高考数学总复习学生用书第2章 第1讲 函数及其表示

第1讲函数及其表示

最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段

).

知识梳理

1.函数与映射的概念

函数映射

两个集合A，B 设A，B是两个

非空数集

设A，B是两个

非空集合

对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个数x，

在集合B中都有唯一确定的数

f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个元素

x，在集合B中都有唯一确定的元

素y与之对应

名称称f：A→B为从集合A到集合B

的一个函数

称f：A→B为从集合A到集合B

的一个映射

记法函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B

2.

(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.()

(2)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.()

(3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )

2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

3.(2017·舟山一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )

A.(－∞，1]

B.[－1，1]

C.[1，2)∪(2，＋∞)

D.⎣

⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－1

2，1

4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，

2x ，x <0，

则f (f (－2))等于( )

A.－1

B.1

4 C.12 D.32

5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________.

6.(2017·丽水调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2

（1－x ） （x <1），设函数f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝

________.

考点一 求函数的定义域

【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln x

x －1＋x 1

2的定义域为( )

A.(0，＋∞)

B.(1，＋∞)

C.(0，1)

D.(0，1)∪(1，＋∞)

(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）

x －1

的定义域是____________.

【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6

x －3的定义域为( )

A.(2，3)

B.(2，4]

C.(2，3)∪(3，4]

D.(－1，3)∪(3，6]

(2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________.

考点二 求函数的解析式

【例2】 (1)已知f ⎝⎛⎭⎫

2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；

(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；

(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.

【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.

(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.

(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________.

考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值

【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，

2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A.3

B.6

C.9

D.12

命题角度二 求参数的值或取值范围

【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.

若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56＝4，则b ＝( ) A.1 B.7

8

C.34

D.12

(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧e x －

1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.

【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x －

1－2，x ≤1，

－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )

A.－7

4

B.－54

C.－34

D.－14

(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，

－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________.