二次函数综合题之点的存在性问题
二次函数中的存在性问题
⼆次函数中的存在性问题⼆次函数中的存在性问题存在性问题是指判断满⾜某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖⾯较⼴，综合性较强，题意构思⾮常精巧，解题⽅法灵活，对学⽣分析问题和解决问题的能⼒要求较⾼，是近⼏年来各地中考的“热点”。
这类题⽬解法的⼀般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出⽭盾，就做出“不存在”的判断。
以下⼏篇内容为⼏种典型的⼆次函数中出现的存在性问题，希望⼤家在以后的学习中如果遇到此类型时能够轻松解决。
⼀、特殊三⾓形的存在性问题（⼀）⼆次函数中的等腰三⾓形存在性问题如果△ABC是等腰三⾓形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．因此，解等腰三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（⼆）⼆次函数中的直⾓三⾓形存在性问题如果△ABC是直⾓三⾓形，那么存在①∠A为直⾓，②∠B为直⾓，③∠C为直⾓三种情况．因此，解直⾓三⾓形的存在性问题时，通常要进⾏分类讨论。
这类问题有⼏何法和代数法两种⽅法，我们要根据具体情况灵活选择简便的⽅法。
⼏何法⼀般分三步：分类、画图、计算．代数法⼀般也分三步：罗列三边长，分类列⽅程，解⽅程并检验．（三）⼆次函数中的等腰直⾓三⾓形存在性问题在解决等腰直⾓三⾓形存在性问题时，往往要⽤到⼏何和代数相结合的⽅法，设出点的坐标后，利⽤等腰直⾓三⾓形的⼏何性质及函数关系式列⽅程求解，最常⽤到的有：①两直⾓边相等，直⾓边与斜边的⽐为1：√2；②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的⼀半。
③直⾓顶点处构造三垂直，得到全等三⾓形，利⽤对应边的等量关系求解。
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】(人教版)(原卷版)
专题22.8 二次函数中的存在性问题【八大题型】【人教版】【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】 (1)【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】 (3)【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 (5)【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】 (7)【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】 (9)【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】 (11)【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】 (13)【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】 (15)【题型1 二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG 的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【变式1-1】（2022•桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−√36x2+2√33x+2√3与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC．（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使△ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由．【变式1-2】（2022秋•日喀则市月考）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5的图象与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，M为抛物线的顶点．（1）求M点的坐标；（2）求△MBC的面积；（3）坐标轴上是否存在点N，使得以B，C，N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-3】（2022•平南县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当∠P AB＝45°时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型2 二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2022•沙坪坝区校级模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A（﹣1，0），点B （4，0），交y轴于点C．连接BC，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交AD于点E，过点E作EG⊥BC于点G，连接PG．求△PEG面积的最大值及此时点P的坐标；个单位，得到新抛物线y1，在y1的对称轴上（3）如图2，将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32确定一点M，使得△BDM是以BD为腰的等腰三角形，请写出所有符合条件的点M的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【变式2-1】（2022•湘西州）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN 与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG 是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式2-2】（2022秋•永嘉县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是y轴正半轴，x轴正x2+3x+k交y 半轴上两动点，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO为邻边构造矩形AOBC，抛物线y=−34轴于点D，P为顶点，PM⊥x轴于点M．（1）求OD，PM的长（结果均用含k的代数式表示）．（2）当PM＝BM时，求该抛物线的表达式．（3）在点A在整个运动过程中，若存在△ADP是等腰三角形，请求出所有满足条件的k的值．【变式2-3】（2022•杭州校级自主招生）如图，抛物线y＝ax2﹣5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴的负半轴上，点C在y轴上，且AC＝BC．（1）求抛物线的对称轴；（2）求A点坐标并求抛物线的解析式；（3）若点P在x轴下方且在抛物线对称轴上的动点，是否存在△P AB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．【题型3 二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2022•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C （0，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与【变式3-1】（2022•碑林区校级三模）已知抛物线C1：y=14y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．（1）求抛物线C1的表达式和点D的坐标；（2）将抛物线C1沿x轴平移m（m＞0）个单位长度，所得新的抛物线记作C2，C2的顶点为D′，与抛物线C1交于点E，在平移过程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，请求出满足条件的抛物线C2的表达式，并写出平移过程；如果不存在，请说明理由．【变式3-2】（2022•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y 轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接P A，PF，AF．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-3】（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【题型4 二次函数中平行四边形的存在性问题】【例4】（2022•垦利区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE、CE，当△ACE的面积最大时，点D的坐标是；（3）当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-1】（2022•澄迈县模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求该抛物线的函数表达式及顶点C的坐标；（2）设该抛物线上一动点P的横坐标为t．①在图1中，当﹣3＜t＜0时，求△PBO的面积S与t的函数关系式，并求S的最大值；②在图2中，若点P在该抛物线上，点E在该抛物线的对称轴上，且以A，O，P，E为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；【变式4-2】（2022•福山区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）若点P是抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，试探究是否存在以点E，D，P，Q为顶点的平行四边形．若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【变式4-3】（2022•青羊区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【题型5 二次函数中矩形的存在性问题】【例5】（2022•齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y＝﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，2），过点A、C的直线交二次函数的图象于点D．（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为6；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°，点Q的坐标为；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N 为顶点的四边形是以AD为边的矩形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-1】（2022•博山区一模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，x﹣4．且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y=12（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2√5个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【变式5-2】（2022•绥化）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交y轴于点A（0，﹣4），并经过点C（6，0），过点A作AB⊥y轴交抛物线于点B，抛物线的对称轴为直线x＝2，D点的坐标为（4，0），连接AD，BC，BD．点E从A点出发，以每秒√2个单位长度的速度沿着射线AD运动，设点E的运动时间为m秒，过点E作EF⊥AB于F，以EF为对角线作正方形EGFH．（1）求抛物线的解析式；（2）当点G随着E点运动到达BC上时，求此时m的值和点G的坐标；（3）在运动的过程中，是否存在以B，G，C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由．【变式5-3】（2022•黔东南州）如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC 于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【题型6 二次函数中菱形的存在性问题】【例6】（2022•烟台一模）如图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C（4，﹣5）两点，且与直线DC交于另一点E．（1）求抛物线的解析式；（2）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接EQ，AP．试求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N为平面内一点，在抛物线对称轴上是否存在点M，使得以点M，N，E，A为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-1】（2022•邵阳县模拟）如图，直线l：y＝﹣3x﹣6与x轴、y轴分别相交于点A、C；经过点A、x2+bx+c与x轴的另一个交点为点B，其顶点为点D，对称轴与x轴相交于点E．C的抛物线C：y=12（1）求抛物线C的对称轴．（2）将直线l向右平移得到直线l1．①如图①，直线l1与抛物线C的对称轴DE相交于点P，要使PB+PC的值最小，求直线l1的解析式．②如图②，直线l1与直线BC相交于点F，直线l1上是否存在点M，使得以点A、C、F、M为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-2】（2022•嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）、B（4，1）两点，与y轴的交点为C点．（1）求抛物线的表达式；（2）求四边形OABC的面积；（3）设抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线l，点D与点B关于直线l对称，在线段BC上是否存在一点E，使四边形ADCE是菱形，如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式6-3】（2022•山西模拟）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴分别交于点A（﹣2，0），B（4，0），点E是x轴正半轴上的一个动点，过点E作直线PE⊥x轴，交抛物线于点P，交直线BC于点F．（1）求二次函数的表达式．EF，求此时点P的坐标．（2）当点E在线段OB上运动时（不与点O，B重合），恰有线段PF=12（3）试探究：若点Q是y轴上一点，在点E运动过程中，是否存在点Q，使得以点C，F，P，Q为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【题型7 二次函数中正方形的存在性问题】【例7】（2022•铁锋区二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C，且OA＝20C，点F是直线AB下方抛物线上的动点，连接F A，FB．（1）求抛物线解析式；（2）当点F与抛物线的顶点重合时，△ABF的面积为；（3）求四边形F AOB面积的最大值及此时点F的坐标．（4）在（3）的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内另一点M，使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【变式7-1】（2022•陇县二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），)两点，且与y轴交于点C，点B是该抛物线的顶点．B(1，−94（1）求抛物线L1的表达式；（2）将L1平移后得到抛物线L2，点D，E在L2上（点D在点E的上方），若以点A，C，D，E为顶点的四边形是正方形，求抛物线L2的解析式．【变式7-2】（2022秋•南宁期中）如图，抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴于点A（﹣1，0）、B（3，0），点P是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）Q是抛物线上第一象限除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标；（3）若M、N为抛物线上两个动点，分别过点M、N作直线BC的垂线段，垂足分别为D、E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【变式7-3】（2022•南充）如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【题型8 二次函数中角度问题的存在性问题】【例8】（2022•西宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．（1）求抛物线解析式；（2）连接BE，求△BCE的面积；（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．，0），B（3，【变式8-1】（2022•鄂尔多斯）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（−127）两点，与y轴交于点C．2（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式8-2】（2022•运城二模）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作直线PE∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点F，以PD为斜边，在PD的右侧作等腰直角△PDF．（1）求抛物线的表达式，并直接写出直线BC的表达式；（2）设点P的横坐标为m（0＜m＜3），在点P运动的过程中，当等腰直角△PDF的面积为9时，请求出m的值；（3）连接AC，该抛物线上是否存在一点M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）【变式8-3】（2022•罗湖区校级一模）如图，已知抛物线y=−13两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一点，连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）连接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考复习：二次函数与几何综合类存在性问题(共29张PPT)
解析
(1)由题意知，点 A 与点 B 关于直线 x＝－1 对
称，A(－3，0)，
∴B(1，0)． (2)①当 a＝1 时，则 b＝2，把 A(－3，0)代入 y＝x2＋2x
＋c 中得 c＝－3， ∴该抛物线的关系式为 y＝x2＋2x－3.
∵S△BOC＝12·OB·OC＝21×1×3＝32，
∴S△POC＝4S△BOC＝4×32＝6.
故经过 A、B、C 三点的抛物线的关系式是 y＝－12x2＋32x＋2.
解析
(2)∵y＝－12x2＋32x＋2＝－12x－232＋285，
∴M 32，285.
设直线 MC 对应的函数关系式是 y＝kx＋b，
把 C(0，2)，M
32，285
代入，得285＝32k＋b， b＝2，
－－322－3×－32＝94.
