误差原理第三章 误差的传递与合成

第三章 误差的传递与合成
3.1 误差的传递
一.系统误差的传递 在间接测量中，其表达式为
y f (x1, x2L xn)
——式中x1,x2…xn各个直接测量值；
y ——间接测量值。
增量可用函数的全微分表示．则上式的函数增量为
dy

f x1
dx1

f x2
dx2

L

f xn
dxn
由于误差是微小量，因此可得到函数的系统误差Δy为
其系统误差为
求测量结果。
解：函数关系式为 若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径Do为 因为 直径D的系统误差为
式中各个误差传递系数为
将已知各误差值及误差传递系数代人直径的系统误差式，得 通过修正可消除所求得的直径系统误差ΔD，则被测直径的实 际尺寸为
二.随机误差的传递 函数的一般形式为 为了求得用各个测量值的标准差表示函数的标准差公式，设对 各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为
一般的极限误差合成公式为
t n ( ai i )2
i 1
ti
3.3 系统误差的合成
一.已定系统误差的合成 已定系统误差是指大小及符号已知的误差.故它的合成
采用代数和。
r
aii
i 1
注意：已定系统误差按代数和法合成后，可以从测量结果 中修正，所以最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
2
则测量结果为
L 50.0247mm 0.0015mm
3.5 误差分配
一.按等作用原则分配误差 等作用原则认为各个局部误差对函数误差的影响相等,即
D1 D2 L

Dn

y
n
二.按等可能性调整误差
对难以实现的测量的物误差项适当扩大,对容易实
现的误差项尽可能的缩小,而对其余误差项不予调整.
二.未定系统误差的合成
1.未定系统误差的特征极其评定
2.未定系统误差的合成 2.1未定系统误差的特征（五点，详见p60）
2.2未定系统误差的合成 (1)标准差的合成
s
s
u
(aiui )2 2 ijaia juiu j
i 1
1ip j
(2)极限误差的合成
s
s
e t (aii )2 2 ijaia juiu j
解：两次测量结果的平均值为
L0

1 2
(l1

l2 )

1 2
(50.026

50.025)mm

50.0255m
修正已定系统误差：
L L0 50.0255mm 0.0008mm 50.0247mm
总误差合成

1 2
2

2 i
i 1

3
e2j
j 1


1 (12 0.82 ) (12 0.352 0.52 )m 1.48m
可得函数y的随机误差为
将方程组中每个方程平方得 将方程组中各方程相加，可得
将上式的各项除以N，并根据单次测量的标准差公式可得 若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，则有
令 则
式中ai为误差传递系数当各个测量值的随机误差为正态分布
时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
ai 例3-2 对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D

s
ui2
i 1

1 n
q

2 i
i 1
例3-3 在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度两次， 测得结果分别为 l1 50.026mm,l2 50.025mm ，已知工件的高度H=80mm， 求测量结果极其用极限误差表示的测量不确定度。 已知：
1．系统误差：万能工具显微镜刻线尺的刻度误差在50mm范围内系统 误差为
y

f x1
x1

f x2
x2 L
f xn
xn
可表示为
y a1x1 a2x2 L a3xn
式中的各个误差传递系数ai 为常数。 例3-1 用弓高弦长法间接测量大直径D，如图所示，直接测得其弓
高h和弦长S，然后通过函数关系计算出直径D。 若弓高与弦长的测得值及
Δ=0.0008mm 2. 随机误差：
①读数误差 1 0.8m
②瞄准误差 2 1m
3. 未定系统误差
①阿贝误差
e1


HL 4000


80 50 4000
m

1m
②温度误差
e2


7L 1000


7 50 1000
m

0.35m
③刻度尺的鉴定误差
e3 0.5m
三.验算调整后的误差
误差分配后,应按误差合成公式计算实际总误差,若超 出给定的允许误差范围,应选择可能缩小的误差项再予缩 小误差;若实际总误差较小,可适当扩大难以测量的误差项 的误差.
3.6 最佳测量方案的确定
一.选择最佳函数误差公式
若不同的函数公式所包含的直接测量值相同, 则应选取误差较小的直接测量值的函数公式. 二.使误差传递系数等于零或为最小
若已知
直径的极限误差为
直径的最后结果为 三.误差间的相关关系和相关系数
1.误差间的线性相关关系
2.相关系数
K •n D
确定两误差之间的相关系数是比较困难的,通常 采用以下几种方法: (1)直接判断法
通过两误差之间关系的分析,直接确定相关系数ρ.
(2)试验观察和简略计算法 ①观察法
不相关，且置信概率相同，则总极限误差为
n
(aii )2
i 1
一般情况下，各单项极限误差的置信概率可能不同，根据 各单项误差的分布情况，引入置信系数，单项极限误差为
i tii i 1, 2L n;
总的极限误差为
t
则
n
t
(ai i)
i 1
由函数误差公式可知，若使各个测量值对误差 传递系数为零或最小，则函数误差可相应减小。
i 1
1ip j
3.4 系统误差与随机误差的合成
一.按极限误差合成
总
s i 1
ei2

1 n
q
i2
i 1
二.按标准差合成
s
q

ui2

2 i

R
i 1
i 1
当个误差间互不相关时,则
单次测量
s
q

ui2

2 i
i 1
i 1
多次重复测量
一.பைடு நூலகம்准差的合成
n
n

(ai i )2 2 ijaia j i j
i 1
1ip j
一般情况下,各个误差互不相关,相关系数ρij=0，则有
n

(aii )2
i 1
二.极限误差的合成 若已知各单项极限误差为的 lim1, lim2L li，mn各个误差互
②简单计算法
cos( n1 n3 )
n
n n1 n2 n3 n4
③直接计算法



(i )(i )


(i )2 (i )2
(3)理论计算法
有些误差间的相关系数,可根据概率论和最小 二乘法直接求出.
3.2 随机误差的合成