特征值与特征向量计算(第六章)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
lim (Vk ) j k (Vk1 ) j
1
1 ( 1 )
lim
k 1( 1 ) j
j
[
n i2
i
(
i 1
)
k
i
]
j
[
n i2
i
(
i 1
)k
1
i
]
j
1
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方
法,具体步骤如下：
(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T
(2)计算Vk=AVk-1 (3)当k足够大时,即可得到：1
-29.99722
5 44.99959 14.99988
-29.99974
6 44.99953 14.99983
-29.99968
7 44.99953 14.99983
-29.99968
uk
1
1
1
1
0.34672
-0.67153
1
0.33413
-0.66727
1
0.33337
-0.66670
1
0.33334
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
m2 44.42377,m3 44.92333,m4 44.99572 m5 44.99959,m6 44.99953,m7 44.99953
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解: 取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出Vk,uk和mk,迭代
7次的结果列于下表
k
Vk
01
1
1
1 274
95
-184
2 44.43277 14.84322
-29.64262
3 44.92333 14.97623
-29.95048
4 44.99572 14.99865
V2 AV1 A2V0 1121 2222 n2nn
…………..
Vk AVk1 AkV0 11k 1 2k22 nknn
k 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[1
1
n
i2
i ( i )k
1
i ]
同理可得：
Vk 1
k 1
1
[1
1
n i2
i
(
i 1
)k
1
i
]
假定 (1) j 0 ,因为 i 1(i 2,3, , n) ,故得
a11
f x detA I
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A
的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得 出特征值λ对应的特征向量X。
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
。 2 q 2
1 q 1
易求得， q 2 n 是一个很好的选择.可以验证， 2
目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法---幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。
一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1, 2, , n (它们线性无关)，
则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 Vk AVk1
科学与工程计算
北京科技大学数理学院 卫宏儒
weihr168@yahoo.com.cn
矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容
一、幂法
二、反幂法
三、幂法、反幂法小结
四、QR算法
五、Jacobi方法
问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的
求解，有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。 学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ 的解法，即先求出A的特征多项式：
(Vk ) j (Vk 1 ) j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向 量。
max(Vk ) max{
1k [11
n
i
i2
( i 1
)i
]
max{1k [11
n
i
i2
( i 1
) k 1
i
} ]}
1
n
max[11 i
i2
n
max[11 i (
i2
(
i 1
)
i
]
i 1
)k
1
i
]
limmk 1
k
例：用幂法求矩阵
133 6 135
A
44
5
46
88 6 90
有
lim (Vk ) j k (Vk1 ) j
1
其中表示向量的第j个分量.
P129：定理6-2；归一化幂 法是定理6-3。
证明： 仅就为实数的情况来证明.假定
V0 11 22 nn (1 0)
于是,由矩阵特征值定义知 i i i ,得
V1 AV0 1A1 2 A2 n An 111 222 nnn
为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理
定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
lim
k
uk
1 max( 1 )
lim
k
mk
1
证:
V1
Au0
AV0 , u1
V1 max(V1 )
AV0 max( AV0 )
1 44.9995, x1 (1,0.333,0.6667)T
注： 1、归一化例题6-2 2、幂法的加速：原点平移法； Aitken加速法；Rayleigh商加速法
（1）原点平移法
最简单的加速办法是以 B A qI 来代替矩阵 A 进
行迭代, 此时适当选取平移量 q 可使过程得以加速。
易知 B 的特征值为 i q,i 1,L ,n ， B 的特征向量与矩阵 A 相 同 。 为 了 加 速 求 得 1 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且
Vk
Auk 1
AkV0
max(
Ak
V 1 0
)
uk
Vk mk
AkV0
max( AkV0 )
k 1
[1
1
n
i2
i
(
i 1
)
i
]
max{1k [11
n
i
i2
( i 1
)k
i
]}
1 1
n
i2
i ( i )k
1
i
max[1 1
n
i2
i ( i )k
1
i ]
mk
lim
k
uk
1 max( 1)
lim (Vk ) j k (Vk1 ) j
1
1 ( 1 )
lim
k 1( 1 ) j
j
[
n i2
i
(
i 1
)
k
i
]
j
[
n i2
i
(
i 1
)k
1
i
]
j
1
从上述证明过程可得出计算矩阵A的按模最大特征值的方
法,具体步骤如下：
(1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.…,1)T
(2)计算Vk=AVk-1 (3)当k足够大时,即可得到：1
-29.99722
5 44.99959 14.99988
-29.99974
6 44.99953 14.99983
-29.99968
7 44.99953 14.99983
-29.99968
uk
1
1
1
1
0.34672
-0.67153
1
0.33413
-0.66727
1
0.33337
-0.66670
1
0.33334
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
1
0.33333
-0.66667
m2 44.42377,m3 44.92333,m4 44.99572 m5 44.99959,m6 44.99953,m7 44.99953
由上可见经过7次迭代, m7的值已稳定到小数后5位， 故所求的按模最大特征值和对应的特征向量可取作：
按模最大特征值1和对应的特征向量x1
解: 取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，计算出Vk,uk和mk,迭代
7次的结果列于下表
k
Vk
01
1
1
1 274
95
-184
2 44.43277 14.84322
-29.64262
3 44.92333 14.97623
-29.95048
4 44.99572 14.99865
V2 AV1 A2V0 1121 2222 n2nn
…………..