总结：
解有关二次函数的综合问题时，首先要根据已知条件求出二 次函数的关系式，再结合图象，运用几何知识解决问题．
探究二.二次函数与四边形的结合
例2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象 与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C(0，－3)， 点P是直线BC下方抛物线上的动点．
总结：此类问题常涉及运用待定系数法求二次函数、一次 函数的关系式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直 角三角形、等腰三角形的判定．要注意的是当相似三角形的 对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解．
探究四.二次函数与圆的结合
例4．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 为O，A点坐标为(4，0)，B点坐标为(－1，0)， 以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴 正半轴交于点C. (1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函 数关系式； (2)设M为(1)中抛物线的顶点，求直线MC对 应的函数关系式； (3)试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明 你的结论．
二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)
中考压轴题解析二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题例1】已知抛物线y ax2 bx 3与 x轴分别交于A( 3,0)，B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．2)点 F 是线段 AD 上一个动点．1AD .2ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．变式1-1】如图，抛物线y ax2 2x c经过A( 1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3) ，抛物线与直线y x 1交于A，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)P点在x轴上且位于点B 的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐AF①如图 1，设k ，当 k 为何值时，CFAD1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；标．1【变式1-2】如图，已知抛物线y m（x 2）（x m）（m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 .（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .考点 2】二次函数与直角三角形问题BC交于点D，连接AC 、AD ，求VACD的面积；3 点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E使VDEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．例2】如图，抛物线y ax2bx c a 0的顶点坐标为2, 1 ，图象与y 轴交于点C 0,3 ，与x轴2 设抛物线对称轴与直线【变式2-1】如图，经过x 轴上A（ 1，0）， B（3，0）两点的抛物线y m（x 1）2 4m （m 0）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙ G 经过点C ，求解下列问题：1）用含m的代数式表示出C，D 的坐标；2）求抛物线的解析式；3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ 为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。
二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题
考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点． （1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于33y x =：当x =0时，3y = 当y =0时，3303x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-23y bx c ++得： 33+3+=03b c c ⎧⎪⎨=-⎪⎩解得，233b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：23233y =-（2）抛物线的对称轴为直线23312323b x a -=-=-=⨯故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上， 当x =1时，232343113=333y =⨯-⨯--∴Q （1，433-）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，∴令3y =23233=3y解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0） 综上所述，Q 点坐标为（1，433-）或(3，0)或（-1，0）1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。
二次函数中点的存在性问题
二次函数中的存在性问题1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．3．已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E，以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90°得到直线l，设直线l与y轴的交点为P，求△APE的面积；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．1．已知抛物线y=﹣x2+x﹣3与x轴交于A，B两点，2．与y轴交于点C．在直线CA上方的抛物线上是否存在3．一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D4．的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：对于抛物线y=﹣x2+x﹣3，令y=0，得到﹣x2+x﹣3=0，解得：x=1或x=4，∴B（1，0），A（4，0），令x=0，得到y=﹣3，即C（0，﹣3），设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入得：，解得：k=，b=﹣3，∴直线AC解析式为y=x﹣3，设平行于直线AC，且与抛物线只有一个交点的直线方程为y=x+m，此时直线与抛物线交于点D，使得△ACD的面积最大，与二次函数解析式联立消去y得：﹣x2+x﹣3=x+m，整理得：3x2﹣12x+4m+12=0，∴△=144﹣12（4m+12）=0，解得：m=0，∴此时直线方程为y=x，点D坐标为（2，）．2．（2008•宁波校级自主招生）已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．（1）求直线和抛物线解析式；（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．解答：解：（1）∵直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，∴，解得，∴y=x+4，把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，，∴y=﹣x2+6x；∴S△OCD=2S△OAB=12，×6×h=12，解得h=4，由﹣x2+6x=4，得x=3±，∴D（3+，4）或（3﹣，4）．3．（2014春•昌平区期末）已知直线y=x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A和点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．解答：解：（1）把x=0代入y=x﹣3得y=﹣3，则C点坐标为（0，﹣3），把y=0代入y=x﹣3得x﹣3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），把A（4，0），C（0，﹣3）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+x﹣3；（2）存在．过D点作直线AC的平行线y=kx+b，当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，∵直线AC的解析式为y=x﹣3，∴k=，即y=x+b，由直线y=x+b和抛物线y=﹣x2+x﹣3组成方程组得，消去y得到3x2﹣12x+4b+12=0，∴△=122﹣4×3×（4b+12）=0，解得b=0，∴3x2﹣12x+12=0，解得x1=x2=2，把x=2，b=0代入y=x+b得y=，∴D点坐标为（2，）．4．（2010•孝感模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），过点A的直线y=kx+1交抛物线于点C（2，3）．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（3）若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F，使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵点C（2，3）在直线y=kx+1上，∴2k+1=3．解得k=1．∴直线AC的解析式为y=x+1．∵点A在x轴上，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、C，∴解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）由y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，可得抛物线的对称轴为x=1，B（3，0）．∴E（1，2）．根据题意，知点A旋转到点B处，直线l过点B、E．设直线l的解析式为y=mx+n．将B、E的坐标代入y=mx+n中，联立可得m=﹣1，n=3．∴直线l的解析式为y=﹣x+3．∴P（0，3）．过点E作ED⊥x轴于点D．∴S△PAE=S△PAB﹣S△EAB=AB•PO﹣AB•ED=×4×（3﹣2）=2．（3）存在，点F的坐标分别为（3﹣，0），（3+，0），（﹣1﹣，0）（﹣1+，0）．5．（2013秋•红安县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC 的面积；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，令x=0求出点C的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点Q，然后利用直线解析式求解即可；（4）过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，根据抛物线解析式与直线BC的解析式表示出PD，再根据S△PBC=S△PCD+S△PBD列式整理，然后利用二次函数最值问题解答．解答：解：（1）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以，点B的坐标为（3，0），令x=0，则y=2，所以，点C的坐标为（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线BC的解析式为y=﹣x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，=﹣（x2﹣2x+1）+2+，=﹣（x﹣1）2+，∴顶点坐标为（1，），（3）由轴对称确定最短路线问题，直线BC与对称轴的交点即为使线段AQ+CQ最小的点，x=1时，y=﹣×1+2=，所以，存在Q（1，），使线段AQ+CQ最小；（4）如图，过点P作PD∥y轴与BC相交于点D，则PD=（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，所以，S△PBC=S△PCD+S△PBD，=×（﹣x2+2x）×3，=﹣x2+3x，=﹣（x﹣）2+，所以，当x=时，△PBC的面积最大为，此时，y=﹣×（）2+×+2=，所以，存在P（，），使S△PBC最大=．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点坐标的求解，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求法，轴对称确定最短路线问题，二次函数的最值问题．。
二次函数中的存在性问题
二次函数中特殊四边形的存在性问题（三）——与正方形的结合一、教材分析：结合最近几年的中考真题，不难发现，第28题压轴题一定是二次函数的综合性题目，在这道题的第3问中，大致可以分为以下几类：1、存在性问题：（1）二次函数中的特殊三角形存在性问题（这里的三角形可以是等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）；（2）二次函数中与已知三角形相似的三角形存在性问题；话（3）二次函数中与已知三角形面积产生联系的三角形存在性问题；（4）二次函数中特殊四边形存在性问题（这里的特殊四边形可以是平行四边形、矩形、菱形、正方形）。
2、最值问题。
3、动点问题（路径）。
由此可见，将存在性问题分为多个小专题来授课是非常必要的。
二、学情分析：在八年级学过一次函数后，我们已经在该背景下研究过特殊三角形的存在性问题，其中不乏等腰三角形等，也研究过在已知三角形的前提下，是否有点存在，构成全等三角形。
对处理存在性问题有了一定的感悟，往往是：假设存在——尝试画图，在该过程中分析是否具有多种可能性——选择合适的分类标准，进行讨论——结合题意推理计算。
在此背景下，经历了九年级的反比例函数、二次函数和相似三角形、特殊平行四边形的学习后，便可以将存在性问题放到反比例函数和二次函数中来研究，学生也有了一定的方向和研究策略，可以进一步体会存在性问题的本质。
三、教学目标：1、能根据题中给出的条件，选择恰当的表达式（一般式、顶点式、交点式），用待定系数法求出抛物线解析式2、在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），找出符合题意的点，尝试解答3、在学习的过程中，经历独自思考、小组讨论的过程，增强自信心，树立健全人格四、教学重、难点：教学重点：在二次函数的综合性题目中，能结合图象，在题意中抽取出有用的信息，并能用数学语言表达（若没有图形则可自己尝试画图），尝试解答教学难点：归纳总结怎么处理二次函数中的存在性问题，存在性问题的本质是什么。
二次函数中的存在性问题(最新整理)
二次函数中的存在性问题1. 如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．4：解：（1）设抛物线顶点为E，根据题意OA=4，OC=3，得：E（2，3），设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+3，将A（4，0）坐标代入得：0=4a+3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x；（2）设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0），将A（4，0）与C（0，3）代入得：，解得：，故直线AC解析式为y=﹣x+3，与抛物线解析式联立得：，解得：或，则点D坐标为（1，）；（3）存在，分两种情况考虑：①当点M在x轴上方时，如答图1所示：四边形ADMN为平行四边形，DM∥AN，DM=AN，由对称性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②当点M在x轴下方时，如答图2所示：过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点M作MP⊥x轴于点P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，将y M=﹣代入抛物线解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：x M=2﹣或x M=2+，∴x N=x M﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．综上所述，满足条件的点N有四个：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函数解析式为：y=x2+2x．（2）当AO为平行四边形的边时，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在对称轴直线x=﹣1左侧，则D横坐标为﹣3，代入抛物线解析式得D1（﹣3，3），若D在对称轴直线x=﹣1右侧，则D横坐标为1，代入抛物线解析式得D2（1，3）．综上可得点D的坐标为：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，则=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=13，x2=﹣2（舍去）．当x=13时，y=59，即P（13，59），②若△PMA∽△BOC，则=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．故符合条件的点P有两个，分别是P（13，59）或（3，15）．3. 如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在疑点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的坐标．8、解答：解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得：，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得：a1=1，a2=﹣2M（1，2）或（﹣2，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．