二阶电路微分方程的建立

解得 :
s1,2 6
36 52 2
可见特征根为一对共轭复数。故选B。
13
电路 分析
10.8
二阶电路电路的全响应
已知：uS US (t), uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
由KVL： uC uR uL uS
uC R iL
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
1 C
令左式 t=0, 得：
1 C
0 0
iL
dt
U0
L
d iL dt
R
t 0
iL 0 二阶微分方程
iL
(0)
0
iL (0 ) I0
d iL U0 I0R
dt t0
L
初始条件
1
电路 分析
建立网络方程
RLC串联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
R
由KVL： uC uR uL 0
20
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
计算结果
>> uc1 = 24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t) ic1 = 16/3*exp(-t)-4/3*exp(-4*t) uc2 = 24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t ic2 = 24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t uc3 = 24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+28/5*15^(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*15^(2)*t) ic3 = 12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+4/5*15^(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15^(1/2)*t)
US
C uS
L
uC (0 ) U0
_
d uC I0 dt t0 C
这是二阶非齐次线性常系数微分方程。
通解为： 通解＝特解＋齐次解， 即：uC uCP uCh
特解为稳态解， uCP uC () US
设特征根为：S1，S2 则齐次解为：uCh K1es1t K2es2t
故通解为：uC
US
106 20
10
可见，图B为欠阻尼，图A为过阻尼。
12
电路 分析
例题 3 （自测题10-21）
二阶电路的电容电压 uC的微分方程为
d 2uC dt2
6
duC dt
13uC
0
此电路属___B___情况。
（A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼
特征方程为：
s2 6s 13 0,
dt t0
C
初始条件
3
电路 分析
建立网络方程
RLC并联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0 由KCL： iC iR iL 0
选 iL 作变量：
C
d uC dt
GuC
iL
0
uC
uL
L d iL dt
iC
uC C
_
iL
iR
G
L
LC
d 2iL dt 2
GL
d iL dt
例10-16的微分方程为
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
US
0.25
d 2uC dt 2
0.25R
duC dt
uC
24
初始值为
uC (0) 4V
duC (0) 16 dt
函数 dsolve( )
uc=dsolve('0.25*D2u+5*0.25*Du+u=24','u(0)=4','Du(0)=16')
21
电路 分析
用MATLAB绘波形
22
电路 分析
用MATLAB绘波形
23
电路 分析
课堂练习
自测题10-18 自测题10-19 自测题10-22 自测题10-23 自测题10-24
24
GL
d iL dt
iL
0
iL (0 ) I0
d iL U0 dt t0 L
5
电路 分析
网络的固有频率
RLC串联电路：
两个微分方程的特征方程都为：LCS 2 RCS 1 0
令
R 2L
,0
1 LC
S2
2S
2 0
0
特征根：S1,2 2 02 称为网络的固对有偶频关率系或自然频率。
RLC并联电路对：偶关系
时，iL=0，试计算uC(t)，t 0+，并绘波形图。
解：在 0 t 1s，如图为RC放电电路
=RC=1s 故有 uC(t)=10e-t V
t 1s: 初始值为 uC(1+) = uC(1-)=10e-1 V
iL(1+) =0
duC dt
t 1
iL (1 ) 0
uC 1F _
通解：R=0，无阻尼情况。特征根为 s1,2=j1
uC(t)=Kcos[(t-1)+]
uC (V)
代入初值： 10e-1= Kcos 解得： =0 10
0 = -Ksin
K=10e-1 10e1
所以， uC(t)=10e-tcos(t-1) V t 1s
0
1
波形如图所示。
10e1
a 1
1
b 1H
t(s)
17
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
iL
0
iL (0 ) I0
d iL U0 dt t0 L
二阶微分方程 初始条件
4
电路 分析
两网络及方程的对偶关系
R
uC C
_
iL
iC
对偶关系
L
uC C
_
iL
iR
G
L
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
0
uC (0 ) U0
对偶关系
d uC I0 dt t0 C
LC
d 2iL dt 2
确定。其后才确定响应的通解形式，用初始值确定积分常 数。
一般的二阶电路的求解比较麻烦，要列写出电路的微分方 程就不容易。故一般不研究。这部分内容用拉普拉斯变换 方法求解就简单了。放在《信号与系统》课程中学习。
16
例 10-15 电 路
分析
电路如图所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。 在t=1s时，开关接至b。已知uC(0+)=10V以及 t 1
