雅可比迭代实验报告

雅可比迭代法求解线性方程组的实验报告

一、实验题目

分别利用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法求解以下线性方程组：

使得误差不超过 0.00001。 二、实验引言

1.实验目的

①掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和步骤，熟悉计算机fortran 语言；

②了解雅可比迭代法在求解方程组过程中的优缺点。

2.实验意义

雅克比迭代法就是众多迭代法中比较早且较简单的一种，求解方便实用。

三、算法设计

1.雅可比迭代法原理：

设有线性方程组Ax=b 满足0≠ii a , 将方程组变形为: x=Bx+f, 则雅可比

(Jacobi)迭代法是指f Bx X k k +=+)1(，即 由初始解逐步迭代即可得到方程组的解。

算法步骤如下：

⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102.7210321

321321x x x x x x x x x

步骤1.给定初始值)0()0(2)0(1,,,n x x x ⋯，精度e,最大容许迭代次数M ，令k=1。

步骤2.对i=1,2,…,n 依次计算

)0()1()0()1(11|

|)

n ,2,1,0(/)(i i i i i ii ii j n

i j j ij j x x x x e i a a x a b x →-=⋯=≠-=∑≠=，

步骤3.求出}{max 1i n

i e e ≤≤=，若ε

步骤4.若,1,k k M k →+<转步骤2继续迭代。若,M k ≥表明迭代失败，停止计算。

2.算法流程图

四、程序设计program jacobi implicit none integer::i,j integer::k

save k

real,parameter::e=0.001 integer,parameter::n=3 real::x(n),y(n),b(n)

data b/7.2,8.3,4.2/

real::D

real::a(n,n)

open (unit=10,file='1.txt')

data a/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/

write(10,*)"**********矩阵A的形式为**********" write(10,"(1x,3f6.2,/)")a

forall(i=1:n)

x(i)=0

end forall

k=0

100 D=0

do i=1,n

y(i)=b(i)

do j=1,n

if(i/=j) y(i)=y(i)-a(i,j)*x(j)

end do

y(i)=y(i)/a(i,i)

end do

do j=1,n

D=abs(x(j)-y(j))

end do

forall(i=1:n)

x(i)=y(i)

end forall

if(D>=e) then

k=k+1

write(10,*)"迭代次数为：",k

goto 100

else

goto 200

end if

200 write(10,*)"****************************************"

write(10,*)"用jacobi方法解得的结果X[t]为："

write(10,"(1x,3f6.2,/)")x(:)

stop

end program

五、结果及讨论

1.实验结果

**********矩阵A的形式为********** 10.00 -1.00 -1.00

-1.00 10.00 -1.00

-2.00 -2.00 5.00

迭代次数为： 1

迭代次数为： 2

迭代次数为： 3

迭代次数为： 4

迭代次数为： 5

迭代次数为： 6

迭代次数为：7

**************************************** 用jacobi方法解得的结果X[t]为：

1.10 1.20 1.30

2.讨论分析

（1）误差

从上述输出结果中可以看出，当迭代次数k增大时，迭代值x1,y1,z1

会越来越逼近方程组的精确解x=1.0,y=1.2,z=1.3。

（2）收敛性

在本题目中, 用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法分别求解该线性方程组，得到的近似根是收敛的

六、算法评价

优点：迭代法算法简单，编制程序比较容易。

缺点：迭代法要求方程组的系数矩阵有某种特殊性质（譬如是所谓对角占优阵）以保证过程的收敛性。高斯—塞德尔迭代法比雅可比迭代法收敛快(达到同样的精度所需迭代次数少),但这个结论,在一定条件下才是对的,甚至有这样的方程组,雅可比方法收敛，而高斯—塞德尔迭代法却是发散的。在雅可比迭代法求解线性方程组时，只要误差截断设计的合理，原则上可以得到很正确的解。而通常我们选取设计误差限或设计最大迭代次数的方法来控制。由于它的准确性，故在实际应用中比较常见，对于解一般线性方程组非常有效准确。通过该算法以及编程对求解的过程，我们不难发现，雅克比迭代法的优点明显，计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。然而这种迭代方式收敛速度较慢，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。

附：

高斯—赛德尔程序