倾斜角与斜率

3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率
学习目标
1.理解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
重点：理解直线的斜率和倾斜角的概念. 难点：了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的 斜率.
知识梳理 一、直线的倾斜角
例3［2019·宁夏银川高一检测］已知实数 x，y 满足 y＝x2-2x+2（-1≤x
≤1），试求 y 3 的最大值和最小值. x2
【解】如图，由 y 3 的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3） x2
与曲线段AB上任一点（x，y）的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，
由已知可得A（1，1），B（-1，5）.
90°<α<180°
k<0 k随α的增大而 增大
【解】（1）由斜率公式得
kAB＝
11 1 (1)
＝0，kBC＝
3 11 ＝
2 1
3 ，kAC＝
3 11 ＝
2 (1)
3 3
.
直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
又∵ tan 0°＝0，∴ 直线AB的倾斜角为0°.
∵ tan 60°＝ 3 ，∴ 直线BC的倾斜角为60°.
∵ tan 30°＝ 3 ，∴ 直线AC的倾斜角为30°. 3
(1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 正向 与直线l向上方向之间
所成的角α叫做直线l的倾斜角.
②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为 0°≤α<180°. (3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个_定__点_ 以及它的 倾斜角，二者缺一不可.
则kPA＝
1 1
(3) (2)
＝
4 3
，kPB＝
5 (3) 1 (2)
＝8.
∴ 4 ≤k≤8，∴ y 3 的最大值为8，最小值为 4 .
3
x2
3百度文库
◆求代数式 y b 的最值或取值范围的方法 xa
由斜率公式k＝ y2 y1 的形式，可知 y b 的几何意义是过P（x，y）与P′
x2 x1
xa
y2 x2
y1 x1
（x1≠x2）求解.
3.涉及直线与线段有交点问题时，常通过数形结合的方法利用斜率公
式求解.
训练题 1.
［2019·贵州都匀一中高二检测］已知点A（2，3），B（-3，-2）， 若直线l过点P（1，1）与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k 的取值范围是（ ）
A. 3 <k<2 B.k>2或k< 3 C.k> 3 D.k<2
∵ 直线的倾斜角是钝角，∴ k<0，∴ 1 a <0， 2 a
∴ -2<a<1. 即实数a的取值范围是（-2，1）.
3. 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点按逆时针方向旋 转30°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为（ ） A.α+30° B.α-150° C.150°-α D.α+30°或α-150°
y2－y1 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ x2－x1 .
常考题型
一 求直线的倾斜角和斜率
例1［2019·天津高一检测］已知坐标平面内三点
A（-1，1），B（1，1），C（2， 3 +1）.
（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.
二、直线的斜率与倾斜角的关系
(1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写 字母k表示，即k＝ tan α .
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围) 斜率(范围)
α＝0° k＝0
0°<α<90° k>0
α＝90° 不存在
90°<α<180° k<0
三、过两点的直线的斜率公式
4
4
4
A
解析：因为kAP＝
1 1
3 2
＝2，kBP＝
1 1
(2) (3)
＝
3 4
，如图，
因为直线l与线段AB始终没有交点，所以斜率k的取值范围是
3 4
,
2
.故
选A.
2. ［2019·海南华侨中学高一检测］若经过点P（1-a，1+a）和Q（3，
2a）的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是
.
（-2，1） 解析：k＝1 a 2a ＝ 1 a . 1 a 3 2 a
（a，b）两点的直线的斜率，故可以利用数形结合的方法来求解.
训练题
已知实数 x，y 满足 y＝-2x+8，且 2≤x≤3，求 y 的最大值和最小值. x
解：如图所示，由于点（x，y）满足关系式2x+y＝8，且2≤x≤3， 可知点P（x，y）在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求 得为（2，4），（3，2）.
训练题
［2019·广东江门高一期末］已知A（1，2），B（-3，-4）， C（2，m），若A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A. 5
B.3 C. 7 D.4
2
2
C 解析：∵ A，B，C三点共线，
∴
kAC＝kBC，∴
m 2 ＝ m 4 ，解得m＝ 7 .故选C.
21 23
2
三 斜率模型的几何意义
kAB＝
2 0
5 1
＝3，kAC＝
85 2 1
＝3.
因为直线AB和AC的斜率相等，且直线AB和AC过同一点A，
所以A，B，C三点共线.
◆判定三个点共线的3种方法 1.任取两点得到的直线斜率是相同的； 2.过任意两点的直线方程是相同的； 3.根据两点求出直线方程，判定第三个点在这条直线上.显然 第一种方法最简单.
应用两点斜率公式时，两点横坐标不能相等.否则，直线斜率不存在，
造成错解.
◆求直线倾斜角的方法
（1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找出倾斜角；
（2）利用tan α＝k求倾斜角.
◆利用斜率求解参数或斜率的取值范围的方法
1.由倾斜角（或倾斜角的范围）求斜率（或斜率的范围）时，利用定
义解决.
2.由两点坐标求斜率时，运用两点斜率公式k＝
D 解析：直线的倾斜角的取值范围是［0°，180°），故应对α的取 值范围分类讨论，当0°≤α<150°时，所求倾斜角为α+30°；当150° ≤α<180°时，所求倾斜角为α-150°.
二 三点共线问题
例2 求证：A（1，5），B（0，2），C（2，8）三点共线.
【证明】利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率，
由于
y x
的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝
2 3
，
所以可求得 y 的最大值为2，最小值为 2 .
x
3
小结
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
α的大小 k的范围 k的增减情况
平行于x轴 0° 0
0°<α<90°
k>0 k随α的增大而 增大
垂直于x轴 90° 不存在
（2）如图，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA
逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段
AB上，此时k由kCA增大到kCB，
（3）∴
k的取值范围为
3, 3
3
.
◆求直线的斜率的方法
一是利用斜率公式：k＝ y2 y1 x2 x1
（x1≠
x2）；
二是利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α.