高中数学：无理函数值域的常见求法

高中数学：无理函数值域的常见求法

在解题过程中，同学们遇到无理函数的值域问题时，普遍采用的是“判别式法”，但由于无理函数的定义域一般不为R，所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使用“判别式法”失效。下面对常见的无理函数类型及解法作一归纳，使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”，尽快求出正确答案。

一、形如“”的函数

例1. 求函数的值域。

解：令，则且，则

。当，即时，，当时，。故函数值域为。

说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“”的函数。

二、形如“”的函数

例2. 求函数的值域。

解：由。令且[]，则。

由，得。

当时，；

当时，。

故函数值域为。

说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又且的函数定义域一定为闭区间，如，则可作三角代换为

且，即可化为＋k型函数。至于且及其他类型，同学们可自己分析一下。

三、形如“”的函数

例3. 求函数的值域。

解：由，得。

令且，

则。

由，得，

则，故函数的值域为。

说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换

，且，即可化为型的函数，无理函数类型有多种，有兴趣的同学不妨探讨一下。

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