专题52 中考数学最值问题(解析版)

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专题52 中考数学最值问题

在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短;

(2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;

(3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式

二次函数y ax bx c =++2

(a 、b 、c 为常数且a ≠0)其性质中有

①若a >0当x b a =-2时,y 有最小值。y ac b a min =-442;

②若a <0当x b

a

=-2时,y 有最大值。y ac b a max =-442。

2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因而没有最大(小)值;但当m x n ≤≤时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大(小)值。

3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程;再根据x 是实数,推得∆≥0,进而求出y 的取值范围,并由此得出y 的最值。

4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。

5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有a b k k 2

2

++≥,当且仅当a b ==0时,等号成立,即

a b k 22++的最小值为k 。

6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号,然后求出y 在各个区间上的最大值,再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。

7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中,x a =是最大值,在不等式x b ≥中,x b =是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。

【例题1】(2020•黑龙江)如图,在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC =60°,将△ABD 沿射线BD 方向平移,得到△EFG ,连接EC 、GC .求EC +GC 的最小值为 .

【答案】√3.

【解析】根据菱形的性质得到AB =1,∠ABD =30°,根据平移的性质得到EG =AB =1,EG ∥AB ,推出四边形EGCD 是平行四边形,得到ED =GC ,于是得到EC +GC 的最小值=EC +GD 的最小值,根据平移的性质得到点E 在过点A 且平行于BD 的定直线上,作点D 关于定直线的对称点M ,连接CM 交定直线于AE ,解直角三角形即可得到结论.

∵在边长为1的菱形ABCD 中,∠ABC =60°, ∴AB =CD =1,∠ABD =30°,

∵将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△EGF , ∴EG =AB =1,EG ∥AB , ∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =CD ,AB ∥CD , ∴∠BAD =120°, ∴EG =CD ,EG ∥CD ,

∴四边形EGCD是平行四边形,

∴ED=GC,

∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,

∵点E在过点A且平行于BD的定直线上,

∴作点D关于定直线的对称点M,连接CM交定直线于E,则CM的长度即为EC+DE的最小值,

∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1,

∴∠ADM=60°,DH=MH=1

2AD=

1

2,

∴DM=1,

∴DM=CD,

∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°,∴∠M=∠DCM=30°,

∴CM=2×√3

2CD=√3.

【对点练习】(2020•内江)如图,在矩形ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点,则AM+MN的最小值为.

【答案】15.

【解析】作点A关于BD的对称点A′,连接MA′,BA′,过点A′H⊥AB于H.首先证明△ABA′是等边三角形,求出A′H,根据垂线段最短解决问题即可.

解:作点A关于BD的对称点A′,连接MA′,BA′,过点A′H⊥AB于H.

∵BA=BA′,∠ABD=∠DBA′=30°,

∴∠ABA′=60°,

∴△ABA′是等边三角形,

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD=BC=10,

在Rt△ABD中,AB=

AD

tan30°

=10√3,

∵A′H⊥AB,

∴AH=HB=5√3,

∴A′H=√3AH=15,

∵AM+MN=A′M+MN≤A′H,

∴AM+MN≤15,

∴AM+MN的最小值为15.

【例题2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难,八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助,对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克,付款y元,y与x之间的函数关系如图所示.

(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时,y与x之间的函数关系式;

(2)若经销商计划一次性购进甲,乙两种水果共100千克,且甲种水果不少于40千克,但又不超过60千克.如何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额w(元)最少?

(3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克,且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元,求a的最小值.

【分析】(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数,待定系数法求解析式即可.

(2)设购进甲种水果为a千克,则购进乙种水果(100﹣a)千克,根据实际意义可以确定a的范围,结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少.

(3)根据(2)的结论列不等式解答即可.

【解析】(1)当0≤x≤50是,设y=kx,根据题意得50k=1500,

解得k=30;

∴y=30x;

当x>50时,设y=k1x+b,

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