形ABCD 中，1AB BC a ，，若在边BC 上存在点Q ，满足AQQD ，则a 的取值范围是__________.7. 已知锐角ABC △的三边长恰为三个连续正整数，AB BCCA ，若BC 边上的高为AD ，则BDDC __________.EFBOD CAA8. 已知实数m n ，（其中1m n ）分别满足：22199********mm nn ，，则41mn m n_____________.9. 若关于x 的方程2240x xx m有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是___________.10. 如图，矩形ABCD 中，34AB BC ，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB △为直角三角形时，BE 的长为__________.11. 如图，OA OD ，是O ⊙的半径，延长OA 至B ，使OA AB C ，是OA 的中点，AOD 为锐角，连接CD BD ，，且CD a ，则_________.BD 12. 已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.13. 设10n n ≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.EB'BCDACBAOD二. 解答题14. 关于x 的方程222120x m x m m 的两个根分别为12.x x ，1若125x x ∣∣，求m 的值；2若12x x ，均为整数，求m 的值. 15. 如图，ABC △中，56AB BCAC ，，过点A 作AD BC ∥，点P Q ，分别是射线AD 、线段BA 上的动点，且APBQ ，过点P 作PE AC ∥交线段AQ 于点O ，联结PQ ，记AP x POQ ，△面积为.y 1求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；2联结QE ，若PQE △与POQ △相似，求AP 的长.16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意. 现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）O E P A CB QD17. 设x 是实数，不大于x 的最大整数叫做x 的整数部分，记作x ，如 1.2133 1.32，，222111110111111212016201711011111220162017S ，求90S ; 2解关于x 的方程：212312.2x x x２０１８年上海复旦附中自招数学试题及详解2004年交大附中自主招生数学试题及答案（本试卷满分100分，90分钟完成）一、单项选择题：（本大题满分30分）本大题共有10个小题，每小题给出了代号为A 、B 、C 、D 四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的圆括号内．每小题选对得3分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得零分． 1.计算()13422213939---⎛⎫+÷- ⎪⎝⎭，得（）A ．119B ．1C ．59D ．192.如果a b >，那么下列结论正确的是（）A ．22ac bc >B ．34a b-<-C ．32a b ->-D ．11a b<3.已知等腰梯形的中位线长为12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2:1，则梯形的两底长分别为（）A ．8，16B ．10，14C ．6，18D ．4，204.如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是（）A ．相交B ．外离C ．内切D ．外切5.设()220042004f x x x =-+，（()f x 表示关于x 的函数，如()2002004020042004f =-⋅+=，()220042004f m m m =-+）若()()f m f n =，则()f m n +=（）A ．0B ．2004C ．-2004D ．206.若三角形的三个内角A 、B 、C 的关系满足3A B >，2C B <，那么这个三角形是（）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．非等边的锐角三角形7.如果A ∠是锐角，且3sin 4A =，那么（）A ．030A ︒<∠<︒B ．3045A ︒<∠<︒C ．4560A ︒<∠<︒D ．6090A ︒<∠<︒8.观察右图，根据规律，从2002到2004，箭头方向依次为（）A ．↓→B ．→↑C ．↑→D ．→↓9.已知一组数据6，8，10，x 的中位数与平均数相等，这样的x 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个以上（含4个）10.点P 是矩形ABCD 内一点，如果3PA =，4PB =，5PC =，则PD 的长度是（）A ．72B ．52C ．23D ．32二、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12个小题，各小题只要求在横线上方填写最终、最准确的结果，每题填写正确得3分，否则一律得0分．11.若实数x 满足211x x+=，则52x x ++的值为_________．12.在ABC ∆中，90C ∠=︒，如果3sin 5A =，那么B ∠的余切cot B =_________．13.若方程21x x k -=+恰有三解（相等实根算一解），则k 的值是__________．14.把抛物线()232y x =-向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴交于点()1,0A x 与()2,0B x ，如果221210x x +=，那么k 的值为________．15.某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出100条鱼，做上标记后全部放回鱼塘，过些时候捕捞出90条鱼，发现其中有4条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼约有_________条．16.如图，四边形ABCD 中，ADC ∠和ABC ∠都是直角，DE 垂直于AB ，AD 边与CD 边长度相等．已知四边形ABCD 的面积为16，那么线段DE 的长度是_________．17.在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如果延长BE 交AC 于F ，那么:AF FC =________．18.