结构力学——矩阵位移法
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结构力学
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
2
学习目的和要求
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
k
e
EA l
1 1
1
1
kk1211
k12 k22
刚度系数的物理意义： • 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； • 矩阵的阶数与杆端位移分量数相等； • kij 表示 uj 1 引起的杆端力Fi 的大小。
15
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
5
第一节 矩阵位移法概述
结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：
在原理上同源，在作法上有别
前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手 段的不同，引起计算方法的差异。
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移过程程序化的优点而广为流传。
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
矩阵位移法的要点 ：
化整为零
集零为整
（离散化、单元分析） （结点力平衡、位移协调）
9
第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
3
学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载 的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计 算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理 意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。 掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
8
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在 满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整 体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的 计算问题转化为简单单元分析和集合问题。
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构 分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了 广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习 目的。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式， 以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目 的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩 阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所 需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算” 代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的 共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及
杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
y
EA
F1e
e
u1 1
l
F2e 2 u2
x
杆件方向： 1 2
杆端位移： u1, u2
杆端内力： F1, F2
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA l u1
u1 e
1 EA
2
EA
l u2
1
e
EA
u2
2
EA l u1 EA
l u2
局部坐标 系下的单 刚方程
F1e
EA l
u1e
EA l
u2e
F2e
EA l
u1e
EA l
u2e
F1
e
F2
EA l
1 1
1
1
uu12
e
F e k e e
k
e
EA l
1 1
1
1
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
4
第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为 杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语 和提法。
6
第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
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第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
11
第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 程，并用矩阵形式表示。
1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。
y
xx
FP
整体坐标
y
局部坐标
y
x
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具 体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，
目前广为采用。
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第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理
学习内容
有限单元法的基本概念，结构离散化。 平面杆系结构的单元分析：局部坐标系下的单元刚度矩
阵和整体坐标系下的单元刚度矩阵。 平面杆系结构的整体分析：结构整体刚度矩阵和结构整
体刚度方程。 边界条件的处理，单元内力计算。 利用对称性简化位移法计算。 矩阵位移法的计算步骤和应用举例。
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学习目的和要求
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
k
e
EA l
1 1
1
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kk1211
k12 k22
刚度系数的物理意义： • 单元刚度矩阵是杆端力与杆端位移之物理关系； • 矩阵的阶数与杆端位移分量数相等； • kij 表示 uj 1 引起的杆端力Fi 的大小。
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
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第一节 矩阵位移法概述
结构力学传统方法与结构矩阵分析方法，二者同源而有别：
在原理上同源，在作法上有别
前者在“手算”的年代形成，后者则着眼于“电算”，计算手 段的不同，引起计算方法的差异。
与传统的力法、位移法相对应，在结构矩阵分析中也有矩阵力 法和矩阵位移过程程序化的优点而广为流传。
3、局部坐标系中的单元刚度矩阵性质
矩阵位移法的要点 ：
化整为零
集零为整
（离散化、单元分析） （结点力平衡、位移协调）
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第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
在杆件结构矩阵分析中，一般 是把杆件的转折点、汇交点、 边界点、突变点或集中荷载作 用点等列为结点，结点之间的 杆件部分作为单元。
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学习目的和要求
要求：矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整 体分析。
在单元分析中，熟练掌握单元刚度矩阵和单元等效荷载 的概念和形成。熟练掌握已知结点位移求单元杆端力的计 算方法。
在整体分析中，熟练掌握结构整体刚度矩阵元素的物理 意义和集成过程，熟练掌握结构综合结点荷载的集成过程。 掌握单元定位向量的建立，支撑条件的处理。
c、正负号规定（采用右手法则）
杆端内力规定当与坐标轴正方向一致时为正； 杆端位移和结点位移规定当与坐标轴正方向一致时为正。 结点外力规定当与坐标轴正方向一致时为正；
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第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
先把结构拆开，分解成若干个单元（在杆件结构中，一 般把每个杆件取作一个单元），这个过程称作离散化。然 后按单元力学性质对每个单元分析建立单元刚度方程，在 满足变形条件和平衡条件的前提下，将这些单元集合成整 体求解。在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构的 计算问题转化为简单单元分析和集合问题。
目的：矩阵位移法是以计算机为计算工具的现代化结构 分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了 广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习 目的。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式， 以计算机为运算工具的综合分析方法。引入矩阵运算的目 的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩 阵位移法运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所 需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算” 代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的 共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵 采用局部坐标系（以杆的轴线作为x轴）时，杆端力及
杆端位移的正方向以坐标轴正方向为正。
y
EA
F1e
e
u1 1
l
F2e 2 u2
x
杆件方向： 1 2
杆端位移： u1, u2
杆端内力： F1, F2
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
2、局部坐标系中的单元刚度矩阵
EA l u1
u1 e
1 EA
2
EA
l u2
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EA
u2
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EA l u1 EA
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局部坐标 系下的单 刚方程
F1e
EA l
u1e
EA l
u2e
F2e
EA l
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1 1
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
自由式单元的单元刚度矩阵不要求背记，但要领会其物 理意义，并会有它推出特殊单元的单元刚度矩阵。
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第一节 矩阵位移法概述
矩阵位移法以传统的结构力学作为理论基础; 以矩阵作为数学表达形式; 以电子计算机作为计算手段
三位一体的解决各种杆系结构受力、变形等计算的方法。
采用矩阵进行运算，不仅公式紧凑，而且形式统一，便 于使计算过程规格化和程序化。这些正是适应了电子计 算机进行自动化计算的要求。
矩阵位移法是有限元法的雏形，因此结构矩阵分析有时也称为 杆件结构的有限元法。在本章中将使用有限元法中的一些术语 和提法。
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第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路
a、方法的选择
位移法与力法之由于选取的基本未知量不同，因此计算次序不同
力法
结构结点力 杆件杆端力 杆件端点位移 结构结点位移
位移法
10
第一节 矩阵位移法概述
2、单元划分
将一个在荷载作用下的连续结构剖分成若干个各自独立 的单元，原结构可以看成是由各单元在连接点（称结点） 连接而成的体系——化整为零
为了减少基本未知量的数目，跨 间集中荷载作用点可不作为结点， 但要计算跨间荷载的等效结点荷 载；跨间结点也可不作为结点， 但要推导相应的单元刚度矩阵， 编程序麻烦。
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
单元分析的目的是以结点位移为基本未知量，分析每个单元 的结点力和结点位移及荷载之间的关系，即建立单元刚度方 程，并用矩阵形式表示。
1、坐标系的选择: 在矩阵位移法中采用两种坐标系： 局部坐标系和整体坐标系。
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整体坐标
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局部坐标
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第二节 单元分析（局部坐标系下的单元分析 ）
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多地依赖于结构的具 体情况，不宜实现计算机计算的自动化，但其优点是计算出 的结果就是力。
位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计算自动化和通用性强，
目前广为采用。
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第一节 矩阵位移法概述
1、矩阵位移法的基本思路 b、基本假设和基本原理
线弹性、小变形。满足叠加原理、功能原理