1-1 质点运动的描述

2
1-1 -
质点运动的描述
2 运动方程 r (t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x (t ) 分量式 y = y (t )
z = z(t )
从上式中消 去参数 t 得质点 轨迹方程． 的轨迹方程．
y
y (t )
P
r (t )
x(t )
z
z (t )
o
x
第一章
质点运动学
3
质点运动学
1
1-1 -
质点运动的描述
二
质点运动的矢量描述 质点运动的矢量描述 矢量
1 位置矢量 r
y
y
2
β
r = xi + yj + zk
大小： 大小：
r
α
*
P
r = x + y +z
2 2
z
方向： 方向：
z
y cos β = r
第一章 质点运动学
oγ x
x
x cosα = r
z cos γ = r
第一章 质点运动学
21
1-1 -
质点运动的描述
抛体运动
如图一抛体在 y 地球表面附近， 地球表面附近，从原点 1 2 gt v0 t 2 O以初速 v0 沿与水平面 以初速 P 上Ox轴的正向成α 角抛 轴的正向成 x 出．如略去抛体在运动 α r 过程中空气的阻力作用， 过程中空气的阻力作用，O 求抛体运动的轨 迹方程和最大射程． 迹方程和最大射程．
r1
O
∆r
z
2 1 2 1
x
∆ r = x + y +z − x + y + z
2 2 2 2 2 2
2 1
第一章 质点运动学
7
1-1 -
质点运动的描述
三 速度
1 平均速度 时间内， 在 ∆ t 时间内，质点 位移为
y
r (t + ∆t)
B
∆s
A
∆r
∆r = r (t + ∆t ) − r (t )
r (t)
dr dr ≠ dt dt
第一章 质点运动学
11
1-1 -
质点运动的描述
四
加速度
反映速度大小和 反映速度大小和 大小 方向随时间变化快慢 方向随时间变化快慢 的物理量 1 平均加速度
y
A
O
vA
B
vB
x
vA ∆ v vB
12
∆v a = ∆t a 与 ∆v 同方向
第一章 质点运动学
1-1 -
o
v0
y
第一章
质点运动学
19
1-1 -
质点运动的描述
dv = −1.0v 解 a= dt v dv t = −∫ dt ∫v0 v 0 −t v = v0 e dy −t v= = v0 e dt y t −t ∫ dy = v 0 ∫ e dt
0 0
o
v0
y
y = 10 1 − e ） （
第一章 质点运动学
v (t )
积分
a (t )
第一章
质点运动学
16
cos
πx 5
1-1 -
质点运动的描述
例一 直线运行的高速列车在电子计算机控制下 减速进站。列车原运行速率为 减速进站。列车原运行速率为v0=180km•h-1， 其速率变化规律为 v = v0 cos πx 5 的单位为km）。求列车行至x=1.5km时加速 （x的单位为 ）。求列车行至 的单位为 ）。求列车行至 时加速 度的大小。 度的大小。
质点运动的描述
求最大射程
g π 当α = ， 4
2 0
d0 =
2 2 v0
sin α cos α
y
dd 0 = cos 2α = 0 dα g
实际路径 真空中路径
2 2 v0
d0m = v g
由于空气阻力， 由于空气阻力，实际 射程小于最大射程． 射程小于最大射程．
第一章
o
x
d
质点运动学
d0
25
20
−t
1-1 -
质点运动的描述
−1.0 t
v = v0 e
v0
O
−1.0 t
-1
y = 10 1 − e （
y /m
10
）
v/m ⋅ s
t /s
v0 /10
2.3
O
t /s
v t /s
v0 /100 v0 / 1 000 v0 / 10 000
4.6 6.9 9.2
y / m 8.997 4 9.899 5 9.989 9 9.999 0 t = 9.2 s, v ≈ 0, y ≈ 10 m
第一章
质点运动学
17
1-1 -
质点运动的描述
例二 匀加速直线运动
第一章
质点运动学
18
1-下落, 下落 其初速度 v0 = 10 j，它在液 体中的加速度为 a = −1.0 vj，问：(1) ) 经过多少时间后可以认为小球已停 止运动； 止运动； (2)此球体在停止运动前经历的路程 ) 有多长？ 有多长？
∆xi + ∆yj = o ∆y ∆ r ∆x = i+ j = v xi + v y j v= ∆t ∆ t ∆t
第一章 质点运动学
r (t)
x
8
1-1 -
质点运动的描述
∆r dr v = lim = ∆t → 0 ∆t dt dx dy j v i + = dt dt = v xi + v y j
y
yB − yA
B
x
∆r = ( xB − xA )i + ( yB − y A ) j + (zB − z A )k
第一章 质点运动学
4
1-1 -
质点运动的描述
