涡量—流函数法模拟不同高宽比和角度的腔内自然对流!

董韶峰，李荫堂，刘艳华
（西安交通大学 环境工程学院，陕西 西安 ! ） " # # $ % 摘要：采用涡量—流函数方程，对 & ’ ( ) * + 软件进行二次开发，对重力作用下封闭空腔内的二维自然对流换热 流场、温度场进行了数值模拟。对非正方形的矩形空腔内的自然对流换热进行了数值计算，结果表明不同的高
阶迎风差分方法。 为了实现在求解过程中的数值稳定性，对三个 变量 采 用 亚 松 弛，三 个 变 量 的 亚 松 弛 系 数 均 取 ，在迭代中有效地避免了数据的震荡和发散， # ( / & 得到了准确的收敛解。 ’ ( % 网格的划分 通过对控制方程的无量纲化，对于正方形封闭 空腔，我们就可以把研究范围转化为 )K) 的正方 形区域。 由于该问题对壁面的敏感性，采用了非均匀网 格，靠近壁面处网格为 # ，然后以 ) ( # # ) ( ’ 倍的速 度逐渐 增 加 接 近 # ，之 后 就 用 # ( # ’ ( # ’的均布网 格，这样既可以提高计算精度，又不致于大幅度增 加计算负荷。如图’所示。
整体网格分布 壁面处网格密度
! % 5 计算特点 可以根据自己的需要设置误差，本文所有数据
6 .以下。由于避开了速度与压力 的误差都控制在# $
图! 网格划分
对于高宽比 ! "" ／ # 不等于 # 的矩形封闭空 ，" "! 腔，采用固定 # "# # 的矩形求解区 域， 网格划分尺度不变，仍然是从壁面到内部网格由密 到疏，即由$ ， % $ $ #以# % ! 倍的速度递增接近 $ % $ ! 计算过程中的特性尺寸选用绝热壁的长度。 ! % & 边界条件
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万方数据 收稿日期： 9 # # : 7 " # 7 : #
第/期
董韶峰，等：涡量—流函数法模拟不同高宽比和角度的腔内自然对流 ! . %! $! $! : 3 4 5 #: * 1 3 # / + ! , 0 !
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没有利用涡量—流函数法求解的专门程序。本文编 写了用户自定义程序，将 ! ! " 法引入该计算程序 进行 求 解。本 文 先 将 #!" # $的 计 算 结 果，同 文 ［ ， ］ % & 的典型算例进行了比较，结果符合一致；确 献 认了本文构造的 ! ! " 算法的正确性。然后对放置 不同角度的正方形封闭空腔、不同高宽尺寸比的矩 形封闭空腔的自然对流换热进行了数值模拟计算。
" 引
言
关系式，并且由于考虑到压力场，需要采用交错网 格。 本文采用的涡量—流函数法，引入流函数隐含 满足连续方程；将动量方程变化为涡量方程，解决 了压力与速度耦合的困难，压力是隐含变量，质量 守恒定律自动满足，不需对速度、压力进行校正， 只需一套网格系统即可，所以这种方法不仅收敛性 好，而且计算速度快、效率高。 本文对流体计算软件—& ’ ( ) * + 进行了二次 开发。该软件是基于原始变量法的计算程序，其中
［ ］ = 的经验，本文对流项选用一 进行离散，据文献
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图) 计算模型示意图
’ ( ’ 控制方程 ［ ］ / 根据文 献 ，对 于 有 限 空 间 自 然 对 流，引 入 0 1 2 3 3 4 5 6 3 7假设和定义有效压力。考虑到物性为常 数，结合能量方程，对’ 8 9 的动量方程进行交叉求
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’ 数值计算
’ ( ) 计算模型 计算模型如图)所示。 图)是一个二维封闭空腔，绝热壁 * ，+ 边长 ，-边长为 # ；高温侧温度为 $.， 为 "，恒温壁, 低温侧温度为 $*；绝热壁与重力方向成角度#。
5 中图分类号：+ 3 4 " "
文献标识码：6
文章编号： （ ） " # # ! 7 ! 8 # $ 9 # # : # 4 7 # # " 4 7 # 4