∵M在第一象限，（，）；∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．4．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形（2）和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．10、解答：解：（1）如图1，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴OA=3，OC=4．∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC∥AO，AB平分∠CAO，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．∴BC=AC．∴BC=5．∵BC∥AO，BC=5，OC=4，∴点B的坐标为（5，4）．∵A（﹣3.0）∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4．（2）如图2，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A（﹣3.0）、B（5，4）在直线AB上，∴解得：∴直线AB的解析式为y=x+．设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．∴y P=t+，y Q=﹣t2+t+4．∴PQ=y Q﹣y P=﹣t2+t+4﹣（t+）=﹣t2+t+4﹣t﹣=﹣t2++=﹣（t2﹣2t﹣15）=﹣[（t﹣1）2﹣16]=﹣（t﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为．∴线段PQ的最大值为．（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H=x G=x M=．∴y G=×+=．∴GH=．∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，∴△AHG∽△MHA．∴．∴=．解得：MH=11．∴点M的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣=，∴BG===．同理：AG=．∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，∴△AGH∽△MGB．∴=．∴=．解得：MG=．∴MH=MG+GH=+=9．∴点M的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M的坐标为（，9）和（，﹣11）．6．（2009•崇左）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．21教育网（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y 轴的距离，即B的坐标；21（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）练习：1. 如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，且A 点坐标为（-3,0），经过B 点的直线交抛物线于点D （-2，-3）.（1）求抛物线的解析式和直线BD 解析式；（2）过x 轴上点E （a ，0）（E 点在B 点的右侧）作直线EF ∥BD ,交抛物线于点F ,是否存在实数a 使四边形BDFE 是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a ；如果不存在，请说明理由.2．已知抛物线经过A （2，0）． 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． 36232++=bx x y （1）求b 的值，求出点P 、点B 的坐标；（2）如图，在直线 y=x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为平行四边形？若存在，3求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，使△AMP ≌△AMB ？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．4. 如图，已知抛物线y ＝x2＋bx ＋3与x 轴交于点B （3，0），与y 轴交于点A ，P 是抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m （m ＞3），过点P 作y 轴的平行线PM ，交直线AB 于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）若以AB 为直径的⊙N 与直线PM 相切，求此时点M 的坐标；（3）在点P 的运动过程中，△APM 能否为等腰三角形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．3. 已知：如图一次函数y ＝x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；21二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与一次函数y ＝x ＋1的图象交于B 、C 两点，2121与x 轴交于D 、E 两点且D 点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？ 若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．4. 如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标.。
二次函数与几何综合类存在性问题课件
03
注意答案的完整性和规 范性；
04
在解答过程中，注意逻 辑的严密性和推理的准 确性。
02
二次函数与几何综合类存在
性问题的类型
以二次函数为背景的存在性问题
总结词
这类问题主要考察二次函数的性质，如开口方向、对称轴、顶点等，以及这些 性质在几何图形中的应用。
详细描述
这类问题通常会给出二次函数的一般形式，如$f(x) = ax^2 + bx + c$，然后要 求求解满足某些条件的点或线。例如，求函数$f(x) = x^2 - 2x$在$x$轴上的交 点，或求函数$f(x) = x^2 - 2x$的对称轴等。
3. 将代数结果和几何结果相互印证，得出最终结论。
04
二次函数与几何综合类存在
性问题的实例分析
实例一
总结词
利用抛物线的性质和点到直线距离公式，求出最小值。
详细描述
设抛物线方程为 $y = ax^2 + bx + c$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将抛线上的点 $(x, y)$ 到直线的距离表示为 $d = frac{|ax^2 + bx + c - mx - n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用抛物线的 性质和极值定理，求出 $d$ 的最小值。
实例三
总结词
利用双曲线的性质和点到直线距离公 式，求出最小值。
详细描述
设双曲线方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，直线方程为 $y = mx + n$。首先，将双曲线上的点 $(x, y)$ 到直线的 距离表示为 $d = frac{|mx - y + n|}{sqrt{m^2 + 1}}$。然后，利用双曲线的性质和极值定理 ，求出 $d$ 的最小值。
专题27 二次函数-存在性问题(全国通用)(解析版)
专题27 二次函数-存在性问题存在性问题是判断事物是否存在的问题，其知识点较广，综合性强，解题方法较灵活，对学生解决问题能力要求高，中考题中往往出现在压轴题中，其解题的一般思路是：假设存在--推理论证--得出结论---合理就存在在，反之不存在。
存在性的问题有点、线段、图形的存在等等。
解题方法多以设参数--表示点坐标--表示线段长--表示面积---建立方程等方法解决问题。
1．如图，二次函数的图象交x 轴于点()()1,0,4,0A B -，交y 轴于点()0,4,C P -是直线BC 下方抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式;（2）连接,PB PC ，是否存在点P ，使PBC ∆面积最大，若存在，求出点P 的坐标;若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--；（2）存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-． 【分析】（1）由A 、B 、C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）过P 作PE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，交直线BC 于点F ，用P 点坐标可表示出PF 的长，则可表示出△PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC 面积的最大值及P 点的坐标．【详解】（1）∵二次函数的图象交y 轴于点()0,4C -，∴设二次函数表达式为24y ax bx =+-， 把A 、B 二点坐标代入可得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解这个方程组，得13a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：234y x x =--；（2））∵点P 在抛物线上，∴设点P 的坐标为()2,34t t t --过P 作PE x ⊥轴于E ，交直线BC 于F设直线BC 的函数表达式y mx n =+，将B （4，0），C （0，-4）代入得404m n n +=⎧⎨=-⎩， 解这个方程组，得14m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 解析式为4y x =-，∴点F 的坐标为(),4t t -，()()224344PF t t t t t ∴=----=-+， ()2114422PBC S PF OB t t ∆∴==-+⨯ ()2228t =--+，∵20a =->，∴当2t =时，PBC S ∆最大，此时223423246y t t =--=-⨯-=-，所以存在点P ，使PBC ∆面积最大，点P 的坐标为()2, 6-．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P 点坐标表示出△PBC 的面积是解题的关键．2．如图,二次函数 22y ax bx =++经过点()1,0A -和点()4,0B ,与y 轴交于点C ． ()1求抛物线的解析式;()2D 为y 轴右侧抛物线上一点,是否存在点D ,使若存在2 3ABC ABD S S ∆∆=,请直接写出点D 的坐标;若不存在,请说明理由．【答案】(1) 213222y x x =-++；(2) 存在，D （1，3）或（2，3）或（5，-3） 【分析】 （1）利用待定系数法将点A 和点B 的坐标代入，求出a 和b 的值即可；（2）求出△ABC 的面积，根据23ABC ABD S S ∆∆=求出△ABD 的面积，得出△ABD 中AB 边上的高，从而分点D 在x 轴上方和x 轴下方分别求出点D 的坐标.【详解】解：（1）把点()1,0A -和点()4,0B 代入22y ax bx =++中,得0201642a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-++； （2）存在，()()()231,3,2,3,5,3D D D -，理由是：∵A （-1，0），B （4，0），C （0，2）， ∴()141252ABC S ∆=⨯+⨯=， ∵23ABCABD S S ∆∆=， ∴315522ABD S ∆=⨯=， 在△ABD 中，∵AB=5，∴AB 边上的高，即点D 到x 轴的距离为3， ∵抛物线表达式为213222y x x =-++， 若点D 的纵坐标为3，令y=3，解得x=1或2，∴点D 的坐标为（1，3）或（2，3）；若点D 的纵坐标为-3，令y=-3，解得x=5或-2（舍），∴点D 的坐标为（5，-3）.综上：存在()()()231,3,2,3,5,3D D D -，使得23ABC ABD S S ∆∆=. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数上点的坐标，解题的关键是注意分类讨论思想的运用.3．如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数283y ax x c =++的图像与y 轴交于点B (0， 4)，与x 轴交于点A (－1，0)和点D ．(1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点和点D 的坐标；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△BOP 的面积等于52？如果存在，请求出点P 的坐标？如果不存在，请说明理由．【答案】（1）248433y x x =-++；（2）D 的坐标为（3，0），顶点坐标为（1，163）；（3）满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据二次函数的解析式得点D 的坐标，将解析式化为顶点式可得顶点的坐标；（3）设P 的坐标为P （x ，y ），到y 轴的距离为|x|，则S △BOP =12•BO •|x|，解出x=±54，进而得出P 点坐标．【详解】解：(1)把点A (－1，0)和点B (0， 4)代入二次函数283y ax x c =++中得： ()()280=1134a c c⎧-+⨯-+⎪⎨⎪=⎩ 解得：434a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以二次函数的解析式为：248433y x x =-++ ； （2）根据（1）得点D 的坐标为（3，0），248433y x x =-++=()()224416241333x x x --+=--+， ∴顶点坐标为（1，163）； (3)存在这样的点P ，设P 的坐标为P (x ，y )，到y 轴的距离为∣x ∣∵ S △BOP ＝12•BO •∣x ∣ ∴52＝12×4•∣x ∣ 解得：∣x ∣＝54所以x ＝±54把x ＝54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫=-⨯+⨯+ ⎪⎝⎭ 即：y ＝214， 把x ＝－54代入248433y x x =-++中得： 2458543434y ⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即：y ＝－1712∴满足条件的点P 有两个，坐标分别为P 1(54，214)、P 2(517,412--)． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、抛物线的顶点坐标以及三角形面积等知识，掌握二次函数的性质、灵活运用待定系数法是解题的关键．4．如图，已知二次函数2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知BAC ∆的面积是6．（1）求a 的值；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使ABP ABC S S ∆∆=．存在请求出P 坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）3a =-；（2）存在，P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)---．【分析】（1）根据求出A,B,C 的坐标，再由BAC ∆的面积是6得到关于a 的方程即可求解；（2）根据ABP ABC S S ∆∆=得到P 点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．【详解】（1）∵2(1)y x a x a =-++-，令0x =，则y a =-，∴(0,)C a -，令0y =，即2(1)0x a x a -++-=解得1x a =，21x =由图象知：0a <∴(,0)A a ，(1,0)B∵6ABC S ∆= ∴1(1)()62a a --= 解得：3a =-，（4a =舍去）；（2）∵3a =-，∴(0,3)C ，∵ABP ABC S S ∆∆=.∴P 点的纵坐标为±3，把3y =代入223y x x =--+得2233x x --+=，解得0x =或2x =-，把3y =-代入223y x x =--+得2233x x --+=-，解得1x =-+1x =--∴P 点的坐标为(2,3)-或(13)-+-或(13)--．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．5．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB OC <）是方程210160x x -+=的两个根，且A 点坐标为(60)-，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE . 设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．【答案】（1）228833y x x =--+；（2）2142S m m =-+(0<m<8);（3）当4m =时S 有最大值8，此时点E 的坐标为(20)-，，△BCE 为等腰三角形. 【分析】（1）通过解方程x 2−10x ＋16＝0得到二次函数图象上的点B 、C 的坐标，再结合A 的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；（2）用m 表述出AE 、BE 的长，得到△BEF ∽△BAC ，再利用相似三角形的性质得到比例式8108EF m -=，求出EF 的表达式，利用sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45得到45FG EF =，求出FG 的表达式，再根据S ＝S △BCE −S △BFE 求S 与m 之间的函数关系，m 的值不超过AB 的长．（3）将S ＝12-m 2＋4配方为S ＝12-（m −4）2＋8，求出S 的最大值，进而判断出此时△BCE 的形状．【详解】（1）方程210160x x -+=的两个根为2和8.