Vk AVk1 AkV0 11k 1 2k22 nknn
k 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
[1
1
n
i2
i ( i )k
1
i ]
同理可得：
Vk 1
k 1
1
[1
1
n i2
i
(
i 1
)k
1
i
]
假定 (1) j 0 ,因为 i 1(i 2,3, , n) ,故得
a11
f x detA I
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
令ｆ﹙ｘ﹚﹦0。 通过求解上述高次多项式方程，所得根λ即为矩阵A
的特征值，然后求解方程组﹙Ａ﹣λＩ﹚Ｘ﹦0，就可得 出特征值λ对应的特征向量X。
但众所周知，高次多项式求根是相当困难的，而且重根 的计算精度较低。同时，矩阵A求特征多项式系数的过程对舍 入误差十分敏感，这对最后计算结果影响很大。因此，从数 值计算角度来看，上述方法缺乏实用价值。
。 2 q 2
1 q 1
易求得， q 2 n 是一个很好的选择.可以验证， 2
目前，求矩阵特征值问题实际采用的是迭代法和变换法。 这里将介绍通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭代法---幂法，而后再介绍一些反幂法的内容。
一、幂法 定理：设矩阵A的特征值为
1 2 n
并设A有完全的特征向量系 1, 2, , n (它们线性无关)，
则对任意一个非零向量V0Rn 所构造的向量序列 Vk AVk1
科学与工程计算
北京科技大学数理学院 卫宏儒
weihr168@yahoo.com.cn
矩阵特征值 与特征向量的计算主要内容
一、幂法
二、反幂法
三、幂法、反幂法小结
四、QR算法
五、Jacobi方法
问题的提出： 工程技术的许多实际问题，例如振动问题，稳定问题的
求解，有时会归结成求矩阵的特征值λ和对应的特征向量χ。 学过线性代数后，我们已知求矩阵A的特征值λ和特征向量χ 的解法，即先求出A的特征多项式：
(Vk ) j (Vk 1 ) j
若按上述计算过程，有一严重缺点，当|1|>1 （或| 1 |<1时）{Vk}中不为零的分量将随K的增大而无限增大，计 算机就可能出现上溢（或随K的增大而很快出现下溢）， 因此，在实际计算时，须按规范法计算，每步先对向量 Vk进行“规范化”,即取Vk中绝对值最大的一个分量记作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到规范化向 量。
max(Vk ) max{
1k [11
n
i
i2
( i 1
)i
]
max{1k [11
n
i
i2
( i 1
) k 1
i
} ]}
1
n
max[11 i
i2
n
max[11 i (
i2
(
i 1
)
i
]
i 1
)k
1
i
]
limmk 1
k
例：用幂法求矩阵
133 6 135
A
44
5
46
88 6 90
有
lim (Vk ) j k (Vk1 ) j
1
其中表示向量的第j个分量.
P129：定理6-2；归一化幂 法是定理6-3。
证明： 仅就为实数的情况来证明.假定
V0 11 22 nn (1 0)
于是,由矩阵特征值定义知 i i i ,得
V1 AV0 1A1 2 A2 n An 111 222 nnn
为说明上述算法的正确性，我们证明下述定理
定理二：在定理一的条件下,规范化向量序列{uk}收敛于 矩阵A按模最大的特征值1对应的特征向量,而向量序列 {Vk}的绝对值最大的分量mk收敛于1,即
lim
k
uk
1 max( 1 )
lim
k
mk
1
证:
V1
Au0
AV0 , u1
V1 max(V1 )
AV0 max( AV0 )
1 44.9995, x1 (1,0.333,0.6667)T
注： 1、归一化例题6-2 2、幂法的加速：原点平移法； Aitken加速法；Rayleigh商加速法
（1）原点平移法
最简单的加速办法是以 B A qI 来代替矩阵 A 进
行迭代, 此时适当选取平移量 q 可使过程得以加速。
易知 B 的特征值为 i q,i 1,L ,n ， B 的特征向量与矩阵 A 相 同 。 为 了 加 速 求 得 1 ， 应 使 1 q 模 最 大 ， 且
Vk
Auk 1
AkV0
max(
Ak
V 1 0
)
uk
Vk mk
AkV0
max( AkV0 )
k 1
[1
1
n
i2
i
(
i 1
)
i
]
max{1k [11
n
i
i2
( i 1
)k
i
]}
1 1
n
i2
i ( i )k
1
i
max[1 1
n
i2
i ( i )k
1
i ]
mk
lim
k
uk
1 max( 1)