2.4等比数列性质及简单应用

猜想3：
性质４：从原数列中取出偶数项组成的 猜想４： 新数列公差为2d.(可推广) 性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数列， 猜想５： 则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数 列。
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质 {an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列 性质１： an=am+(n-m)d 猜想1：bm b n q m n
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
(2)an≠0,且anan+2>0 (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq, (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项 的积都相等,且等于首末两项的积
b4 b1b7 b2 b6 b3b5
2
∴前七项之积 3

2 3
3 37 2187
3、在等比数列 a n 中，a2
3
2, a5 54 ，求 a 8
a5 54 解：a8 a5 q a5 54 1458 a2 2
另解：∵
a 5 是 a 2 与 a 8 的等比中项，
性质２：若an-k,an,an+k 是{an}中的三项 ， 则2an=an+k+ an-k
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
猜想2： bn-k,bn,bn+k 若 是{bn}中的三项 则 2
bn bnk bnk
猜想3：若n+m=p+q 则bn·m=bp· q b b
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
1 或 既这三个数为2，4，8或8，4，2。 2
补充:三数成等比数列，若将第三个数减去 32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数 减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
解：设原来的三个数是：a, aq, aq ① 2aq a (aq 2 32) 则必有 ② (aq 4) 2 a(aq2 32)
性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 猜想3：若n+m=p+q 则bn·m=bp· q, b b
性质４：从原数列中取 猜想４：从原数列中 出偶数项组成的新数列 取出偶数项，组成的 公差为2d. 新数列公比为 q 2 . (可推广) (可推广) 性质５: 若{cn}是公差为 d′的等差数列，则数 列{an+cn}是公差为 d+d′的等差数列。 猜想５：若{dn}是公比 为q′的等比数列,则数 列{bn•dn}是公比为 q· q′的等比数列.
1、在等比数列
a n，已知 a
1
5，a9 a10 100 ，求
a18 。
解：∵ ∴
a1a18 a9 a10
a9 a10 a18 a1
100 5 20
2、在等比数列 bn 中，b4 3，求该数列前七项之积。 解： b1b2b3b4b5b6b7 b1b7 b2b6 b3b5 b4

⒋在等比数列{an}中，a1+a2 =30, a3+a4 =120, 480 则a5+a6=_____ .
解题技巧的类比应用： 三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积 等于64，求这三个数。

分析：若三个数成等差数列，则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得， 若三个数成等比数列，则设这三个数 a 再由方程组可得：q=2 为：， a,a • q. q
复习:等比数列概念
一、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与
它的 前一项的比等于同一个常数（指与n无关的数) 这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列 的公比，公比通常用字母q表示。
an q (是与n无关的数或式子, 且q 0） an 1
二、等比数列 an 的通项公式为
an a1 q ，它的图象又是怎样？
n 1
4a n 2 , S n 2 4an1 2
a n 2 4a n 1 a n
n2
2an1 2(an1 2a n )
∵b
a n 1 2a n
∴ bn1 2bn
即 bn 是公比为2的等比数列 2 ∵
an cn n 2
bn 3 2 n 1
64
பைடு நூலகம் 练习:

⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8= -1458 . ⒉在等比数列{an}中，且an＞0，
6 a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5= _ . ⒊在等比数列{an}中， a15 =10, a45=90,则 270 或-270 a60 =__________.
三、如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b
n 1
成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
G ab
{ n}是公差为d的等差数列
a
{bn}是公比为q的等比数 列 猜想１： 猜想2：
性质１： an=am+(n-m)d 性质２：若an-k,an,an+k是{an}中的三 项， 则2an=an-k+an+k 性质３： 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq
由①得：
q
2
代入②得： a 2 , q 5 或
5 a 9
4a 2 a
38 ,q 5
5 38 1444 , , 故原来的三个数是：2,10,50. 或 9 45 9
S 练习:已知数列 a n 中， n 是它的前 n 项和，并且
a1 1, S n 1 4an 2.
1 2
设 bn an1 2an ,求证数列 bn 是等比数列； 设 cn
an , n 2
求证数列 cn 是等差数列。 ∴ a1 a 2 S 2 4 a1 1 a 2 5 ,
,两式相减得：
n
证:1 ∵ ∵S 即： a
a1 1
b1 a 2 2a1 3
∴
n 1
cn1 cn
a n 1 a n a n 1 2a n b n nn 1 2 n1 2 2 n 1 2
将bn 3 2
代入得：cn1 cn
3 4
∴ cn 成等差数列
2
54 a8 (2)
a8 1458
4： (1).在等比数列an 中，an 0，若a5 a7 2a6 a8 a7 a9 49 则a6 a8
7
(2).在正项等比数列中， a1, a99是方程x 10 x 16 0
2
•的两个根，则 a40a50a60
(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的 等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn } 是公比为qq′的等比数列.
1 1 (8)数列 { } 是公比为 的等比数列. an q
(9)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时， am , an , a p 成等比数列。