如图，ABC ∆中，已知AB AC =，DEF ∆是ABC ∆的内接正三角形，BDF α=∠，CED β=∠，AFE γ=∠，则用β、γ表示α的关系式是________．DCABE 第16题03→47→811→…↓↑↓↑↓↑…1→25→69→10…19.若扇形的圆心角是60︒，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_________．20.有红、白、绿、蓝4种颜色的袜子各100只，在黑暗中至少要摸出________只袜子，才能保证摸出的袜子至少有18双（每两只同色袜子叫做一双）．21.在数集上定义运算a b ⊕，规则是：当a b ≥时，3a b b ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=．根据这个规则，方程464x ⊕=的解是__________．22.小于1000的自然数中，不能被5和7整除的数有________个．三、解答题：（本大题满分34分）本大题共3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．23.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，且2AD =，1AE =．求：（1）O 的直径的长；（2）求BC 的长；（3）求DBA ∠的正切tan DBA ∠．CEAF BD第18题第23题CDAEOB24.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．已知圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A、B、C三点的坐标分别是()2,0A-、()12,0B、()0,4C，（1）求点D的坐标；（2）求圆心M的坐标；（3）若一抛物线过A、B、C，另一抛物线过A、B、D，求两条抛物线顶点间的距离．CAD OMB 第24题25.（本题满分12分）求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的两倍．2011年华师二附自主招生数学试题及答案一、填空题（每题4分）1.已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为__________．2.已知关于x 的方程()2210x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =__________．3.已知当船位于A 时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30︒、相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东__________的方向沿直线前往B 处救援．4.关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有________组解．5.已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是_______．6.已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是____________．7.如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是__________．8.在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ∠=∠=︒，16AB =，对角线AC 与BD 交于点E ，过E 作EF AB ⊥于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +的值为_________．9.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标13,44变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为_________．A BCDEF12110.定义{}min ,,a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min ,,M x y yx ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值是________．二、计算题（20分）11.四个不同的三位整数首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10分）12.如图，已知PA 切O 于A ，30APO ∠=︒，AH PO ⊥于H ，任作割线PBC 交O于点B 、C ，计算HC HBBC-的值．（10分）A PBCH O2011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）1.如图，已知锐角ABC ∆中，45BAC ∠=︒，CE 、AD 分别是边AB 、BC 上的高，联结DE ，求证：2AD CD DE -=．ABCDEEFCDBA2.如图，已知在ABC ∆外作等腰直角三角形ABD 和等腰直角三角形ACE ，且90BAD CAE ∠=∠=︒，AM 为ABC ∆中BC 边上的中线，连接DE ．（1）求证：2DE AM =；（2）若AG BC ⊥于点G ，H 为直线AG 和DE 的交点，求证：H 为DE 中点．ABCM GHED3.如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD 、CD 平分ABC ∠，点D 在ABC ∆内，过点D 作EF ∥BC ．请问：EF 与BE 和CF 有什么关系？ABCE F D4.已知：在ABC ∆中，AB AC =，72B ∠=︒．（1）如何才能将ABC ∆划分成三个等腰三角形？请画出至少4种不同的图形；（2）如何才能将ABC ∆划分成四个等腰三角形？请画出至少3种不同的图形．5.如图，在正三角形ABC ∆中，其中AF BD CE ==，AD 、BE 、CF 两两相交于P 、Q 、R ．求证：PQR ∆为正三角形ABCD E F PQR2012年复旦附中自主招生数学试题及答案1.若x ab =，22y a b =+，则()()22x y x y ++-=______．2.x ，y 满足22y x px ≥++，若x y +最大值为2，则复实数_____p =．3.ky x=上一点C ，以C 为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O 点距为2，则k 取值范围______．4.直径为MN 的半圆与MA ，NB 相切．P 为MN 上一点，PF AB ⊥，若AB 与半圆相切，则ABPBPA +最大值为______．5.6.已知BAC ∠与内部一点M ，因纸太小A 点画不下，求做一直线经过M ，A （尺规作图）．