由于OB OC <，所以2OB =，8OC =，故8c =，点B 坐标为(20)，. 因为点A 坐标为(60)-，，所以22(6)(6)802280a b a b ⎧⨯-+⨯-+=⎨⨯+⨯+=⎩． 解得23a =-，83b =-. 故此二次函数的表达式为228833y x x =--+. （2）∵AB ＝8，OC ＝8，依题意，AE ＝m ，则BE ＝8−m ，∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10．∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF BE AC AB=． 即8108EF m -=． ∴EF ＝4054m -． 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝45． ∴45FG EF =． ∴FG ＝45•4054m -＝8−m ． ∴S ＝S △BCE −S △BFE ＝12（8−m ）×8−12（8−m ）（8−m ） ＝12（8−m ）（8−8＋m ） ＝12（8−m ）m ＝2142m m -+，自变量m 的取值范围是0＜m ＜8．（3）存在．理由如下：∵S ＝2142m m -+=−12（m −4）2＋8，且−12＜0， ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8．∵m ＝4，∴点E 的坐标为（−2，0）．∴△BCE 为等腰三角形．【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及函数和方程的关系、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、配方法求函数最大值等知识，是一道好题．6．关于x 的一元二次方程()222110k x k x --+=有两个实数根. ()1求k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的实数根互为相反数？若存在，求k ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）14k ≤且0k ≠；（2）不存在 【分析】(1)由题意，方程需满足：根的判别式大于0且二次项系数不为0，求不等式的解即可；(2)根据互为相反数的两数和等于0得方程，求解并判断即可．【详解】解：()1有题意得()22202140k k k ⎧≠⎪⎨=--≥⎪⎩，解得，14k ≤且0k ≠ ()2设方程的两根为x1,x 2,依题意， 122210k x x k -+==， ∴12k =， 又∵14k ≤且0k ≠ 所以不存在【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系．7．如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数22y x bx c =++的图象与x 轴交于A （-1,0）、B （3,0）两点, 顶点为C .(1) 求此二次函数解析式；(2) 点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：33y x =+交BD 于点E ，过点B 作直线BK ∥AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在（2）的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.【答案】(1)2y x =-点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2(3)8【解析】试题分析：(1) ∵点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（3,0），∴0,230.b c b c -+=++=解得{2b c ==-∴二次函数解析式为222y x =--（2）可求点C 的坐标为（1，-∴点D 的坐标为（1，.可求直线AD的解析式为y =+由题意可求直线BK的解析式为y =-.∵直线l的解析式为y x =+∴可求出点K 的坐标为(5,易求4AB BK KD DA ====.∴四边形ABKD 是菱形.∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P 与点E 重合时，即是满足题意的点，坐标为（2） .(3) ∵点D 、B 关于直线AK 对称,∴DN MN +的最小值是MB .过K 作KF ⊥x 轴于F 点. 过点K 作直线AD 的对称点P ,连接KP ,交直线AD 于点Q , ∴KP ⊥AD .∵AK 是∠DAB 的角平分线,∴KF KQ PQ ===∴MB MK +的最小值是BP .即BP 的长是DN NM MK ++的最小值.∵BK ∥AD ,∴90BKP ∠=︒.在Rt △BKP 中,由勾股定理得BP =8.∴DN NM MK ++的最小值为8.考点：二次函数点评：本题难度较大，主要考查学生对二次函数性质的掌握，本题难度较高在图像分析较复杂，需要学生有扎实基础来理清思路．一般为压轴题型，基础较好的同学要多加训练，培养解题感觉．8．如图是二次函数()2y x m k =++的图象，其顶点坐标为()1,4M -． （1）直接写出m 、k 的值；（2）求二次函数的图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（3）在二次函数的图象上是否存在点P ，使54PAB MAB S S =△△？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1m =-，4k =-；（2）()1,0A -，()3,0B ；（3）存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-【分析】（1）由顶点坐标确定m 、k 的值；（2）令y=0求得图象与x 轴的交点坐标；（3）设存在这样的P 点，由于底边相同，求出△PAB 中AB 边上的高P y ，然后得出P 点纵坐标代入二次函数表达式求得P 点坐标．【详解】解：（1）由顶点坐标为M （1，-4）可知二次函数解析式为()214y x =--．∴1m =-，4k =-；（2）在()214y x =--中，令0y =得()2140x --=，解得13x =，21x =-，∴()1,0A -，()3,0B ．（3）∵PAB △与MAB △同底，且54PAB MAB S S =△△， ∴554544P M y y ==⨯=，即5P y =±． 又∵点P 在()214y x =--的图象上，∴4P y ≥-，∴5P y =，∴()2145x --=，解得14x =，22x =-，∴存在点P ，坐标为()4,5或()2,5-，使54PAB MAB SS =． 【点睛】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x 轴交点坐标的求法，以及给出面积关系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想．9．如图，二次函数212y x bx c =++的图象交x 轴于,A D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是()2,0，B 点坐标是()8,6．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得CBD ∆的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标，若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）21462y x x =-+ （2）(4,−2)，(6,0)（3）存在，C(4,2)【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A(2，0)，B(8，6)代入212y x bx c =++，得 1402164862bx c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =-+ 故答案为：21462y x x =-+ （2）由221146(4)222y x x x =-+=--得二次函数图象的顶点坐标为(4，−2) 令y=0，得214602x x -+= 解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为(6，0)．故答案为：(4，−2)，(6，0)（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得△CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴△CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此△CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A(2，0)、B(8，6)代入y=mx+n ，得2+086m n m n =⎧⎨+=⎩解得12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x −2当x=4时，y=4−2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为(4，2)时，△CBD 的周长最小．故答案为：存在，C(4，2)【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，会将二次函数一般式化为顶点式，表示出顶点坐标，本题是抛物线动点问题的综合题型，在求线段和最短的时候，“两点之间，线段最短”是经常会被用到的知识点．10．如图是二次函数c bx x y ++=2的图象，其顶点坐标为M （1，－4）．（1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1） A （-1,0） B （3,0） （2）P 1（4,5） P 2（-2,5）.【解析】试题分析：（1）将顶点M （1，-4）代入二次函数c bx x y ++=2，求出二次函数解析式，令y=0，解方程即可；（2）假设存在点P （x ，y ）满足条件，用点P 坐标分别表示出两个三角形的面积，解方程确定点P 的坐标.试题解析：：（1）因为M （1，-4） 是二次函数c bx x y ++=2的顶点坐标， 所以222(1)423y x bx c x x x =++=--=--，令解得 ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3，0）.（2）在二次函数的图象上存在点P ，使设P （x ，y ）则 又∴即y=±5 ∵二次函数的最小值为-4∴当时，或故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）.考点：1.二次函数的图像；2.一次函数的图像；3.二次函数的最值；4.轴对称 .11．如图，二次函数y ＝﹣14x 2+bx +c 的图象经过点A （4，0），B （﹣4，﹣4），且与y 轴交于点C ．（1）求此二次函数的解析式；（2）证明：AO 平分∠BAC ；（3）在二次函数对称轴上是否存在一点P 使得AP ＝BP ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣14x 2+12x +2；（2）见解析；（3）存在．点P 的坐标为（1，﹣4）； 【解析】【分析】 （1）将点A （4，0）与点B （−4，-4）代入函数解析式即可；（2）求出直线AB 的解析式，求出AB 与y 轴交点D （0，−2），可得OC ＝OD ，再由AO ⊥CD ，可证AO 平分∠BAC ；（3）二次函数的对称轴为直线x ＝1，设点P 的坐标为（1，m ），AP 2＝（4−1）2＋m 2，BP 2＝（1＋4）2＋（m4）2，当AP ＝BP 时，求出m ＝−4即可；【详解】（1）∵点A （4，0）与点B （﹣4，-4）在二次函数的图象上， ∴044444b c b c =-++⎧⎨-=--+⎩， 解得122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为y ＝211242x x -++； （2）设直线AB 的解析式为y ＝ax +n则有4040a n a n +=⎧⎨-+=⎩， 解得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线AB的解析式为y＝12x﹣2，设直线AB与y轴的交点为点D，x＝0，则y＝﹣2，故点D为（0，﹣2），由（1）可知点C为（0，2），∴OC＝OD又∵AO⊥CD，∴AO平分∠BAC；（3）存在．∵y＝﹣14x2+12x+2＝﹣14（x﹣1）2+14+2，∴二次函数的对称轴为直线x＝1，设点P的坐标为（1，m），AP2＝（4﹣1）2+m2，BP2＝（1+4）2+（m4）2，当AP＝BP时，AP2＝BP2，则有9+m2＝25+m2+16+8m，解得m＝﹣4，∴点P的坐标为（1，﹣4）；【点睛】本题考查二次函数图象及性质，一次函数图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用勾股定理求边长是解题的关键．12．（本题满分10分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．（1）求出图象与轴的交点A ，B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】（1）A （－1,0） B （3,0）；（2）存在，P （－2,5）或 P （4,5）【解析】试题分析：1）由已知得，抛物线解析式令y=0，解得 ∴A （－1,0） B （3,0）（2）84421=⨯⨯=∆MAB S ∴∵AB=4 ∴令y=5，解得∴P （－2,5）或 P （4,5）考点：1．抛物线的顶点式；2．抛物线的值13．如图，二次函数212y x bx c =-++的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．（3）在x 轴上是否存在一点P ，使△ABP 为等腰三角形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）y ＝－12x 2＋4x －6；（2）S △ABC ＝6；（3）点P 坐标为（-2，0）或()2-或()2+或()80-， 【解析】试题分析：（1）把A 、B 两点的坐标代入y=-12x 2+bx+c 中得到关于b 、c 的方程组，然后解方程求出b 、c 即可得到抛物线解析式；（2）先确定抛物线的对称轴方程，则可得到C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解．（3）分类讨论，进行求解即可.试题解析：（1）∵的图象经过A （2，0）、B （0，-6）两点， ∴2206b c c -++⎧⎨-⎩＝＝， 解得b=4，c=-6，∴这个二次函数的解析式为y ＝−12x 2+4x −6 （2）令-12x 2+4x-6=0 ∴x 2-8x+12=0解得：x 1=2 x 2=6∴C （4，0）∴AC=2∴S △ABC =12×2×6=6 （3）点P 坐标为（-2,0）或()(()2-80+或或， 14．如图，二次函数2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于c 顶点，已知(1,0)A ，(0,3)C -.（1）求此二次函数的解析式及B 点坐标.（2）在抛物线上存在一点P 使ABP ∆的面积为10，不存在说明理由，如果存在，请求出P 的坐标.（3）根据图象直接写出33x -<<时，y 的取值范围.【答案】（1）二次函数解析式为223y x x =+-，B 点坐标为(3,0)-;（2）()4,5-，(2,5);（3）412y -<.【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线中，即可求得抛物线的解析式;.（2）设()2,23P x x x +-,然后利用三角形的面积计算即可;（3）根据图象可得出y 的取值范围..【详解】解：（1）将(1,0)A ，(0,3)C -代入2y x bx c =++中， 得：103b c c ++=⎧⎨=-⎩， 解得23b c =⎧⎨=-⎩. 所以二次函数解析式为223y x x =+-.令0y =，即2230x x +-=，解得：11x =，23x =-.∴B 点坐标为(3,0)-.（2）设()2,23P x x x +-，∵ABP ∆的面积为10， ∴21423102x x ⨯⨯+-=， 解方程2235x x +-=得14x =-，22x =，此时P 点坐标为()4,5-，(2,5).方程2235x x +-=-没有实数解.综上所述，P 点坐标为()4,5-，(2,5).（3）如图所示，当33x -<<时，当1x =-时，y 有最小值，将1x =-代入223y x x =+-中，得4y =-. 当3x =时，y 有最大值.将3x =代入223y x x =+-中，得12y =. ∴y 的取值范围是412y -<.【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．15．如图，已知二次函数223y x x =+-的图象与x 轴相交于C D 、两点（点C 在点D 的左边），与y 轴交于点B ，点A 在二次函数的图像上，且AB ∥x 轴．问线段BC 上是否存在点P ，使△POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,22P -+-．【分析】由抛物线解析式可得出C 、B 坐标，利用待定系数法可得直线BC 的解析式为y=-x-3，分三个情况讨论：当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，根据O 、C 坐标可得OC 中点坐标，把OC 中点的横坐标代入BC 解析式即可得P 点坐标；当PO CO =时，设P （x ，-x-3），利用两点间距离公式即可得P 点坐标；当PC CO =时，利用利用两点间距离公式即可得P 点坐标．【详解】当0y =时，2230x x +-=，解得：123,1x x =-=，∵点C 在点D 的左边，∴(3,0)C -当x=0时，y=-3，∴B （0，-3），设直线BC 的函数解析式为y kx n =+∴0330k n n=-+⎧⎨-=+⎩， 解得13k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的解析式为y=-x-3，①当PC PO =时，点P 在OC 的垂直平分线上，∵点C （-3，0），O （0，0），∴OC 中点坐标为（32-，0）， 把x=32-代入y=-x-3得：y=32-3=32-， ∴点33(,)22P -- ②当PO CO =时，设P （x ，-x-3），，解得：x 1=0，x 2=-3（舍去），∴-x-3=-3，∴点(0,3)P -，③当PC CO =时，设点(,3)P x x --，3=，解得13x =-+，232x =--（不合题意，舍去）∴(3P -+∴存在，点33(,)22P --或(0,3)P -或(3,)22P -+-． