第二章函数4函数的奇偶性与简单的幂函数4.1函数的奇偶性1函数奇偶性的概念 课件

§4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1 函数的奇偶性 第1课时 函数奇偶性的概念
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导 1.函数除了具有单调性外,还有其他性质吗? 思 2.奇函数、偶函数分别有怎样的对称性?
函数的奇偶性 (1)奇偶性:
奇偶性 条件 结论 图象 特点
偶函数
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A
类型三 利用函数奇偶性求值(数学运算、逻辑推理)
角度1 利用函数的奇偶性求参数
【典例】若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则
a=
,b=
.
【思路导引】根据f(x)是偶函数,得到定义域关于原点对称,求出a的值,再根据
函数图象关于y轴对称,求出b的值.
角度2 利用函数的奇偶性求函数值
f(-x)=_f_(_x_)_
f(-x)= _-_f_(_x_)_
关于_y_轴__对称
关于_原__点__对称
(2)本质:奇偶性是描述函数图象对称性的性质. (3)应用:研究具有奇偶性的函数性质时,先研究它在非负区间上的性质,再利用 对称性可知它在非正区间上的性质.
【思考】 具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?
【题组训练】 1.已知函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,则m的值是 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】选C.因为函数f(x)=x2+(2-m)x+m2+12为偶函数,所以f(x)=f(-x),即 x2+(2-m)x+m2+12=(-x)2-(2-m)x+m2+12,即4-2m=0,所以m=2.
2.若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a=
.
【解析】方法一:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,f(-x)=(-x+a)(-x-4)=x2-(a-
4)x-4a,两式恒相等,则a-4=0,即a=4.
方法二:f(x)=(x+a)(x-4)=x2+(a-4)x-4a,要使函数为偶函数,只需多项式的奇次
2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是 ( )
3.(教材二次开发:例题改编)下列函数为奇函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
C.y= 1
D.y=-x2+14
x3
【解析】选C.A、D两项,函数均为偶函数,B项中函数为非奇非偶函数,而C项中函
数为奇函数.
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类型一 函数奇偶性的判断(逻辑推理、数学运算)
x 1 x 1
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
【解题策略】 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:根据函数奇偶性的定义进行判断.步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称.若不对称,则函数f(x)为非奇非偶 函数,若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论.若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数. (2)图象法:f(x)是奇(偶)函数的等价条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称.
(1)确定函数的奇偶性. (2)作出函数在(0,+∞)(或(-∞,0))上对应的图象. (3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0)(或(0,+∞))上对应的函 数图象.
【跟踪训练】 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图象. (2)写出使f(x)<0的x的取值范围.
3.(教材二次开发:练习改编)如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+ f(-1)的值为 ( )
A.1 B.0 C.-2 D.2
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为2,则f(6)+f(-3)的值为 ( ) A.10 B.-10 C.9 D.15 【解析】选A.根据题意,函数f(x)在区间[3,6]上单调递增,在区间[3,6]上的最 大值为8,最小值为-2,则f(6)=8,f(3)=-2,又由函数f(x)为奇函数,得f(-3)= -f(3)=2,则f(6)+f(-3)=10.
【典例】已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=
.
【思路导引】根据f(x)的解析式发现f(x)为非奇非偶函数,设一个新函数g(x),
根据新函数的奇偶性求出f(3)的值.
【解题策略】 已知函数的某一个自变量值,求对应的函数值时,常利用函数的奇偶性或部分
函数的奇偶性求值.
(1)请补出完整函数y=f(x)的图象. (2)根据图象写出函数y=f(x)的递增区间. (3)根据图象写出使y=f(x)<0的x的取值范围.
【思路导引】根据偶函数的图象关于y轴对称,补全函数图象,增函数的图象是 上升的,求出单调递增区间,f(x)<0是指的函数图象位于x轴下方的部分.
【解题策略】 巧用奇偶性作函数图象的步骤
【补偿训练】
下列函数中是偶函数的有
.(填序号)
①f(x)=x3;②f(x)=|x|+1;③f(x)= 1 ;
x2
④f(x)=x+ 1 ;⑤f(x)=x2,x∈[-1,2].
x
类型二 奇偶函数的图象问题(直观想象) 【典例】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已 画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
5.已知函数f(x)= x m 是定义在(-1,1)上的奇函数,则常数m,n的值分
x2 nx 1
别为
.
【解析】由题意知f(0)=0,故得m=0.由f(x)是奇函数知f(-x)=-f(x),即
x2
x nx
＝ 1
x
2
x nx
， 1
所以x2-nx+1=x2+nx+1,所以n=0.
答案:0,0
【题组训练】
1.函数f(x)= 1 x2 x2 1 的奇偶性是 ( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
x 1, x＜0，
2.函数f(x)= 0, x 0， 的奇偶性是
x 1, x＞0
A.奇函数
B.偶函数
()
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
3.函数f(x)= 1 1 的奇偶性是 ( )
提示:定义域关于原点对称.
【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1) 对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.
() (2) 若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数. ( ) (3)奇函数的图象一定过(wk.baidu.com,0). ( )
是 ()
A.(1,-2)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(2,1)
【解析】选B.因为f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=2,
所以f(-1)=-2,所以(-1,-2)一定在函数f(x)的图象上.
2.设f(x)是定义在R上的一个函数,则函数F(x)=f(x)-f(-x)在R上一定 ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【解析】选A.F(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-F(x), 符合奇函数的定义.
项系数为0,即a-4=0,则a=4.
答案:4
3.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为
.
【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(-3)=-f(3)=-6,所以(-3)2+a×(-3)=-6,解得
a=5.
答案:5
课堂检测·素养达标
1.已知f(x)为定义在R上的奇函数,且f(1)=2,下列一定在函数f(x)图象上的点