7.矩形ABCD 中，BC AB 3=，将矩形折叠，B 落在AD 上点M 处，C 落在N 处，求AMFB EC -．MNA FBPB MCAM D N FCBE8.设21,x x 为022=--p px x 的两根，P 为实数．①求证032221≥++p x px ．②当3221-≤-p x x 时，求P 的最大值．9.实数1a ，2a ， n a 满足：①021=+++n a a a ②121=+++n a a a 求证：k 个数（k =1，2，3， n ），2121≤+++k a a a ．10.锐角ABC ∆中，AD ，BE ，CF 分别为BC ，AC ，AB 边上的高，设a BC =，b AC =，c AB =，x BD =，y EC =，z AF =．①用a ，b ，c 表示x ．②当a ，b ，c 满足什么关系时，有()c b a z y x ++=++2？1.已知a b c +≤，b c a +≤，c a b +≤，求a b c ++的值．2.已知221766xy x y x y xy ++=⎧⎨+=⎩，求432234x x y x y xy y ++++的值．3.若a 、b 、c 为正有理数，证明：⑴若a b +为有理数，则a 、b 为有理数，⑵若a b c ++为有理数，则a 、b 、c 为有理数．1.在Rt ABC ∆中90A AB a AC b ∠=︒==，，，在AC 上有一点E ，在BC 上有一点F ，BE EF AE x ⊥=，，EFC S y ∆=，求y 与x 的函数关系．2.定义①111⊗=，②()1111n n +⊗=⊗+，求1n ⊗=＿＿＿．3.()()()()221328()2114a x a x a f x a x a x a ++++-=-+++-定义域为D ，()0f x >在定义域D 内恒成立，求a 的取值范围？4.已知：2222114a b a b +=+，求20122013b a a b ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭=＿＿＿．5.如图，有棋子摆成这样，求第n 幅图有＿＿＿颗棋子．6.如图，在矩形ABCD 中2AE BE =，将ABE DEC ∆∆、分别沿BE EC 、翻折，''15D EA ∠=︒，求ECB ∠=______．7.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，第2013个数是______．8.已知：x y 、为有理数，且满足21334x y +=+，求(,)x y =＿＿＿．EDCD 'A 'ABA'2013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）1.有理化1351++．2.等边ABC ∆重心为O ，1ABC S ∆=，以O 为旋转中心旋转60︒得A B C '''∆，则ABC ∆与A B C '''∆的重叠面积为______．3.2=+b a ，7=+c b 求ac bc ab c b a 242332222-++++．4.用两条直线分割下图，使拼成正方形．5.如图，有半径为2的圆A ，A ()0,1，直线k x y +=过A ，与圆交于P ()11,y x ，Q ()22,y x ，01>y ，D ()3,0．①求P ，Q 坐标②以P 为顶点的抛物线过A ，求解析式③在抛物线对称轴上有一点M ，使DMQ ∆的周长最大，求M ．6.AC 'B 'BO⋅A 'CyxO1234512345﹣1﹣1﹣2﹣2﹣3﹣3﹣4﹣4﹣5AQ P D2013年上海中学自主招生数学试题及答案一、填空题（本部分共10道题，每题8分，共80分）1.计算111122320122013+++=+++ _____________.2.设x ，y ，z 为整数且满足201220131x y y z-+-=，则代数式333x y y z z x-+-+-的值为________________.3.若有理数a ，b 满足21334a b -=+，则a b +=________.4.如图，在ABC ∆中，3AC =，4BC =，5AB =，线段DE AB ⊥，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的三分之一，那么，线段BD 长为___________.5.二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点M N 、，顶点为R ，若MNR ∆恰好是等边三角形，则24b ac -=____________.6.如图为25个小正方形组成的55⨯棋盘，其中含有符号 “”的各种正方形共有19个.7.平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形得顶点，则n 的最大值为4.8.若方程()()2214x x k --=有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k =74.9.一个老人有n 匹马，他把马全部给两个儿子，大儿子得x 匹，小儿子得y 匹(1)x y >≥，并且满足x 是1n +的约数，y 也是1n +的约数，则正整数n 共有______种可能得取值？10.已知0a >且不等式12ax <<恰有三个正整数解，则当不等式23ax <<含有最多的整数解时，正数a 的取值范围为__________.二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题15分，后两题每题20分，共70分，要求写出必要的解题步骤）11.设方程210x x --=的两个根为a b 、，求满足()()(),,11f a b f b a f ===的二次函数()f x .12.已知()11232n n n +++++=，这里n 为任意正整数，请你利用恒等式()3321331n n n n +=+++，推导出2222123n ++++ 的计算公式.13.解方程组：2222221()2()3()x y z y z x z x y ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩14.已知ABC ，5AC =，6AB =，7BC =，111A B C 中，1A A ∠=∠，1=B B ∠∠，但111A B C 的大小和位置不定，当1A 到BC 的距离为3，1B 到AC 的距离为1，（如图），问：1C 到AB 的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.2014年交大附中自主招生数学试题及答案一、填空题1.在△ABC 中，设CA a = ，CB b =，P 是中线AE 与中线CF 的交点，则BP = ．（用,a b 表示）2.已知a 是正实数，则2a a+的最小值等于．3.正整数360共有个正因数．4.小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。