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式及等腰三角形的判定，注意分类讨论思想的运用是解题关键．16．已知二次函数：2(21)2(0)y ax a x a =+++<．（1）求证：二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）当二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数时，求a 的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x 轴的两个交点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴的交点C 及其顶点D 这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A ，B ，C ，D 的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P 使75PCA ︒∠=？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）1a =-，22y x x =--+，函数图象如图所示见解析；（3）存在这样的点P ，点P 的坐标为35,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1)．【解析】【分析】（1）1）将解析式右边因式分解得抛物线与x 轴的交点为（−2，0）、（−1a，0），结合a ＜0即可得证；（2）根据题意求出1a =-，再求出函数与x 轴的交点，即可作图；（3）根据题意作出图像，根据题意分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，根据75PCA ︒∠=求出30OEC ︒∠=，因此OC tan OEC OE ===∠E ，则可求出求得直线CE解析式为2y x =+，再联立两直线即可求出P 点坐标；②当点P 在直线AC 下方时， 同理求出P 的坐标.【详解】（1）∵2(21)2(2)(1)y ax a x x ax =+++=++，且0a <，∴抛物线与x 轴的交点为(2,0)-、1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a 为负整数，∴1a =-，则抛物线与x 轴的交点A 的坐标为(2,0)-、B 的坐标为(1,0)，∴抛物线解析式为(2)(1)y x x =+-+22x x =--+21924x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 当0x =时，2y =，即(0,2)C ，函数图象如图1所示：（3）存在这样的点P ，∵2OA OC ==，∴45ACO ︒∠=，如图2，当点P 在直线AC 上方时，记直线PC 与x 轴的交点为E ，∵75PCA ︒∠=，∴120PCO ︒∠=，60OCE ︒∠=，则30OEC ︒∠=，∴OC tan OEC OE ===∠则E ，求得直线CE解析式为2y x =+，联立2232y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=--+⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或53x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴P ⎝⎭； 如图3，当点P 在直线AC 下方时，记直线PC 与x 轴的交点为F ，∵75ACP ︒∠=，45ACO ︒∠=，∴30OCF ︒∠=，则tan 2OF OC OCF =∠==，∴F ⎫⎪⎪⎝⎭，求得直线PC解析式为2y =+，联立222y y x x ⎧=+⎪⎨=--+⎪⎩， 解得：02x y =⎧⎨=⎩或11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴1)P ，综上，点P 的坐标为⎝⎭或1)． 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质及三角函数的应用.17．如图，二次函数2y x bx c =-++的图象经过坐标原点，与x 轴的另一个交点为A (－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△AOP 的面积为3，若存在请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝－x 2－2x ；（2）（3，-3），（1，-3）．【分析】（1）把点（0，0）和点A （-2，0）分别代入函数关系式来求b 、c 的值；（2）设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ），利用三角形的面积公式得到-x 2-2x =±3．通过解方程来求x 的值，则易求点P 的坐标．【详解】解：（1）∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过坐标原点（0，0）∴c =0．又∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象过点A （-2，0）∴-（-2）2-2b +0=0，∴b =-2．∴所求b 、c 值分别为-2，0；（2）存在一点P ，满足S △AOP =3．设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x ）∵S △AOP =3 ∴12×2×|-x 2-2x |=3 ∴-x 2-2x =±3． 当-x 2-2x =3时，此方程无解；当-x 2-2x =-3时，解得 x 1=-3，x 2=1．∴点P 的坐标为（-3，-3）或（1，-3）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解（1）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．18．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象经过点A （3，0），B （2，﹣3），并且以x=1为对称轴．（1）求此函数的解析式；（2）作出二次函数的大致图象；（3）在对称轴x=1上是否存在一点P ，使△PAB 中PA=PB ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）解析式为y=x 2﹣2x ﹣3；（2）画图见解析；（3）存在，点P 的坐标为（1，﹣1）．【解析】试题分析：（1）根据对称轴的公式x =2b a -和函数的解析式，将2b a-=1和A （3，0），B （2，﹣3）代入函数解析式，组成方程组解答即可；（2）求出图象与坐标轴的交点坐标，描点即可；（3）根据两点之间距离公式解答即可．试题解析：解：（1）根据题意得：12930423b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=-⎪⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴解析式为y =x 2﹣2x ﹣3；（2）二次函数图象如图：（3）存在．作AB 的垂直平分线交对称轴x =1于点P ，连接PA 、PB ，则PA =PB ，设P 点坐标为（1，m ）．∵PA =PB ，∴22+m 2=（﹣3﹣m ）2+1，解得：m =﹣1，∴点P 的坐标为（1，﹣1）． 点睛：（1）所用方法被称为待定系数法；（2）考查了二次函数草图的画法；（3）会用距离公式d19．如图，已知二次函数21:43L y x x =-+与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）写出A B 、两点的坐标；（2）二次函数()22:430L y kx kx k k =-+≠，顶点为P ． ①直接写出二次函数2L 与二次函数1L 有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形？如存在，请求出k 的值；如不存在，请说明理由；③若直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】（1）()()1,0,3,0A B ；（2）①对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形，k =③线段EF 的长度不会发生变化，值为6．【分析】（1）令2430x x -+=，求出解集即可；（2）①根据二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质求解即可；②根据()22432y kx kx k k x k =-+=--，可得到结果；③根据已知条件列式2438kx kx k k -+=，求出定值即可证明．【详解】解：（1）令2430x x -+=，∴()()130x x --=，∴11x =，23x =，∵点A 在点B 的左边，∴()()1,0,3,0A B ；（2）①二次函数2L 与1L 有关图象的两条相同的性质：（I ）对称轴都为直线2x =或顶点的横坐标为2；（II ）都经过()()1,0,3,0A B 两点；②存在实数k ，使ABP ∆为等边三角形．∵()22432y kx kx k k x k =-+=--，∴顶点()2,P k -，∵()()1,0,3,0A B ，∴2AB =，要使ABP ∆为等边三角形，必满足k -=∴k =③线段EF 的长度不会发生变化．∵直线8y k =与抛物线2L 交于E F 、两点，∴2438kx kx k k -+=，∵0k ≠，∴2438x x -+=，∴11x =-，25x =，∴216EF x x =-=，∴线段EF 的长度不会发生变化．【点睛】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数、等边三角形的性质求解是关键．20．如图，已知二次函数y ＝x 2﹣2x +m 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，直线AC 交二次函数图象的对称轴于点D ，若点C 为AD 的中点．（1）求m 的值；（2）若二次函数图象上有一点Q ，使得tan ∠ABQ ＝3，求点Q 的坐标；（3）对于（2）中的Q 点，在二次函数图象上是否存在点P ，使得△QBP ∽△COA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m=﹣3；（2）Q （﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析【分析】（1）函数的对称轴为：x=1，点C 为AD 的中点，则点A （-1，0），即可求解；（2）tan ∠ABQ=3，点B （3，0），则AQ 所在的直线为：y=±3x （x-3），即可求解；（3）分点Q （2，-3）、点Q （-4，21）两种情况，分别求解即可．【详解】（1）设对称轴交x 轴于点E ，直线AC 交抛物线对称轴于点D ，函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由：△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，则BP的表达式为：y＝﹣13（x﹣3）…③，联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣43，故点P（﹣41339，），此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；②当点Q（﹣4，21）时，同理可得：点P（﹣21139，），此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；综上，点P不存在．【点睛】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质、三角形相似、中点公式的运用等，解题关键在于要注意分类求解，避免遗漏．21．如图，二次函数y ＝12x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），B 点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C ，使得△CBD 的周长最小？若C 点存在，求出C 点的坐标；若C 点不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12x 2﹣4x+6；（2）D 点的坐标为（6，0）；（3）存在．当点C 的坐标为（4，2）时，△CBD 的周长最小【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D 的坐标；（3）连接CA ，由于BD 是定值，使得△CBD 的周长最小，只需CD+CB 最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD ，只需CA+CB 最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，只需用待定系数法求出直线AB 的解析式，就可得到点C 的坐标．【详解】（1）把A （2，0），B （8，6）代入212y x bx c =++，得 14202164862b c b c ⎧⨯++=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩ 解得：46b c =-⎧⎨=⎩∴二次函数的解析式为21462y x x =+﹣；（2）由2211464222y x x x =+=﹣（﹣）﹣，得二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．令y=0，得214602x x +=﹣，解得：x 1=2，x 2=6，∴D 点的坐标为（6，0）；（3）二次函数的对称轴上存在一点C ，使得CBD 的周长最小．连接CA ，如图，∵点C 在二次函数的对称轴x=4上，∴x C =4，CA=CD ，∴CBD 的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD ，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A 、C 、B 三点共线时，CA+CB 最小，此时，由于BD 是定值，因此CBD 的周长最小．设直线AB 的解析式为y=mx+n ，把A （2，0）、B （8，6）代入y=mx+n ，得208m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：12m n =⎧⎨=-⎩ ∴直线AB 的解析式为y=x ﹣2．当x=4时，y=4﹣2=2，∴当二次函数的对称轴上点C 的坐标为（4，2）时，CBD 的周长最小．【点睛】本题考查了（1）二次函数综合题；（2）待定系数法求一次函数解析式；（3）二次函数的性质；（4）待定系数法求二次函数解析式；（5）线段的性质：（6）两点之间线段最短．22．已知：如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，0）和C （0，﹣3）（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果这个二次函数的图象与x 轴的另一个交点为B ，求线段AB 的长．（3）在这条抛物线上是否存在一点P ，使△ABP 的面积为8？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）=4AB ；（3）存在，点P 的坐标为1(1P -+或2(1P --或3(1,4)P --. 【分析】（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入二次函数y=x 2+bx+c 中，即可算出b 、c 的值，进而得到函数解析式是y=x 2+2x-3；（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长；（3）设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为8可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．【详解】 解：（1）依题意把()0A 1，，()03C -，代入2y x bx c =++得： 103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩ ， ∴ 该二次函数的解析式为223y x x =+- ；（2）令0y =，则2230x x +-=，解之得：11x =，23x =- ，∴ 点B 坐标为（－3，0），。
二次函数存在性问题(一题多问)