两个微分方程的特征方程都为：LCS 2 GLS 1 0
令
G 2C
,0
1 LC
S2
2S
2 0
0
特征根：S1,2 2 02 称为网络的固有频率或自然频率。
6
电路 分析
10.7 零输入响应
形式之一：过阻尼
特征根：S1,2
2
2 0
若 0
即： RLC串联电路 R 2 L
C
RLC并联电路 G 2 C
uC
uC (0) 0 的曲线如图所示：
④
③
US
①
0
t
15
电路 分析
二阶电路的解法
主要研究RLC串联电路和RLC并联电路；由于这两个基本 电路如何选变量、建立电路方程、求解过程都有详细的结 论。故其它形式的电路尽量转化成这两个基本电路，应用 已有的结论进行分析计算。
二阶电路的响应形式由特征根确定，即由R与L、C的关系
uC C
选 uC 作变量：
_
L
d iL dt
R iL
uC
0
iL
C
duC dt
iL L
LC
d 2uC dt 2
RC
d uC dt
uC
0
uC (0 ) U0
d uC I0 dt t0 C
二阶微分方程 初始条件
2
电路 分析
建立网络方程
RLC并联电路
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0 由KCL： iC iR iL 0
uC
uC K1 sin dt K2 cosdt
K U0
K cos(dt ) t 0
t
波形是等幅振荡的
10
电路 分析
例题 1
电路如图所示，它的固有 响应的性质是__B___。
（A）过阻尼 （B）欠阻尼 （C）临界阻尼 （D）无阻尼
1k 2.5H 2F
2
L 2 C
2.5 2 106
2000
电路 分析
10.6
二阶电路微分方程的建立
RLC串联电路
R iL
初始值为：uC (0 ) U0, iL (0 ) I0
由KVL： uC uR uL 0
uC C
_
L
选 iL 作变量：
1
C
t
0 iL dt U0 L
求一次导数，得：
L
d iL dt
d 2iL dt 2
R
R
iL
d iL dt
0
18
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
%R=5 uc1=dsolve('0.25*D2uc+5*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4','Duc(0)=16') ic1=0.25*diff(uc1) %R=4 uc2=dsolve('0.25*D2uc+4*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=4.8','Duc(0)=19 .2') ic2=0.25*diff(uc2) %R=1 uc3=dsolve('0.25*D2uc+1*0.25*Duc+uc=24','uc(0)=12','Duc(0)=48') ic3=0.25*diff(uc3)
K1es1t
K
es2t
2
t0
t0
14
电路 分析
全响应的四种情况
按特征根的不同，有四种情况：
(1) 过阻尼： (2) 临界阻尼：
uC
US
K1es1t
K
es2t
2
t0
uC U S (K1 K2t)et
t0
(3) 欠阻尼： uC US Ket cos(dt ) t 0
(4) 无阻尼： uC US Kcos(dt ) t 0
选 uC 作变量：
iC
uC C
_
iL
iR
G
L
1
L
t 0
uC dt
I0
C
d uC dt
G uC
0
令左式 t=0, 得：
求一次导数，得：
C
d 2uC dt 2
G
d uC dt
1
L
1 L
uC
0
0
0
uC
d二t 阶I0微C分ddu方tC 程t0
G
uC
(0)
Biblioteka Baidu
0
uC (0 ) U0
d uC I0 U0G
1.25 R 1000
11
电路 分析
例题 2（自测题10-20）
如图所示电路中的二极管是理想的，其中__B___电路中的 二极管有时能导通，__A___电路中的二极管不会导通。
1k 1mH
20 1mH
+
+
S
1F U0
-
S
1F U0
-
图A
图B
只要电路是振荡的，二极管才有可能导通。
L
103
2
2 C
Ket cos(dt ) t 0
其中：为衰减系数， d为振荡频率。
Ke t
t 衰减振荡
9
电路 分析
零输入响应的四种形式之四：无阻尼
特征根：S1,2
2
2 0
若 0 即： RLC串联 R 0
RLC并联电路 G 0
令：d 02 2 0 S1,2 jd 一对共轭虚数。
零输入响应的通解为：
19
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
% 电压波形 figure(1) t=linspace(0,9,300); u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3); plot(t,u1,t,u2,t,u3,'linewidth',2),grid title('电容电压的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('uc(V)') % 电流波形 figure(2) i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3); plot(t,i1,t,i2,t,i3,'linewidth',2),grid title('电容电流的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('ic(A)')
uC (K1 K2 t) e t
t 0 U0
t
8
电路 分析
零输入响应的四种形式之三：欠阻尼
特征根：S1,2 2 02
若 0
即： RLC串联 R 2 L
C
RLC并联电路 G 2 C
L
令：d 02 2 S1,2 jd 一对共轭复数。
零输入响应的通解为：
uC
uC (K1 sin dt K2 cosdt)et U0
L
S1，S2 是不等的负实根。
uC
零输入响应的通解为：
uC K1es1t K2es2t
t 0 U0
t
7
电路 分析
零输入响应的四种形式之二：临界阻尼
特征根：S1,2
2
2 0
若 0
即： RLC串联电路 R 2 L
C
RLC并联电路 G 2 C
L
S1 = S2 = - 是重根。
uC
零输入响应的通解为：