专题52 中考数学最值问题(解析版)

专题52 中考数学最值问题

在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 （1）两点之间线段最短；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；

（3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式

二次函数y ax bx c =++2

（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有

①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442；

②若a <0当x b

a

=-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 2

2

++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即

a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】（2020•黑龙江）如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．求EC +GC 的最小值为 ．

【答案】√3．

【解析】根据菱形的性质得到AB ＝1，∠ABD ＝30°，根据平移的性质得到EG ＝AB ＝1，EG ∥AB ，推出四边形EGCD 是平行四边形，得到ED ＝GC ，于是得到EC +GC 的最小值＝EC +GD 的最小值，根据平移的性质得到点E 在过点A 且平行于BD 的定直线上，作点D 关于定直线的对称点M ，连接CM 交定直线于AE ，解直角三角形即可得到结论．

∵在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝CD ＝1，∠ABD ＝30°，

∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△EGF ， ∴EG ＝AB ＝1，EG ∥AB ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ， ∴∠BAD ＝120°， ∴EG ＝CD ，EG ∥CD ，

∴四边形EGCD是平行四边形，

∴ED＝GC，

∴EC+GC的最小值＝EC+ED的最小值，

∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，

∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，则CM的长度即为EC+DE的最小值，

∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，

∴∠ADM＝60°，DH＝MH=1

2AD=

1

2，

∴DM＝1，

∴DM＝CD，

∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，

∴CM＝2×√3

2CD=√3．

【对点练习】（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为．

【答案】15．

【解析】作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．首先证明△ABA′是等边三角形，求出A′H，根据垂线段最短解决问题即可．

解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．

∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，

∴∠ABA′＝60°，

∴△ABA′是等边三角形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，

在Rt△ABD中，AB=

AD

tan30°

=10√3，

∵A′H⊥AB，

∴AH＝HB＝5√3，

∴A′H=√3AH＝15，

∵AM+MN＝A′M+MN≤A′H，

∴AM+MN≤15，

∴AM+MN的最小值为15．

【例题2】（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．

（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；

（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？

（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．

【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．

（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．

（3）根据（2）的结论列不等式解答即可．

【解析】（1）当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，

解得k＝30；

∴y＝30x；

当x＞50时，设y＝k1x+b，