【原题】已知，如图1，经过点A （－3，0）的抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点B （-2，-2）及原点O ．点D 是抛物线第二象限图像上的一点，AH ⊥x 轴与H 点，且tan ∠DAH =4． 【问题】（1）求点D 坐标及抛物线的解析式；（2）在线段OB 下方的抛物线上有一点M ，当△MOB 的面积最大时，求点M 的坐标，并求出最大面积．A 图1xyH BDOA xyBDO（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点N （不与M 重合），使得S △OBN =S △OBM ，若存在，求出N 点坐标；若不存在，请说明理由． 变式练习：抛物线上是否存在点N ，使得S △OBN =14S △OBD ．（4）连接BD ，取BD 中点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得QF +QD 的值最小，求出点Q 坐标，并求出QF +QD 的最小值．变式练习：①连接BD ，取BD 中点F ，点R 、S 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形DFRS 的周长最小时，求出R 、S 的坐标，并求出四边形DFRS 周长的最小值．②连接BD ，在x 轴上是否存在一点Q ，使得∣QD -QB ∣的值最大，若存在，求出点Q 坐标，并求出最大值；若不存在，请说明理由．③连接AD ，点M 、N 分别是线段OD 、AD 上的动点，连接AM ，MN ，当AM +MN 的值最小时，求出点N 的坐标．④将线段OB 向左移动m 个单位长度，得到线段O ′B ′连接O ′D 、B ′D ，是否存在这样的m ，使得O ′D +B ′D 的值最小？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．⑤已知P （0，a ）、Q （0，a +3）是y 轴上的两个动点，当四边形BDQP 的周长最小时，求a 的值．A xyBDOA xyBDO（5）在（4）的条件下，点G 是线段OD 上的动点，当△DFG 是等腰三角形时，求点G的坐标．（6）在（4）的条件下，点G 是线段OD 上的动点，把△BFG 沿着线段FG 翻折，是否存在这样的点G ,使△BFG 与△DFG 的重叠部分的面积等于△BDG 的14，若存在，求出DG 的长；若不存在，请说明理由．（7）若点K 在抛物线上，点L 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求点K 的坐标；A xyBDOA xyBDOA xyBDO变式练习：若点K 在抛物线上，点L 在x 轴上，且A 、B 、K 、L 为顶点的四边形是平行四边形，求点K 的坐标．（若求L 的坐标呢？）（8）若点U 是抛物线对称轴上一点，当△ADU 是Rt △时，求点U 的坐标．A xyBDOA xyBDO（9）连接BD ，点N 是直线BD 上的一点，在y 轴的正半轴，是否存在一点M ，使得∠MNO =45°，且存在唯一的N 点，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由．变式训练：连接BD ，把△OBD 沿着OD 翻折，使得点B 落在第一象限的点B ˊ处，点P从点D 出发向点B 作匀速运动，点Q 从点B ˊ出发向点D 作匀速运动，两点同时出发，速度均为每秒一个单位长度，连接OP ，OQ ，当时间t 为多少秒时，PO 平分∠BPQ 的同时，QO 平分∠PQ B ˊ？A xyBDOA xyBDOB ˊ（10）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PT ⊥x 轴，垂足为T ，是否存在点P ，使得以P 、T 、A 为顶点的三角形△BOD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．变式练习：P 是抛物线上的一点，过点P 作PT ⊥x 轴，垂足为T ，过点B 作BI ⊥x 轴，垂足为I ，是否存在点P ，使得以P 、T 、A 为顶点的三角形△ABI 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（11）若点C 在抛物线上，且∠CDO ＝∠BDO ，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G ，使得△GOD ∽△COB ？若存在，请求出所有满足条件的点G 坐标；若不存在，请说明理由．I A xyBDOCA xyBDO。
中考 压轴专题02 二次函数的存在性问题 - 解析
压轴专题02：二次函数与存在性问题方法点拨：二次函数与动点存在性问题，平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) 距离为|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 中点坐标：2,22121y y y x x x +=+=对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，特殊情况：当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 把点用坐标表示出来，根据以上公式结合几何性质，代数化处理，构造方程解之即可。
【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点． (1)求抛物线的解析式；(2)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．【分析】(1)函数的表达式为：y=a (x+1)(x-3)，将点D 坐标代入上式，即可求解；(2)分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ 倾斜角，进而求解． 【详解】解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =， 故抛物线的表达式为：223y x x =--…①； (2)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况： ①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，32BC =，10AC =， 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：22AH =，∴CH 2tan 2ACB ∠=， 则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：3x =±3,23)Q -或(3,3； ②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠，则直线OQ 的表达式为：3 y x =-…③，联立①③并解得：1132x -±=，故点1133313Q -+-⎝⎭或1133313--+⎝⎭； 综上，点3,23)Q -或(3,3或113113-+-⎝⎭或1133313--+⎝⎭． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A (﹣1，0)和点C (0，4)，交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点(不与点O，B重合)，以OE 为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E(a，0)．(1)求抛物线的解析式．(2)若△AOC与△FEB相似，求a的值．(3)当PH＝2时，求点P的坐标．【详解】(1)点C(0，4)，则c＝4，二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；(2)tan∠ACO＝AOCO＝14，△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，即：tan∠FEB＝14或4，∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，EB＝4﹣a，则144aa=-或44aa=-，解得：a＝165或45；(3)令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B(4，0)；分别延长CF、HP交于点N，∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，∴∠FPN＝∠NFB，∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，∴△PNF≌△BEF(AAS)，∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，∴点P(2a，4)，点H(2a，﹣4a2+6a+4)，∵PH＝2，即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，解得：a＝1或12317+317-舍去)，故：点P的坐标为(2，4)或(1，4)或3+17，4)．【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线223y x bx c =-++过点B 且与直线相交于另一点53,24C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一动点，当PAO BAO ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)点5(,0)02N n n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭在x 轴的正半轴上，点(0,)M m 是y 轴正半轴上的一动点，且满足90MNC ︒∠=．①求m 与n 之间的函数关系式；②当m 在什么范围时，符合条件的N 点的个数有2个？ 【分析】(1)利用一次函数求出A 和B 的坐标，结合点C 坐标，求出二次函数表达式；(2)当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，当点P 在x 轴下方时，AP 与y 轴交于点Q ，求出AQ 表达式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点P ； (3)①过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，证明△MNO ∽△NCD ，可得MO NOND CD=，整理可得结果； ②作以MC 为直径的圆E ，根据圆E 与线段OD 的交点个数来判断M 的位置，即可得到m 的取值范围. 【详解】解：(1)∵直线122y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4，∴A (4，0)，B (0，2)，∵抛物线223y x bx c =-++经过B (0，2)，53,24C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴2322554342c b c =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩，解得：762b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的表达式为：227236y x x =-++； (2)当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足PAO BAO ∠=∠， ∵53,24C ⎛⎫⎪⎝⎭，∴53,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ， ∵PAO BAO ∠=∠，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q (0，-2)，又A (4，0)，设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，204q p q -=⎧⎨=+⎩，解得：122p q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AQ 的表达式为：122y x =-，联立得：212227236y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为(3，12-)或(-2，-3)， 综上，当PAO BAO ∠=∠时，点P 的坐标为：53,24⎛⎫⎪⎝⎭或(3，12-)或(-2，-3)；(3)①如图，∠MNC=90°，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∴∠MNO+∠CND=90°， ∵∠OMN+∠MNO=90°，∴∠CND=∠OMN,又∠MON=∠CDN=90°，∴△MNO ∽△NCD ，∴MO NO ND CD =，即5324m nn =-，整理得：241033m n n =-+；②如图，∵∠MNC=90°，以MC为直径画圆E，∵5 (,0)02N n n⎛⎫<<⎪⎝⎭，∴点N在线段OD上(不含O和D)，即圆E与线段OD有两个交点(不含O和D)，∵点M在y轴正半轴，当圆E与线段OD相切时，有NE=12MC，即NE2=14MC2，∵M(0，m)，53,24C⎛⎫⎪⎝⎭，∴E(54，382m+)，∴2382m⎛⎫+⎪⎝⎭=22153424m⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得：m=2512，当点M与点O重合时，如图，此时圆E与线段OD(不含O和D)有一个交点，∴当0＜m＜2512时，圆E与线段OD有两个交点，故m的取值范围是：0＜m＜25 12.【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.【变式2-1】如图，抛物线24y ax bx=+-经过A(－3，6)，B(5，－4)两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．(1)求抛物线的表达式；(2)求证：AB平分CAO∠；(3)抛物线的对称轴上是否存在点M，使得ABM∆是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【分析】(1)将A(-3，0)，B(5，-4)代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b 的值；(2)先求得AC的长，然后取D(2，0)，则AD=AC，连接BD，接下来，证明BC=BD，然后依据SSS可证明△ABC≌△ABD，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD；(3)作抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F，作点A作AM′⊥AB，作BM⊥AB，分别交抛物线的对称轴与M′、M，依据点A和点B的坐标可得到tan∠BAE=12，从而可得到tan∠M′AE=2或tan∠MBF=2，从而可得到FM和M′E的长，故此可得到点M′和点M的坐标．【详解】解:(1)将A(-3，0)，B(5，-4)两点的坐标分别代入，得9340,25544a ba b--=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--． (2)证明：∵AO=3，OC=4，∴AC=2234+=5．取D (2，0)，则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知BD=22(52)(40)-+--=5． ∵C (0，-4)，B (5，-4)，∴BC=5．∴BD=BC ． 在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ， ∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ； (3)存在．如图所示：抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112． ∵A (-3，0)，B (5，-4)，∴tan ∠EAB=12． ∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′(52，11)． 同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M (52，-9)． ∴点M 的坐标为(52，11)或(52，-9)．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图1，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点A (﹣1，0)，点B (3，0)与y 轴交于点C ．在x 轴上有一动点E (m ，0)(0<m <3)，过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ． (1)求抛物线的解析式及C 点坐标；(2)当m ＝1时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；(3)如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设△AEM 的面积为S 1，△MON 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求m 的值．【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，则可以分CD ＝AD 或AC ＝AD 两种情况，分别求解即可； (3)S 1＝12AE ×y M ，2S 2＝ON •x M ，即可求解． 【详解】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得-1-b+c=0-9+3b+c=0⎧⎨⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩，故抛物线的表达式为y ＝﹣x 2＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，故点C (0，3)； (2)当m ＝1时，点E (1，0)，设点D 的坐标为(1，a )， 由点A 、C 、D 的坐标得，AC ()()220+1+3-0=10，同理可得：ADCD①当CD＝AD，解得a＝1；②当AC＝AD时，同理可得a＝(舍去负值)；故点D的坐标为(1，1)或(1)；(3)∵E(m，0)，则设点M(m，﹣m2＋2m＋3)，设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则2-m+2m+3=sm+t0=3s+t⎧⎨⎩，解得：1s=-m+13t=m+1⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，故直线BM的表达式为y＝﹣1m+1x＋3m+1，当x＝0时，y＝3m+1，故点N(0，3m+1)，则ON＝3m+1；S1＝12⨯AE×y M＝12×(m＋1)×(﹣m2＋2m＋3)，2S2＝ON•x M＝3m+1×m＝S1＝12×(m＋1)×(﹣m2＋2m＋3)，解得m＝﹣舍去负值)，经检验m2是方程的根，故m2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中(2)，要注意分类求解，避免遗漏．【变式3-1】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，﹣3)，顶点D的坐标为(1，﹣4)．(1)求抛物线的解析式．