二次函数与平行四边形综合.doc

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第十八讲二次函数与平行四边形综合

一.教学内容

1. 二次两数的表示，二次函数图像与性质；

2. 平行四边形的性质和判定；

3. 函数图像与平行四边形的综合应用，典型应用、图像题;

二、例题细看

3

【例1】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y = --x + 6与x轴.y轴的交点分别为A、B,

4

将ZOBA对折，使点O的对应点H落在岂线上，折痕交兀轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D,在玄线BC±是否存在点P,使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对•称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出\QA-QO\的収值范围.

【考点分析】二次函数综合题

【PEC分析】（1）点A的坐标是纵坐标为0,得横坐标为8,所以点A的坐标为（& 0）；点B的坐标是横坐标为0,解得纵坐标为6,所以点B的坐标为（0, 6）:

由题意得：BC是ZAB0的角平分线，所以0C二CH, BH二0B二6

TAB二10,・・・AH二4,设0C二x,则AC=8-x由勾股定理得：x=3

・••点C的坐标为（3, 0）将此三点代入二次函数一般式，列的方程组即可求得；

（2）求得直线BC的解析式，根据平行四边形的性质，对角相等，对边平行且相等，借助于三函数即可求得；

（3）如图，由对称性可知Q0二QH, IQA-QOI二|QA-QH|.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线, IQA-QO|取得最大值4 （即为AH的长）；设线段0A的垂直平分线与直线BC的交点为K,当点Q与点K 重合时，IQA-QOI取得最小值0.

【跟踪练习】例1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线/与抛物线交于A、C两点，其中C点的横处标为2.

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值;

（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

【例2】如图，点O是处标原点，点A（n, 0）是兀轴上一动点5<0）.以力0为一边作矩形AOBC，点C在第二彖限，月.03 = 204.矩形AOBC绕点A逆时针旋转90。得矩形AGDE .过点A的直线y = kx + m

交y 轴于点F, FB = FA.抛物线y = ax2 -^bx + cxL 点、E、F、GH.和直线AF 交于点H,过点日作旬“丄兀轴，垂足为点M.

（1）求&的值；

⑵ 点A位置改变时，的而积和矩形AOBC的而积的比值是否改变？说明你的理山.

[PEC分析】（1）由题意知OB=2OA=2n ,在直角三角形AEO中，OF二OB・BF二・2n・AF ,因此可用勾股定理求出AF的表达式，也就求出了FB的长，由于F的坐标为（0 , m ）据此可求出m , n的关系式, 可用n替换掉一次函数中m的值，然后将A点的坐标代入即可求出k的值.

（2 ）思路同（1）一样，先用n表示岀E、F、G的坐标，然后代入抛物线的解析式中，得出a , b , c与n 的函数关系式，然后用n表示出二次函数的解析式，进而可用n表示岀H点的坐标，然后求出MMH 的面积

和矩形AOBC的面积进行比较即可.

/詐. ........

【跟踪练习】(1)在图1, 2, 3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B, D 的坐标(如图所示)，写

出图1, 2, 3屮的顶点C 的坐标，它们分别是(5,2), _________ , _________ ；

归纳与发现

(3) 通过对图1, 2, 3, 4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角

坐标系屮哪个位置，当其顶点坐标为A(d, b), B(c, d), C(m,心 D(e, /)(如图4)时，则四个顶 点的横坐标d, c, m, wZ 间的等量关系为 _________________ ；纵坐标b, d, n, /Z 间的等量关系为 运用与推广

(4) 在同一直角坐标系中冇抛物线y = F_(5c_3)兀-c 和三个点G

H(2c,0)(其中c>0 ) •问当c 为何值吋，该抛物线上存在点、P,使得以G S, H, P 为顶点的四边形

是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标.

(15) ——c, — C

,S (1 9 )

—c, — C

1 2 2丿

<2 2 )

(2) 在图4屮，给出平行四边形ABCD 的顶点A B, 坐标用含a, b, c, d, e, /的代数式表示)；

D 的他标(如图所示)，求出顶点C 的人辑4(C 点 Everyday

图1 图2

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4 ■・••••"

AC上，且使得四边形APQR是矩形.设AP的长为兀，矩形APQR的面积为八己知y是X的函数，其图彖是过点（12,36）的抛物线的一部分（如图2所示）.

（1）求AB的长；

（2）当AP为何值时，矩形APQR的面积最大，并求出最大值.为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：

张明：图2中的抛物线过点（12,36）在图1中表示什么呢？

李明：因为抛物线上的点（兀,刃是表示图1屮AP的长与矩形APQR面积的对应关系，那么（12, 36）表示当AP = \2时，AP的长与矩形AP0?面积的对应关系.

赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！

孔明：哦，这样就可以算出AB,这个问题就可以解决了.

请根据上述对话，帮他们解答这个问

题.

【考点点评】本题结合三角形、矩形的相关知

识考查了二次函数的应用，用数形结合的思路

求得相应的函数关系式是解题的关键

[PEC分析】（1）由于y是x的函数且过（12 , 36 ）点，即AP=12时，矩形的面积为36 ,可求出PQ 的长，进而在直角三角形BPQ中得出BP的值，根据AB二AP+BP即可求出AB的长.