高等代数知识结构

(5)矩阵的初等变换

矩阵的等价变换形式主要有如下几种：

1）矩阵的i 行（列）与j 行（列）的位置互换；

2）用一个非零常数k 乘矩阵的第i 行（列）的每个元；

3）将矩阵的第j 行（列）的所有元得k 倍加到第i 行（列）的对应元上去。

3.线性方程组

一般线性方程组.这里所指的一般线性方程组形式为

11112211211222

221122,,.

n n n n s s sn n s a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪

⎪+++=⎩ ()

i ()i 式中(1,2,,)i x i n = 代表未知量，(1,2,,;1,2,,)ij a i s j n == 称为方程组的系

数，(1,2,,)j b j n = 称为常数项.

线性方程组)(i 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即120s b b b ==== .

令

1112121

22212n n s s sn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ ，12n x x X x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ , 12s b b B b ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

，则()i 可用矩阵乘法表示为

AX B =，,,.

m n n m A C X C B C ⨯∈∈∈a.线性方程组的解法1)消元法

在初等代数里，我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、

三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性.但对于

那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用.2)应用克莱姆法则

对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理1 如果含有n 个方程的n 元线性方程组

6)设向量组可由向量组线性表出,如果r>s,则线性相关；

7)n+1个n维向量必线性相关(个数大于维数)

8)该向量组的秩小于它所含向量的个数向量组线性相关

9)n个n维的向量构成的行列式=0 该向量组是线性相关的

10)线性相关向量组中每个向量截短之后还相关

b.判断向量组线性无关的方法

1)线性无关

2)的对应分量不成比例线性无关

3)向量组线性无关该组中任何一个向量都不能由其余的向量线性表出

4)整体无关则部分无关

5)线性无关向量组中每个向量加长之后还无关

6)该向量组的秩等于它所含向量的个数向量组线性无关

7)n个n维的向量构成的行列式0 该向量组是线性无关的

(二)中心课题：线性规范型

1.二次型线性流型：

二次型及其矩阵表示

二次型的定义：以数域P中的数为系数，关于x1，x2，…，x n的二次齐次多项式f(x1，x2，…，x n)=a11x12+2a12x1x2+ … +2a1n x1x n

+a22x22+ … +a2n x2x n

+ (3)

+a nn x n2

称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。

矩阵的合同关系：对于数域P上的两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得B=CTAC则称A和B是合同的，记为A~B。

合同关系性质：

1) 反身性：A~A；

2) 对称性：A~B，则B~A；

3) 传递性：A~B，且B~C，则A~C。

二次型的标准形

1) 实数域R(或复数域C)上的任意一个二次型都可经过系数在实数域R(或复数域C)中的非退化线性变换化成平方和形式：

d1y12+d2y22+…+dnyn2

其中非零系数的个数唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的二次型称为二

次型的标准形。

2) 任何对称矩阵都与一个对角矩阵合同。

3）复二次型的规范形：

任何复系数二次型都可经过复数域C中的非退化线性变换化成如下最简形式平

方和：y12+y22+…+yr2，其中r唯一确定，等于该二次型的秩。上述形式的复

二次型称为复二次型的规范形。

2.线性函数

（三）研究范围：线性空间

1.线性空间

简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的

另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定

域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

1）V对加法成Abel群，即满足：

（1）（交换律）x+y=y+x；

（2）（结合律）（x+y）+z=x+（y+z）

（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x+0=x；

（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x+y=0；

2）数量乘法满足：

（5）1x=x；　

（6）k(lx)=(kl)x；

3）数量乘法和加法满足：

（7）（k+l）x=kx+lx；

（8）k（x+y）=kx+ky．

其中x，y，z为V中任意元素，k，l为数域F中的任意元素，1是F的乘法单

位元。

数域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），

V中元素称为向量（vector）。

当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空

间。

（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。

（2）（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。

（3）（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。 （4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

2.欧氏空间

定义

设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双