高考数学总复习:常用逻辑用语
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知识网络:
目标认知
考试大纲要求:
1. 理解命题的概念;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
2. 了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.
3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
4. 理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
重点:
充分条件与必要条件的判定.
难点:
根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。
知识要点梳理
知识点一:命题
1. 定义:
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题.
(1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如p,q,r,m,n等.
(2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真命题;
(3)命题“”的真假判定方式:①若要判断命题“”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。
如:一定推出.
②若要判断命题“”是一个假命题,只需要找到一个反例即可.
注意:“不一定等于3”不能判定真假,它不是命题.
2. 逻辑联结词:
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
(2)复合命题的构成形式:
①p或q;②p且q;③非p(即命题p的否定).
(3)复合命题的真假判断(利用真值表):
非
真真假真真
真假假真假
假真真真假
假假真假假
①当p、q同时为假时,“p或q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”;
②当p、q同时为真时,“p且q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。
③“非p”与p的真假相反.
注意:
(1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p或q”为例:一是p成立且q不成立,
二是p不成立但q成立,三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.
(2)“或”、“且”联结的命题的否定形式:
“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p 或q”.
(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。
知识点二:四种命题
1. 四种命题的形式:
用p和q分别表示原命题的条件和结论,用p和q分别表示p 和q的否定,则四种命题的形式为:
原命题:若p则q;逆命题:若q则p;
否命题:若p则q;逆否命题:若q则p.
2. 四种命题的关系
①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一.
②逆命题否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.
除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 知识点三:充分条件与必要条件
1. 定义:
对于“若p则q”形式的命题:
①若p q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;
②若p q,但q p,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件;
③若既有p q,又有q p,记作p q,则p 是q的充分必要条件(充要条件).
2. 理解认知:
(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论,再用结论
推条件,最后进行判断.
(2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.
“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的
同义词语.
3. 判断命题充要条件的三种方法
(1)定义法:
(2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原命题与逆命题真
假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用与;
与;与的等价关系,对于条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法.
(3) 利用集合间的包含关系判断,比如A B可判断为A B;A=B可判断为A B,且B A,即A B.
如图:
“”“,且”是的充分不必要条件.
“”“”是的充分必要条件.
知识点四:全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词
(I)全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符号“”表示,读作“对任意”。
含有全称量词的命题,叫做全称称命题。
全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可表示为“”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题. (II)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”,“存在一个”,“至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“”表示,读作“存在”。
含有存在量词的命题,叫做特称命题。
特称命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可表示为“”,其中M为给定的集合,p(x)是关于x的命题.
2. 对含有一个量词的命题进行否定
(I)对含有一个量词的全称命题的否定
全称命题p:,他的否定:。全称命题的否定是特称命题。
(II)对含有一个量词的特称命题的否定
特称命题p :,他的否定:。特称命题的否定是全称命题。
注意:
(1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。
(2)一些常见的词的否定:
正面词等于大于小于是都是一定是至少一个至多一
个
否定词不等
于不大
于
不小
于
不是不都是一定不
是
一个也没
有
至少两
个
规律方法指导
1. 解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真假性一致.
2. 要注意区分命题的否定与否命题.
3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”