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% ! ’ ! ! 导然后相减，定义 !!! : ， "!%， " ! ; ! ! ( & ! & !: ’，可得到相应的 ! ! " 方程： ’ ’ ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !’ ! " : ’< ’ ( ! ( ! ! ( ! & ! & ! & ! $ $ ! : 3 4 5 #: * 1 3 # ) $! ( ! & ’ ’ ! "<!"!! ’ ’ ! ( ! & ’ ’ ! $ ! $ ! ! ! ! $ " ! * $ " : ’< ’ ! ( ! ( ! ( ! & ! & ! & "’， 利用 +!( ，, !& ，$! !$:$ ，!!! " " "$ ’ " !" ，对以上方程无量纲化， ’ ’ ’ ! ! ! " :! " " ! ! !<! ! ! 万方数据 ’ ’ + ! , ! , ! + ! ! + ! ,
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= " $"$ ，) 为重力加速度， . *!) $ 为体积膨胀 % ’ 系数，"$ 为温差，% 为热扩散率，’ 为 运 动 粘 度。方程（ ） 、 （ ） 、 （ ）就是所要求解问题的控 ) ’ =
制方程。 ’ ( = 数值计算方法 为了借助 > ? @ A B C 软件，其中没有利用涡量 —流函数法求解的专门程序，作者对其进行了二次 开发。用 户 自 定 义 变 量 求 解 的 通 用 方 程 是： #・ ，…，4 。将式（ ） （ 1 & ’ !) ) 2: 2#& 2） !3 & 2 2 ）作为关于 &#，&)，&’ 的 = 个方程并分别 #（ = 设置相应1，’ 3 2， & 2；为了实现这点，作者定义= 个 @ （ ，@ 、@ 、 9 D 2 3 6 E+ 6 F 4 5 63 * , G 6 E） 9 D 8 # 9 D 8 ) @ 9 D 8 ’ 分别代表!，"，$! ，在设置1，’ 2，3 & 2 ! 时要引用 @ $ ）的导数， 9 D 8 )和 @ 9 D 8 ’（即"和 又定义了%个 @ 9H 来分别计算和存放流函数和温 度的梯度，这个定义要在每次迭代前更新并存放。 所以要利用宏 I 9 J @ D C（一个在每轮迭代前都被引 用的宏）来定义这 % 个 @ 9H。这样就可以计算出 下一次迭代的系数。作者通过编写用户自定义程序 （@ ） ，最终实现了利用 > 9 > ? @ A B C 软件来求解涡 量—流函数方程组。采用有限容积法对偏微分方程
$ 时放置不同角度的封闭腔进行了数值计算，揭示了重 宽比例对自然对流换热有很大的影响；该文还对 ! ", " #
力作用下不同角度时的自然对流换热变化，发现在某一倾斜角度时（ 左右） ，平均换热系数 # !, $ . $/ 0 1 2存在极 大值。 关键词：数值模拟；涡量—流函数法；封闭腔内自然对流；高宽比
第9 "卷第4期 9 # # :年 " 9月
低温与特气 ’ @ W+ 0 / 0 K 1 F G K 0 1 2 R> 0 Q E 1 T F 1 L 0 L S S M=
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涡量—流函数法模拟不同高宽比 和角度的腔内自然对流
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低温与特气 置为 "" 。 $
第! #卷
! % . 计算方案 ，#"" " 2 $ 3 # 条件下，不同 # %模拟计算$"
’ ( 数下的自然对流换热。 4 条件下，不同 ，’ $ 3 ("# $ ! %模拟计算 $"2
／ !"" # 下的自然对流换热。 4 条件下，不 ，’ # (" # $ / %模拟计算 #"" " 同$ 角的自然对流换热。
腔内自然对流换热有着广泛的工程应用，比如 太阳能集热器、空气制冷设备、电子元件的散热、 绕核反应器中心的空气腔，以及楼房的绝热问题等 等。已经有许多研究者进行了数值模拟。以往的计 算方法多采用原始变量法，以涡量—流函数（" 7 ［ ］ " ! : 。以 $，%， #）法进行模拟计算的还很 少 见
& 等作为变量求解不可压缩粘性流动，需要速度场 和压力场的耦合，需要另外构造压力与连续方程的