二次函数中考专题复习

二次函数专题复习

专题一：二次函数的图象与性质

本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.

考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标

二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a

，2

44ac b a -）.

例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x

=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． （1）求m 、c 的值；

（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.

分析：要求m 的值只要将点A （-1，m ）的坐标代入y=

5

x

即可.要求c 的值，则只要把点A 的坐标代入y=-x 2+2x+c 即可.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标，可以直接代入计算公式，也可以利用配方法进行计算.

解答：（1）把x=1，y=m 代入y=5

x

，得m=-5，所以点A 的坐标为（-1，-5）.把x=-1，y=-5代入y=-x 2+2x+c ，得c=-2.

（2）因为y=-x 2+2x-2=-（x-1）2-1，所以二次函数的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，-1）.

点评：本题主要涉及二次函数图象的对称轴和顶点坐标的计算，解决问题的方法有两种，可根据表达式的特点灵活选择计算方法.

考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系

抛物线y=ax 2

+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b

a

的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.

例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）

A ．第一、二、三象限

B ．第一、二、四象限

C ．第二、三、四象限

D ．第一、三、四象限

分析：通过观察图象可以知道a 喝b 的符号，从而可以判断出y=ax-b 的图象一定过的象限.

解：由图，可知a<0，又由对称轴，可知-2b

a

>0，∴b>0. ∴y=ax-b 的图象一定经过第二、三、四象限. ∴应选C.

点评：求解本题时，一定要认真分析题目提供的图象，从图像中捕捉对求解有用的信息. 考点3.二次函数的平移

当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.

例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 分析：因为将抛物线向上平移，表明抛物线沿y 轴向上. 解：把抛物线y=3x 2向上平移2个单位， ∴平移后的抛物线的表达式应为y=3x 2+2. ∴应选C.

点评：抛物线在左边平面内实施平移变换，其位置发生了改变，但其形状和开口不变，即a 不变.

专题练习一

1.对于抛物线y=13-x 2+103x 16

3

-，下列说法正确的是（ ）

A.开口向下，顶点坐标为（5，3）

B.开口向上，顶点坐标为（5，3）

C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）

D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4

D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）

3.将二次函数y=x 2

的图象向左平移1个单位长度，再

向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.

4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）

专题复习二：二次函数表达式的确定

本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.

考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式

例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2

）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．

分析：依题意利用图形的面积公式求解. 解：依题意AD=

12（30-x ），所以由长方形的面积公式得y=x ×12（30-x ）=-1

2

x 2+15x. 点评：本题主要考查从实际问题中建立函数模型求二次函数表达式，这里应注意30米的篱笆只需围三个面，另一面靠墙，不需要篱笆.

考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式

1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；

2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；

3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）.

例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式. 分析：可用顶点式求解.

解：设抛物线的表达式为y=a （x+1）2+4，因为抛物线经过B （2，-5），所以-5=a （2+1）

2

+4，即a=-1.所以抛物线的表达式为y=-（x+1）2+4=-x 2-2x+3.

点评：求抛物线的表达式的常用方法是待定系数法.给定的条件不同，所设的表达式的形

式也不一样.

例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）.

A

B

C D

图1

菜园

墙