位移的物理意义 A) 确切反映物体在空间位置的变化 与 确切反映物体在空间位置的变化, 路径无关，只决定于质点的始末位置. 路径无关，只决定于质点的始末位置 B）反映了运动的矢量性和叠加性 ）反映了运动的矢量性和叠加性. 了运动的矢量性和叠加性
x
矢量， 标量． (3) 位移是矢量，路程是标量． ) 位移是矢量 路程是标量
质点运动学
6
1-1 -
质点运动的描述
注意 ， ， ∆ r ∆ r ∆r 的意义不同． 的意义不同．
y
P 1
∆r
r2
P 2
∆ r = ∆ x i + ∆ yj + ∆ zk
∆r = ∆x + ∆y + ∆z
2 2 2
v0
第一章
质点运动学
22
1-1 -
质点运动的描述
解
a = ay = g = −g j
y
v0 t
α
ax = 0
1 2 r = v0t + gt 2
按已知条件， 时 按已知条件，t=0时，有 O
1 2 gt 2
P
r
v0
x
vox = v0 cosα
ax = 0 ay = −g
质点运动学
23
voy = v0 sin α
质点运动学
15
1-1 -
质点运动的描述
质点运动学两类基本问题
一 由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度； 任一时刻的位矢、速度和加速度； 二 已知质点的加速度以及初始速度和 初始位置, 可求质点速度及其运动方程． 初始位置 可求质点速度及其运动方程．
求导 求导
r (t )
积分
第一章
质点运动学
5
1-1 -
质点运动的描述
4 路程( ∆s ) 路程( 从P1到P2： 路程 ∆s = P P2 1 位移与路程的区别 (1) 两点间位移是唯 ) z 一的． 一的． (2) 一般情况 ∆r ≠ ∆s ． )
第一章
y
∆s'
P ∆r 1
∆ s
P 2
r (t1 ) r (t ) 2
O
P ( x1 , y1 , z1 ) 1 P2 ( x2 , y2 , z 2 )
1-1 -
质点运动的描述
rA = x Ai + y A j ， A ∆r rA rB = xB i + y B j ， rB ∆ r = rB − rA = (xB − xA )i + ( yB − yA ) j o xB −xA
三维运动 三维运动: 运动
3 位移 ∆r 平面运动 运动: 平面运动
a +a +a
2 x
a // v
v1
a1 a2
曲线运动 指向凹侧 说明： 说明：矢量性 瞬时性 相对性
第一章 质点运动学
v2
14
1-1 -
质点运动的描述
讨论
问
dv a =a= 吗？ dt
例 匀速率圆周运动 因为 所以
v(t ) = v(t + dt )
dv ≡0 dt
O
而
a =a≠0
第一章
dv 所以 a ≠ dt
1-1 -
质点运动的描述
一 参考系
质点
1 参考系 为描述物体运动而选的标准物． 为描述物体运动而选的标准物． 2 质点 物体大小和形状的变化对其运动的影 物体能否抽象为质点，视具体情况而定． 物体能否抽象为质点，视具体情况而定． 响可忽略时的理想模型． 响可忽略时的理想模型．
地球 太阳
第一章
地——日间距： ——日间距： 日间距 1.53 ×108 km 地球半径： 地球半径： 6.373 × 103 km
2 瞬时速度（简称速度） 瞬时速度（简称速度） 速度
y
vy
v
vx
o
x
若质点在三维空间中运动， 若质点在三维空间中运动，其速度 三维空间中运动
v = v xi + v y j + vz k
第一章 质点运动学
9
1-1 -
质点运动的描述
当 ∆t → 0 时, d r = d s
ds v= et dt
速度方向 切线向前 速度方向
ds 速度大小 速度大小 v = dt 速度 v 的值 速率
第一章 质点运动学
10
1-1 -
质点运动的描述
讨论 一运动质点在某瞬 y 时位于位矢 r ( x , y ) 的 y 端点处， 端点处，其速度大小为
dr （A） ） dt dr （C） ） dt
注意
dr x o （B） ） x dt dx 2 dy 2 （D） ( ) + ( ) ） dt dt
第一章
1-1 -
质点运动的描述
解得： 解得：
1 2 y = v0 sin α ⋅ t − gt x = v0 cosα ⋅ t 2 y 2 x 轨迹方程为： y = x tanα − 2 轨迹方程为： 2 2v0 cos α y v
y
v
voy
α
v0
vox
vx
vx
vy
o
x
v
24
d0
第一章
质点运动学
1-1 -
质点运动的描述
2 (瞬时)加速度 瞬时)
∆v dv d r a = lim = = 2 ∆t →0 ∆t dt d t
2
dv y dv x dv z a= i + j+ k dt dt dt
a = ax i + a y j + az k
第一章 质点运动学
13
1-1 -
质点运动的描述
2 y 2 z
加速度大小 加速度大小 a = a = 加速度方向 加速度方向 直线运动