第9章组合变形作业参考解答

FN M z M y × 0.07 + + A Wz Iy
F 0.06 F 0.09 F ´ 0.07 + + 2 0.12 ´ 0.183 0.12 ´ 0.18 0.18 ´ 0.12 6 12 = 200.62 F
A点处于单向应力状态， s A = Ee A = 5MPa 从而 F = 24.9kN 9-17 试确定图示各截面图形的截面核心（大致形状）。
弯扭组合时，第三强度理论和第四强度理论的强度条件分别为：
s r 3 = s 2 + 4t 2 £ [s ]
s r 4 = s 2 + 3t 2 £ [s ]
9-3 矩形截面梁， 跨度 l=4m， 荷载及截面尺寸如图所示。 设材料为杉木， 容许应力 ［σ］ =10MPa， 试校核该梁的强度。 解：梁发生斜弯曲（外力过形心， 但与形心主惯性平面不平行）
6 ´ 1.6 ´ 103 × sin 20o ´ 16 6 ´ 1.6 ´ 103 × cos 20o ´ 16 = + 8 ´ 0.16 ´ 0.112 8 ´ 0.11´ 0.162 = 9.8MPa<[s ]
9-5 图示悬臂梁长度中间截面前侧边的上、下两点分别设为 A、B。现在该两点沿轴线方向贴 电阻片，当梁在 F、M 共同作用时，测得两点的应变值分别为 e A 、 e B 。设截面为正方形，边 长为 a，材料的 E、n 为已知，试求 F 和 M 的大小。 解：梁发生双向弯曲， A、B 两点处于单向应力状态，
t=
由第三强度理论强度条件
s r 3 = s 2 + 4t 2 = 160.86MPa<[s ] ，杆安全
9-23 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［ σ］=170MPa。 (1)绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力； (2)用第三强度理论对危险点进行强度校核。 解： （1）A、B、C、D 四点处所在截面内力(不考虑剪力):
sA s ，eB = B E E M Fl M + Fl 而s A = =- 3 a Wz Wy 6 eA =
sB =
M Fl M - Fl = 3 a Wz Wy 6
ì 6( M + Fl ) Ea 3 (e B - e A ) ì e = M = ï ï ï A ï Ea 3 12 故í ，从而 í 3 ïe = 6( M - Fl ) ï F = - Ea (e B + e A ) B 3 ï ï Ea î 12l î
q y = q cos 20o ， qz = q sin 20o
qy 作用下，下部拉上部压 qz 作用下，左部拉右部压 所以梁的左下角点拉应力最大； 右上角点压应力最大， 且最大值相同。 qx 左 q 下 qy
s max =
My Wy
+
Mz Wz
故该梁安全。
2 qz l 2 q y l q sin 20o l 2 q cos 20o l 2 = + = + 8Wy 8Wz 8Wy 8Wz
sA =
FN M z 110kN 10kN × m + = + = 14.01MPa + 101.91MPa = 115.92MPa A Wz p × 0.12 p × 0.13 4 32 M x 4.5kN × m = = 22.93MPa = t B = t C = t D Wp p × 0.13 16
9-8 图(a)和图(b)所示的混凝土坝，右边一侧受水压力作用。试求当混凝土不出现拉应力时， 所需的宽度 b。 设混凝土的材料密度是 2.4×103kg/m3。 解： （a）如图，AB 面为危险截面 B 点为危险点，取单位坝段（1m 长）分析 AB 面上内力
FN = r混 gbh
3 1 1 M=1 2 r水 gh × h × 3 h = 6 r水 gh
2
σ τ
t=
由第三强度理论强度条件
s r 3 = s 2 + 4t 2 = 161.05MPa<[s ] ，曲拐安全
5
7-14 图示圆截面杆，受荷载 F1，F2 和 T 作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知： F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m， ［σ］=170MPa，d=50mm，l=900mm。 解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面 其内力为
2
9-6 图示悬臂梁在两个不同截面上分别受有水平力F1 和竖直力F2 的作用。若F1=800N， F2=1600N， l =1m，试求以下两种情况下，梁内最大正应力并指出其作用位置： (1)宽b=90mm，高h=180mm，截面为矩形，如图(a)所示。 (2)直径d=130mm 的圆截面，如图(b)所示。
tA =
6
sB =
FN M y 110kN 5.5kN × m = = 14.01MPa - 56.05MPa = -42.04MPa A Wy p × 0.12 p × 0.13 4 32
sC =