(2)在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】(1)根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；(2)先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；(3)利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线的顶点为(1，﹣4)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4，将点C(0，﹣3)代入抛物线y＝a(x﹣1)2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2﹣4＝x2﹣2x﹣3；(2)由(1)知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，令x＝0，则y＝﹣3，∴C(0，﹣3)，∴AC10，设点E(0，m)，则AE21m+CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE1021m+∴m＝3或m＝﹣3(点C的纵坐标，舍去)，∴E(3，0)，②当AC＝CE10＝|m+3|，∴m＝﹣310，∴E(0，﹣10)或(0，﹣310)，③当AE＝CE21m+|m+3|，∴m＝﹣43，∴E(0，﹣43)，即满足条件的点E的坐标为(0，3)、(0，﹣10)、(0，﹣310)、(0，﹣43 )；(3)如图，存在，∵D(1，﹣4)，∴将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q(t，4)，将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+22或t＝1﹣22，∴Q(1+22，4)或(1﹣22，4)，分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为(3，0)，且D(1，﹣4)，∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为(1+22)﹣2＝﹣1+22或(1﹣22)﹣2＝﹣1﹣22，即P(﹣1+22，0)、Q(1+22，4)或P(﹣1﹣22，0)、Q(1﹣22，4)．【考点4】二次函数与平行四边形问题【例4】如图，抛物线过点A(0，1)和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B30)，平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．(1)求点F的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．【分析】(1)由待定系数法求出直线AB 的解析式为y 3，求出F 点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝163a ﹣8a+1﹣(﹣13)，求出a 的值，则可得出答案； (2)设P (n ，﹣n 23n+1)，作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，则P'(n 3)，得出PP'＝﹣n 2733，由二次函数的性质可得出答案； (3)联立直线AC 和抛物线解析式求出C 73343)，设Q 3，m )，分两种情况：①当AQ 为对角线时，②当AR 为对角线时，分别求出点Q 和R 的坐标即可． 【详解】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx+c (a≠0)，∵A (0，1)，B 30)，设直线AB 的解析式为y ＝kx+m ，∴3k m 0m 1+==⎪⎩，解得31k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为y 3， ∵点F 43，∴F 343+1＝﹣13，∴F 点的坐标为433，﹣13)， 又∵点A 在抛物线上，∴c ＝1，对称轴为：x ＝﹣32ba=，∴b ＝﹣3a ，∴解析式化为：y ＝ax 2﹣23ax+1，∵四边形DBFE 为平行四边形．∴BD ＝EF ，∴﹣3a+1＝163a ﹣8a+1﹣(﹣13)，解得a ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+23x+1；(2)设P (n ，﹣n 2+23n+1)，作PP'⊥x 轴交AC 于点P'，则P'(n 3)，∴PP'＝﹣n 2733，S △ABP ＝12OB•PP'2372+n 2374936324n ⎝， ∴当n 736△ABP 49324，此时P 7364712)． (3)∵231331y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩，∴x ＝0或x 733C 73343)，设Q 3m )， ①当AQ 为对角线时，∴R (473,33m +)， ∵R 在抛物线y ＝2(3)x -+4上，∴m+73＝﹣24333⎛ ⎝+4，解得m ＝﹣443， ∴Q 443,3⎫-⎪⎭，R 4373,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当AR 为对角线时，∴R 1073,33m -)， ∵R 在抛物线y ＝2(3)x -+4上，∴m ﹣27103333=-+4，解得m ＝﹣10，∴Q 310)，R 10373,33-)．综上所述，Q 443,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，R 4373,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭；或Q (3，﹣10)，R (10373,33-)． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．【变式4-1】如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,，()10B ,，交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】(1)把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中求出b ，c 的值即可； (2)①由点(),0P m 得()2(,3),,23M m m N m m m --+-，从而得()2(3)23MN m m m =---+-，整理，化为顶点式即可得到结论；②分MN=MC 和2MC MN =两种情况，根据菱形的性质得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：(1)把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中，得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-．(2)设直线AC 的表达式为y kx b =+，把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得，03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--．∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．∵10a =-<，∴此函数有最大值． 又∵点P 在线段OA 上运动，且3302-<-<∴当32m =-时，MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点，且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-．∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--(i )当以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC ，如图，∵C (0，-3)∴222(0)(33)2m m m -+--+=∴223=2m m m --整理得，432670m m m ++= ∵20m ≠，∴2670m m ++=，解得，132m =-，232m =-32m =-+CQ=MN=322， ∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0，321-)；当m=32--时，CQ=MN=-322-，∴OQ=-3-(-322-)=321-∴Q(0，321-)； (ii)若2MC MN =，如图，则有223=22m m m --整理得，432650m m m ++= ∵20m ≠，∴2650m m ++=，解得，11m =-，25m =- 当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q (0，-1)， 当m=-5时，MN=-10＜0(不符合实际，舍去)综上所述，点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用菱形的性质得出关于m 的方程，要分类讨论，以防遗漏．。
初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答
初中数学二次函数存在性问题总复习试题及解答1．（10广东深圳）如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （－2,0），B （－1, －3）． (1）求抛物线的解析式；(2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △P AD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．答案：（1）、因为点A 、B 均在抛物线上，故点A 、B 的坐标适合抛物线方程∴403a c a c +=⎧⎨+=-⎩解之得：14a c =⎧⎨=-⎩；故24y x =-为所求(2）如图2，连接BD ，交y 轴于点M ，则点M 就是所求作的点设BD 的解析式为y kx b =+，则有203k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，12k b =⎧⎨=-⎩，故BD 的解析式为2y x =-；令0, x =则2y =-，故(0,2 M -(3、如图3，连接AM ，BC 交y 轴于点N ，由（2）知，OM=OA=OD=2，90AMB ∠=︒易知BN=MN=1，易求AM BM ==122ABM S =⨯= ；设2(, 4 P x x -，依题意有：214422AD x -=⨯，即：2144422x ⨯-=⨯解之得：x =±0x =，故符合条件的P 点有三个：123((0,4 P P P --图22． (10北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n 在这条抛物线上。
(1 求点B 的坐标；(2 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。
延长PE 到点D 。
使得ED =PE 。
以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求 OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动。
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)(学生版)--2023-2024学年九年级数学上册重难点
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)【类型一存在性之等腰三角形】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B-3,0两点，与x轴的另一个交点为A．,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=；n=；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【类型二存在性之直角三角形】5如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x-2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．6如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与y轴交于点C0,3，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式和点A、B的坐标；(2)设点P为抛物线的对称轴直线x=2上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P的坐标．7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx-3与直线l:y=x+1交于A，B两点，点A的坐标为-1，0．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段AB上任意一点(不含端点)，若△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．8如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【类型三存在性之等腰直角三角形】9如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1-S2的值最大时，求P点的坐标和S1-S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．11如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A的坐标为(0,2)，直角顶点C的坐标为(-1,0)，点B在抛物线y=ax2+ax-2上．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，连结BD、CD，求△DBC的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四存在性之平行四边形】13在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)，(3,0)和0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0))的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．15如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(b、c为常数)的顶点坐标为32,-258，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．(1)求b、c的值；(2)求点A、B的坐标；(3)求证：∠ADO=∠DBO；(4)点P在抛物线y=-12x2+bx+c上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．16如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．【类型五存在性之菱形】17如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0．,B3,0,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18综合与探究：如图，已知抛物线y=-38x2+94x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；(2)当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，直线y =mx +n m ≠0 ．与抛物线y =-x 2+bx +c 交于A -1,0 ，B 2,3 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线上，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)若点P 在抛物线上，PQ ⊥OA 交直线AB 于点Q ，点M 在坐标平面内，当以B ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在(2)中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=-32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y ，且新抛物线y 经过线段BC的中点F，新抛物线y 与y轴交于点M，点N为新抛物线y 对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．【类型六存在性之矩形】21如图①，抛物线y=ax2+x+c a≠0与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②．过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF=EF时，请求出m的值；(3)如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．22已知抛物线y =ax 2+bx -4a ≠0 交x 轴于点A 4,0 和点B -2,0 ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标及PD +PE 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．23综合与探究如图，抛物线y=ax2-3x+c a≠0与x轴交于A(4，0)，C两点，交y轴于点B(0，-4)，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当P在AB下方时，求△ABP面积的最大值；(3)当∠ABP=15°时，△BOP的面积为；(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．24如图，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-83x+c(a≠0)经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC=45°时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC，CA运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【类型七存在性之正方形】25如图，抛物线y=-14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求ACAB的值；(3)点D在抛物线上(点D在点C的左侧，不与点B重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x-4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，已知直线y=-x+4与抛物线y=ax2+bx交于点A4,0两点，点P为抛物线上和B-1,5一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，PN⊥AB于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AB下方时，求线段PN的最大值；(3)是否存在点P使得△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由28如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【类型八存在性之相似三角形】29如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，经过点x+2交抛物线于点D，点D与点A的横坐标互为相反数，P是抛物线上一动点，连接A的直线y=-12AC．