高中立体几何证明方法与例题
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∴∠MEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a
∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。
例3.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
解：设点P在△ABC所在平面上的射影为O
∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心
△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°
长度为___________。
解：（采用展开图的方法）
点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。
解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则
AD＞2AB＝6
∴选A
（2）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）
∴∠PEB＝120°，∠wenku.baidu.comEO＝60°
即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC
故取PB中点G，PC中点F
则AG⊥PB，GF∥BC
又BC⊥PB，∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE
其中正确命题的序号是___________。
解：
∴①对，②错
值，∴③对
综上，①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。
解：（1）如图②，作出MN、PQ
∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°
即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
A. KB. HC. GD. B
分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。
∴AF⊥面PCD
作FH⊥PC于H，则AF⊥FH
又EG∥AF，∴EG⊥FH
∴FH⊥面PEC，∴FH为F到面PEC的距离
在Rt△PEG中，FH·PG＝PF·FG
方法2：（体积法）
∵AF∥面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d
易证AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD
∴EG⊥PC
（三）对命题条件的探索
例6.（1）如图已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）
连结GE，易证AE⊥平面POB
（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA
（二）与距离有关的问题
例4.（1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（）
A. 13B. 11C. 9D. 7
【典型例题】
（一）与角有关的问题
例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°
解：取AC中点G，连结EG、FG，则
∴∠EGF为AB与PC所成的角
在△EGF中，由余弦定理，
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
（一）平行与垂直关系的论证
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：
2.线线、线面、面面垂直关系的转化：
3.平行与垂直关系的转化：
4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）
解：
（O1为小圆圆心）
∴△AOB为正三角形（O为球心）
∴选D
例5.如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。
（1）求证：AF∥平面PEC；
距离。
解：G为PC中点，连结FG、EG
又∵F为PD中点
∴四边形AEGF为平行四边形
∴AF∥平面PEC
（2）∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD
∴AD为PD在面ABCD上射影
∴CD⊥PD
∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°
则△PAD为等腰直角三角形
∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
5.唯一性结论：
1.三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°
2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；
（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°
∴选A
（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）
解：
∴选A
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P—EF—Q的大小为定值；
④三棱锥P—QEF的体积为定值
在Rt△NMQ中，ME·NQ＝MN·MQ
设正方体的棱长为a
∴∠MEO＝60°
即二面角M—NQ—P的大小为60°。
例3.如图，已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
解：设点P在△ABC所在平面上的射影为O
∵PA＝PB＝PC，∴O为△ABC的外心
△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°
长度为___________。
解：（采用展开图的方法）
点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。
解：∵PA⊥面ABCD，PE⊥DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE⊥BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则
AD＞2AB＝6
∴选A
（2）如图，在三棱柱ABC－A'B'C'中，点E、F、H、K分别为AC'、CB'、A'B、B'C'的中点，G为△ABC的重心，从K、H、G、B'中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（）
∴∠PEB＝120°，∠wenku.baidu.comEO＝60°
即为P点到面ABCD的距离。
（2）由已知ABCD为菱形，及△PAD为边长为2的正三角形
∴PA＝AB＝2，又易证PB⊥BC
故取PB中点G，PC中点F
则AG⊥PB，GF∥BC
又BC⊥PB，∴GF⊥PB
∴∠AGF为面APB与面CPB所成的平面角
∵GF∥BC∥AD，∴∠AGF＝π－∠GAE
其中正确命题的序号是___________。
解：
∴①对，②错
值，∴③对
综上，①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图（2）的正方体中将MN，PQ画出来，并就这个正方体解答下列各题：
（1）求MN和PQ所成角的大小；
（2）求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比；
（3）求二面角M—NQ—P的大小。
解：（1）如图②，作出MN、PQ
∵PQ∥NC，又△MNC为正三角形
∴∠MNC＝60°
∴PQ与MN成角为60°
即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1：6
（3）连结MA交PQ于O点，则MO⊥PQ
又NP⊥面PAQM，∴NP⊥MO，则MO⊥面PNQ
过O作OE⊥NQ，连结ME，则ME⊥NQ
A. KB. HC. GD. B
分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线”。
∴AF⊥面PCD
作FH⊥PC于H，则AF⊥FH
又EG∥AF，∴EG⊥FH
∴FH⊥面PEC，∴FH为F到面PEC的距离
在Rt△PEG中，FH·PG＝PF·FG
方法2：（体积法）
∵AF∥面PEC，故只要求点A到面PEC的距离d
易证AF⊥面PCD，∴EG⊥面PCD
∴EG⊥PC
（三）对命题条件的探索
例6.（1）如图已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面ABCD，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（）
连结GE，易证AE⊥平面POB
（2）解法2：如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA
（二）与距离有关的问题
例4.（1）已知在△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°，它所在平面外一点P到△ABC三个顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离是（）
A. 13B. 11C. 9D. 7
【典型例题】
（一）与角有关的问题
例1.（1）如图，E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（）
A. 60°B. 45°C. 30°D. 120°
解：取AC中点G，连结EG、FG，则
∴∠EGF为AB与PC所成的角
在△EGF中，由余弦定理，
（1）求点P到平面ABCD的距离；
（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
解：（1）作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB（根据___________）
∵PA＝PD，∴OA＝OD
于是OB平分AD，点E为AD中点
∴PE⊥AD
∴∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
（一）平行与垂直关系的论证
由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。
1.线线、线面、面面平行关系的转化：
2.线线、线面、面面垂直关系的转化：
3.平行与垂直关系的转化：
4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
（3）在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经140°与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）
解：
（O1为小圆圆心）
∴△AOB为正三角形（O为球心）
∴选D
例5.如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD中点。
（1）求证：AF∥平面PEC；
距离。
解：G为PC中点，连结FG、EG
又∵F为PD中点
∴四边形AEGF为平行四边形
∴AF∥平面PEC
（2）∵CD⊥AD，又PA⊥面ABCD
∴AD为PD在面ABCD上射影
∴CD⊥PD
∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，且∠PDA＝45°
则△PAD为等腰直角三角形
∴AF⊥PD，又CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
5.唯一性结论：
1.三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180°
2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”
即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；
（3）指出所求作的角；（4）计算大小。
∴AB与PC所成的角为180°－120°＝60°
∴选A
（2）已知正四棱锥以棱长为1的正方体的某个面为底面，且与该正方体有相同的全面积，则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为（）
解：
∴选A
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P—EF—Q的大小为定值；
④三棱锥P—QEF的体积为定值