FN M z 110kN 10kN × m = = 14.01MPa - 101.91MPa = -87.9MPa A Wz p × 0 .1 2 p × 0.13 4 32
FN M y 110kN 5.5kN × m + = + = 14.01MPa + 56.05MPa = 70.06MPa A Wy p × 0 .1 2 p × 0.13 4 32
2 2
sD =
（2）校核危险点:
M = M z + M y = 10 2 + 5.5 2 = 11.413kN × m
FN = 110kN
M x = F y1 × d = 90kN ´ 0.05m = 4.5kN × m 2
M z = ( Fy1 - Fy 2 ) × l = 10kN ´ 1m = 10kN × m
M y = Fx ×
d = 110kN ´ 0.05m = 5.5kN × m 2
A 、B、C、D 四点应力分别为:
FN = F2 ， M Z = F1l ， M x = T
该截面上顶点为危险点， 上顶点应力状态如图，大小为 τ σ
s=
FN M z F Fl + = 2 2 + 1 3 = 76.39MPa + 51.34MPa=127.73MPa pd A Wz p d 4 32
Mx T = = 48.89MPa WP p d 3 / 16
2
M Z = ql 2 + ql 2 / 2 = 3ql 2 / 2 M x = ql 2 / 2
该截面上顶点（或下底点）为危险点， 上顶点应力状态如图，大小为
s=
M z 3ql 2 / 2 = = 152.79MPa Wz p d 3 / 32 Mx ql / 2 = = 25.46MPa WP p d 3 / 16
得b = h
r水 = 5.81m r混
9-15 短柱承载如图所示，现测得A 点的纵向正应变εA=500×10-6，试求F 力的大小。设 E=1.0×104MPa。 解：短柱发生偏心压缩变形，A点所在截面内力
FN = - F ， M Z = 0.06 F ， M y = 0.09 F
F My Mz
sA = =-
A Mz z B My y M合
解： （1）在 F1 和 F2 共同作用下梁固定端截面内侧上角点为危险点(拉应力最大)或外侧下角点 为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应力大小数值相同，为
s max =
2 F1l F2l 2 F1l F2l + = + = 9.88MPa Wy Wz hb 2 bh 2 6 6
s =
FN M 110kN 11.413kN × m + = + = 14.01MPa + 116.31MPa = 130.32MPa A W p × 0.12 p × 0.13 4 32 M x 4.5kN × m = = 22.93MPa Wp p × 0.13 16
t =tA =
s r 3 = s 2 + 4t 2 = 130.32 2 + 4 ´ 22.93 2 = 138.2MPa < [s ] = 170MPa
（2）在 F1 和 F2 共同作用下梁固定端截面为危险截面，该截面合弯矩（如图）为
M 合 = M z 2 + M y 2 = ( F2l )2 + (2 F1l ) 2
右侧 A 点为危险点(拉应力最大)或左侧 B 点为危险点(压应力最大)，最大拉应力和最大压应 力大小数值相同，为
s max =
( F2l ) 2 + (2 F1l ) 2 M合 = = 10.5MPa pd3 W 32
令s B = -
FN M + A W
3
Baidu Nhomakorabea
r混 gbh r水 gh3 + b ×1 b2 = - r混 gh + r水 gh 3 / b 2
==0
得b = h
W
r水 = 5.81m r混
A M FN
B
（b）如图，AB 面为危险截面 B 点为危险点，取单位坝段（1m 长）分析 AB 面上内力
FN =
r混 gbh 2
W
b 1 M=1 r gh × h × 1 h -W × = 1 r gh3 - 12 r混 gb 2 h 2 水 3 6 水 6
令s B = -
A M
B FN
FN M r gbh r ¢gh3 r gb 2 h + =+ 2 A W 2b b 2b 2
= - r gh + r ¢gh3 / b 2 = 0
该轴是安全的。
7
第 9 章作业参考解答
本章主要公式：
梁双向弯曲（包括斜弯曲）中性轴方程：
-
cos j sin j y0 + z0 = 0 Iz Iy
偏心压缩时正应力计算公式：
æ F Fy y Fz z ö s = -ç + F + F ÷ çA Iz Iy ÷ è ø
偏心压缩时中性轴方程：
s =-
ö Fæ ç1 + y F y 0 + z F z 0 ÷ = 0 2 2 Aç iz iy ÷ è ø
4
解：
（a）
（b）
（c）
7-13 图示一水平面内的等截面直角曲拐，截面为圆形，受到垂直向下的均布荷载 q 作用。已 知：l=800mm，d=40mm，q=1kN/m， ［σ］=170MPa。试按第三强度理论校核曲拐强度。 解：通过内力分析，曲拐 BC 段发生平面弯曲，最大弯矩 ql / 2 ，AB 段发生弯扭组合变形， 危险截面为 A 截面，该截面内力