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限内的抛物线上，当∠PBA=2∠BAD时，求直线BP的表达式；(3)点Q在y轴上，若△DQP∽△COA，请直接写出点P的坐标．30如图，已知抛物线过三点O0,0，弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB，B2,23，A8,0所在圆的圆心．(1)求该抛物线的解析式．(2)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上．(3)若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．31如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；32如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0，C0,-2．(1)求抛物线和直线AC的函数解析式；(2)若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．【类型九存在性之角度问题】33如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A-1,0为抛物线上、B4,0两点，与y轴交于点C，点D x,y 第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标；(3)该抛物线上是否存在点D，使得∠DCB=2∠ABC，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．34如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx a>0经过点A(-1,3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求∠AOM的度数；(3)联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP=∠ABM，求点P的坐标．36如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A1,0两点，，B3,0与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为0,-1，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．(1)求该抛物线的解析式．(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t>0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数综合与探究(存在性问题)
二次函数综合与探究平行四边形存在性问题、直角三角形及矩形存在性问题、等腰三角形及菱形存在性问题如图，抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A（-2，0)，B（4，0）两点，与y轴交于点C,(1)求抛物线的函表达式，并直接写出直线BC的函数表达式(2)点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC的面积最大时，求点Ｐ的坐标及△PBC的面积的最大值(3)在（2）在条件下，在平面内是否存在点Ｍ，使以点Ｐ、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由。
解（1）把A（-2，0)，B（4，0）两点代入y=ax2+bx+8得，{4a−2b+8=016a+4b+8=0解得{a=−1 b=2∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+8∵在y=−x2+2x+8中，当x=0时y=8∴C(0,-8)直线BC的解析式为y=-2x+8(2）如图，作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E∵点P是直线BC上方抛物线上的一点∴设点P的坐标为(m,−m2+2m+8), 0<m<4;则点E的坐标为（m，-2m+8)∴PE=−m2+2m+8-(-2m+8)=−m2+4m∵B(4,0)∴OB=4∴s△PCD=s△PED+s△PEC=12PE∗OB=12(−m2+4m)×4=−2m2+8m∵-2<0∴当m=−b2a =−82×(−2)=2时,s△PCD最大=-2×22+8×2=8，此时点P（2，8）（3）M(2,0)或(-2,16)或（6，0）变式1：（2）点Ｄ是抛物线对称轴上一点，以Ｂ、Ｃ、Ｄ三点为顶点的三角形是直角三角形时，求点D 的坐标（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在的一点Ｅ，使以点B 、C 、D 、Ｅ为顶点的四边形是矩形，若存在，直接写出点Ｅ的坐标；若不存在，请说明理由（2）∵y =−x 2+2x +8=−(x −1)2+9∴对称轴为直线x=1∴设点D 的坐标为（1，n ）∵B(4,0),C(0,8)∴BC 2=80, BD 2=9+n 2, CD 2=1+(n −8)2① 当∠BCD =90゜时，BD 2=BC 2+C D 2,则9+n 2=80+1+(n −8)2,解得n=172 ② 当∠CBD=90゜时，CD 2=BC 2+BD 2,则1+(n −8)2=80+9+n 2,解得n=--32 ③ 当∠BDC=90゜时BC 2=BD 2+CD 2则80=9+n 2+1+(n −8)2,解得n=4±√19 由①②③得D(1,172）或（1，−32）或（1，4-√19）或（1，4+√19） 注：用几何方法构造一线三直角用相似的知识解答（3）F(5,12)或(-3,132)或（3，√19−4) 或(-3,12-√19) 注：用平移的知识求第三问题变式2：（2）点Ｄ是抛物线对称轴上一点，以Ｂ、Ｃ、Ｄ三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求点Ｆ的坐标（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在的一点Ｅ，使以点B 、C 、D 、Ｅ为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点Ｅ的坐标；若不存在，请说明理由。
二次函数中的存在性问题(解析)
（1）求二次函数的解析式和直线 BD 的解析式； （2）点 P 是直线 BD 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，当点 P 在第一象限时，求线段 PM 长度 的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于 B、D 的点 Q，使△BDQ 中 BD 边上的高为 2 ？若存在求出点 Q 的坐标；若不存在 请说明理由． 4.（2017• 广元）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为 D．
（1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上的一个动点（不与点 A、点 B 重合），过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D，交直线 AB 于点 E． ①当 PE=2ED 时，求 P 点坐标； ②是否存在点 P 使△BEC 为等腰三角形？若存在请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2017• 赤峰）如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 D，点 B 的坐标为（3， 0），顶点 C 的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）试说明 DG 与 DE 的数量关系？并说明理由； （3）若直线 l2 绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，当△MCG 为等腰三角形时，请直接写出点 M 的坐标． 6.如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B．
中考数学二次函数存在性问题及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参照答案一、二次函数中相像三角形的存在性问题1. 如图，把抛物线y x2向左平移1个单位，再向下平移 4 个单位，获得抛物线y ( x h) 2k .所得抛物线与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，极点为D.（1）写出h、k的值；（2）判断△ ACD的形状，并说明原因；（3）在线段 AC上能否存在点 M，使△ AOM∽△ ABC若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明原因 .2.如图，已知抛物线经过 A（﹣ 2，0），B（﹣ 3，3）及原点 O，极点为C．（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A、 O、 D、 E 为极点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（ 3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点 P 作 PM x 轴，垂足为 M，能否存在点 P，使得以 P、M、A 为极点的三角形△ BOC相像若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明原因．二、二次函数中面积的存在性问题3. 如图，抛物线y ax2bx a > 0 与双曲线 ykx订交于点 A，B．已知点 B 的坐标为（－ 2，－ 2），点A 在第一象限内，且tan ∠ AOX＝ 4．过点 A 作直线 AC∥ x 轴，交抛物线于另一点C．（1）求双曲线和抛物线的分析式；（2）计算△ ABC的面积；（3）在抛物线上能否存在点 D，使△ ABD的面积等于△ ABC的面积．若存在，请你写出点 D的坐标；若不存在，请你说明原因．yA DO xB C4.如图，抛物线 y＝ax2＋c（a＞ 0）经过梯形 ABCD的四个极点，梯形的底 AD在 x 轴上，此中 A（－ 2,0 ）， B（－ 1, －3）．（ 1）求抛物线的分析式；（3 分）（）点 M为 y 轴上随意一点，当点 M到 A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）2（ 3）在第（ 2）问的结论下，抛物线上的点P 使＝4建立，求点P的坐标．（ 4 分）S△PAD S△ABM(4)在抛物线的 BD段上能否存在点 Q使三角形 BDQ的面积最大，如有，求出点 Q的坐标，若没有，请说明原因。
中考数学 二次函数存在性问题 及参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线 $y=x^2$ 向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线 $y=(x-h)^2+k$。
所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D。
1）写出h、k的值；2）判断△ACD的形状，并说明理由；3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。
2.如图，已知抛物线经过A（$-2,0$），B（$-3,3$）及原点O，顶点为C。
1）求抛物线的解析式；2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线 $y=ax^2+bx$ （$a>0$）与双曲线$y=\frac{k}{x}$ 相交于点A，B。
已知点B的坐标为（$-2,-2$），点A在第一象限内，且 $\tan\angle AOX=4$。
过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C。
1）求双曲线和抛物线的解析式；2）计算△ABC的面积；3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积。
若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
4.如图，抛物线 $y=ax^2+c$ （$a>0$）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（$-2,0$），B（$-1,-3$）。
1）求抛物线的解析式；2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使$\triangle PAD=4\triangle ABM$ 成立，求点P的坐标。
二次函数图象上点的存在性问题
联合函数y＝x2 可得
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P（3，9）
M
练习：(2009—2010 昌平二模)如图，抛物线y=ax2+bx-4a经 过A(-1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关 于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点， 且∠DBP=45°，求点P的坐标．
例1已知抛物线 y＝x2－2x－3 的的顶点为 D，点 P、 Q 是抛 物线上的动点，若△DPQ 是等边三角形，求△DPQ的面积。
解：根据 y＝x2－2x－3可得D（1，-4），因为△QPD是等边三
角形，所以直线DQ的斜率为 ，因为D（1，-4），
所以l DQ: y＝ x-4-
,与二次函数y＝x2－2x－3联立起来解方 程，可得xQ=1+
∵P点在抛物线上，
∴P (
)
全等、相似与角度
板块二：二次函数与多个角
技巧和方法： 在抛物线上找点，满足两角和(差)关系。
例1二次函数 y＝x2－2x－3 的图象与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于 C 点，在二次函数的图 象上是否存在点 P，使锐角∠PCO＞∠ACO？若存在，请你 求出 P 点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由。
例3 (2010 苏州)如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B。 已知 A、 B 两点的坐标分别为(3， 0)、 (0， 4)。 ⑶在⑵的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点 P， PA2＋PB2＋PM2＞28 是否总成立？ 请说明理由
解：(1) （1）设y=a(x-3)2，把B（0，4）代入，得a= （2）∵m，n为正整数∴ (m-3)2 应该是9的整数，∴m是3的倍数， 又∵m>3，∴m=6，9，12...， 当m=6时，n=4，此时MA=5，MB=6， ∴四边形OAMB的四边长为3，4，5，6， 当m≥9时，MB>6，∴四边形OAMB的四边长不能是四个连续的 正整数，∴点M坐标只有一种可能（6，4）； （3）设P（3，t），MB与对称轴交点为D，
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D
2、 如图，平面直角坐标系中，已知点Ｃ（０,２）， 点Ｂ（－４,０），点Ｍ（－１，－６）， 试判断 ΔＭＢＣ的形状。 Ｙ
Ｃ
Ｂ Ｏ
Ｘ
Ｍ
例题精析：
例：如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 A（2,0）和点B，与 y 轴交于点C（0,2）
（1）点E是抛物线上的点，点F是 y 轴 上的点，当以A、B、E、F为顶点的四 边形是平行四边形时，求F点的坐标； （2）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得ΔBCM是直角三角形？若存在 ，求出点M的坐标；若不存在，请说 明理由.
平行四边形的性质
直角三角形判定与性质
本节课用到哪些数学思想和数学方法？
数形结合思想 分类讨论思想
如图，抛物线
巩固练习：
已知抛物线 与直线y=x-1交于A、B两点. 点A的横坐标为-3，点B在y轴上，点P是y轴左 侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作 PC⊥x轴于C，交直线AB于D. （1）求抛物线的解析式； （2）当m为何值时，线段PD的长度取得最大值，其 最大值是多少？ （3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
y
C B A
O
x
y
1 2 1 x x2 4 2
例：如图，已知抛物线 与 x 轴交于点 A（2,0）和点B，与 y 轴交于点C（0,2）
（2）点E是抛物线上的点 ，点F是 y 轴上的点，当以 A、B、E、F为顶点的四边 形是平行四边形时，求F点 的坐标；
y
C B A
O
x
y
（1）以AB为边
中考压轴题：
二次函数综合题之 点的存在性问题
建宁实验中学初三数学备课组
课前演练：
1、如图，Ａ，Ｂ，Ｃ三点的 坐标分别为（３,３）、（６,４） 、（４,６），以Ａ，Ｂ，Ｃ为平 行四边形的三个顶点，写出这个 平行四边形第四个顶点的坐标．
（1）中心对称
D
（2）平移
D
（1）AB为对角线
（2）AB为边
B
C A
O
x
（2）以AB为对角线
例：如图，已知抛物线 于点A（2,0）和点B，与
与 轴交于点C（0,2）
y
C B
轴交
（3）此抛物线的对称轴上是否 存在点M，使得ΔＢCM是直角 三角形？若存在，求出点M的坐 标；若不存在，请说明理由。
A
O
x
y
O
B
C AБайду номын сангаас
x
课堂反思：
本节课运用了哪些主要知识点和数学模型？