二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题

二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。

一、轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。 例1. 函数2

()42f x x x =-+-在区间[]3,0[上的最大值是_______，最小值是______。 思维导图：第一步：对2()42f x x x =-+-配方→第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向→第三步：判断对称轴与区间]3,0[的关系→第四步：确

定该函数在]3,0[上的单调性→第五步：求最值。

解析：由配方法得2(2)2y x =--+，

其对称轴方程是x =2

，且图象开口向下， 又2[0,3]∈， )(x f ∴在]2,0[上单调递增，]3,2[上单调递减，

如图所示，故函数的最大值为f ()22=， 最小值为f ()02=-。

同学们试着求一下：2

()42f x x x =-+-分别在区间]5,3[],1,1[-上的最值。

小结：二次函数2

(),(0)f x a x b x c a =++≠在给定区间],[n m 内的最值情况：

当0>a 时， （1）当[,]2b m n a -∈时，f x ()的最小值是24()()24b ac b f f x a a

--=，的 最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[,]2b m n a

-∉时，若-

若n b a

<-2，由f x ()在[,]m n 上是减函数， 则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n ()

这样我们把二次函数0>a 在闭区间上的最值情况都罗列出来了，对0

二、轴定区间动

例2：求函数]1,[,22)(2+∈+-=m m x x x x f 的最值。

思维导图：第一步：对2()22f x x x =-+配方→第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向→第三步：讨论对称轴与区间]1,[+m m 的关系→第四步：确

定该函数在]1,[+m m 上的单调性→第五步：求最值。

解析：由配方法得2()(1)1f x x =-+，

故其对称轴方程是1x =，且图象开口向上

（1）当]1,[1+∈m m ，即10≤≤m 时，

)(x f ∴在]1,[m 上单调递减，]1,1[+m 上单调递增，

故函数的最小值为(1)1f =，

又22()(1)22(1)2(1)221f m f m m m m m m -+=-+-+++-=-+。 当210≤

≤m 时，22)(2max +-==m m m f y ； 当12

1≤m 时、0

三、轴动区间定

二次函数随着参数a 的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“轴动区间定”。

例3. 求函数f x x a x ()=++2

3

在区间]1,1[-上的最值。 思维导图：第一步：对f x x a x ()=++23

配方→第二步：求出对称轴，判断图 像开口方向→第三步：判断对称轴与区间]1,1[-的关系→第四步：确定

该函数在]1,1[-上的单调性→第五步：求最值。 解析：将f x ()配方得：2

2()()324

a a f x x =++- 易知对称轴方程是x a =-

2，图象开口向上 （1）当12

a -≤-，即2≥a 时，f x ()在]1,1[-上递增， 所以函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a

()14=+。

（2）当12

a -≥，即2-≤a 时，f x ()在]1,1[-上递减， 所以函数的最大值是f a ()-=-14，最小值是f a

()14=+。 （3）当112

a -≤-≤，即22≤≤-a 时， 同学们自己完成第三种情况：

三、函数动区间动

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“函数动区间动”。

例8. 求函数2

2

2(1)()(4)4x f x x a -=-+-在区间),12[+∞+a 的最小值。 解：将)(x f 整理配方得225

9)517(45)(a x x f -+-= 易知对称轴方程是175x =，图象开口向上，顶点坐标为2179

()55a -，， （1）若

175

12≥+a ，即a ≤65时， )(x f ∴在]517,12[+a 上单调递减，),5

17[+∞上单调递增， 则当x =175时，2min 9()5

f x a =-； （2）若17512<+a ，即a >65时， )(x f ∴在),12[+∞+a 上递增，

则当x a

=+12时，22min 5179()(12)455

f x a a =+-+-。 针对性测试题：

1.已知函数23()1,[0,]2

f x x x x =++∈的最值情况为 （ ） A . 有最大值34，但无最小值 B. 有最小值34，有最大值1 C. 有最小值1，有最大值194

D . 无最大值，也无最小值 2.求函数]2,3[,124)(-∈+-=--x x f x x 的最大值和最小值。