等差数列求和公式的说课稿

说课稿：等差数列的前n项和

一、教材分析

本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．是继等差数列通项公式之后的又一重要概念，与前面学习的函数有着密切的联系；通过对公式的推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题的方法，也为以后推导等比数列求和公式奠定了基础；同时等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和在实际生活中有着广泛的应用.

二、学情分析

学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．

三、教学目标

知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，能熟练的应用等差数列的前n项和公式求和；

能力目标：在知识发生、发展以及形成过程中遵循从特殊到一般的认知规律，培养学生的类比思维能力，通过对公式从不同角度不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题解决问题的能力

情感目标：通过生动具体的现实问题，以及令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，产生热爱数学的情感。

四、教学重点、难点

教学重点：等差数列的前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题

教学难点：获得等差数列前n项和公式的推导思路

五、教学方法

利用计算机和实物投影辅助教学，采用启发探究相结合的教学模式

六、教学过程

学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

（一）创设情境——引入问题

首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，

共有100层（见下图），

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+…+100

200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100

据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，

10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：

（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050

【设计说明】 了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。

（二）层层铺垫——发现方法

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，

但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段，

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

探究1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？这是求奇数项和的问题，学生们会提出以下方法

方法1：原式＝（1＋2＋…＋10＋12…＋21）＋11

方法2：原式＝0＋1＋2＋……＋20＋21

方法3：原式＝（1＋2＋3＋……＋20）＋21

以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数项问题转化为偶数项求解，老师对学生的解法给予肯定表扬，并进一步提出新的问题

探究2：是不是求前若干个自然数之和需要看其项数的奇偶呢？即求1+2+3+…+n 需讨论n 的奇偶呢？学生们很自然就想到要用分类讨论来解决此类问题，老师要肯定学生的想法，指出此方法的缺点是繁琐，进而促使学生探索更简捷的做法。

【设计说明】借此渗透分类讨论意识以及化归思想，并激发学生探索的兴趣

用多媒体做一个实验：把“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，让学生观察效果很容易获得结果：2

)211(2121+=

S ，并尝试将直观问题抽象成数学问题。

【设计说明】在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。 但是如何将直观问题抽象化，此处也是教学的一个难点。 老师启发学生一起去发现两个三角形体现的求和思想，板书给出 2120112121++++++= S

1211202121+++++= S ⇒ )211(21221+=S ⇒ 2

)211(2121+=S 通过这个过程让学生理解“倒置”与“倒序”，“补”与“相加”的对应关系。

和学生一起完成 ：求1到n 的正整数之和，并板书

1)2()1(321++-+-+=++++= n n n S n

S n n

个n n n n n S )1()1()1(2++++++= ⇒2

)1(+=n n S n 然后让学生反思求和过程，体会其中的数列具有怎样的关键特点？并指出这种方法就是“倒序相加法” 有些学生会发现特点一：在于前n 个自然数具有一种“对称性”。即：与首末两项等距离的两数之和都等于首末两数之和。即“首尾配对”。这个性质在等差数列中具有普遍性吗？带着学生去验证等差数列具有：1121a a a a a a n n n +==+=+-

特点二：即“从前往后看，每一项都比前一项多d ”“从后往前看，每一前项比后一项少d ”。即“递进递减”

【设计说明】从求确定的前n 个正整数之和到求一般项数的前n 个正整数之和，旨在让学生体验“倒序相加求和”这一算法的合理性，从心理上完成对“首尾配对求和”算法的改进。 从反思中进一步体会等差数列具有“首尾配对”“递进递减”的两个特点，为后面顺利完成等差求和的推导奠定基础。本节课的难点得以突破。

（三）归纳整理——思想升华

完成上述推导以后，我再顺势引导学生能否将问题一般化？分别叫学生到黑板上推导，老师个别指导

方法一：121321a a a a S a a a a S n n n n n

n ++++=++++=--

)(21n n a a n S += 2)(1n n a a n S += ⇒公式2 d n n na S n 2

)1(1-+= 方法二：[]

[]

d n a d a a S d n a d a a S n n n n n )1()()1()(111--++-+=-+++++= )(21n n a a n S += 1公式⇒ 2)(1n n a a n S += ⇒公式2 d n n na S n 2

)1(1-+= 【设计说明】在教师的引导下，让学生主动思考主动参与体会知识结论的形成过程，对等差数列有了更深刻的理解

（四）巩固练习——全面认识

例1、 等差数列{}n a 中，已知629,37,20===n S n d ，求1a 和n a