第四章 狭义相对论基础 南京大学出版社 习题解答

第4章 狭义相对论基础习题解答

4-1 在惯性系K 中，相距∆x=5⨯106

m 的两地两事件时间间隔∆t=10-2

s ；在相对K 系沿x 轴正向匀速运动的K'系测得这两事件却是同时发生的，求 K'系中发生这两事件的地点间距∆x '. 解 设K'系相对于K 系的速度大小为u,

4-2 在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴上相距3

1.010m ⨯处，从惯性系

K ′观测到这两个事件相距

32.010m ⨯，试问从K ′测到此两事件的时间间隔是多少？

解 根据洛仑兹变换，有

2 u x t x t ∆∆-

''∆=

∆依题设条件，31.010x =⨯Δ m ，0s t ∆=，32.010x '=⨯Δ m ，解得

u ==

6 57710s u x

t .-∆-

'∆=-⨯ 负号表示在K '系中观测，'

22()x x 处的事件先发生。 4-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c υ

=的速率相向运动，两者的相对速率是多少？

解 取地球为K 系，电子为K '系，并沿x 轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换公式，有

2

1x x x u 'u

c υυυ-=

-

2

09(09)

099409(09)1.c .c .c .c .c c --=

=--

4-4 一光源在K ′系的原点'O 发出一光线，其传播方向在''y x 平面内且与'x 轴夹角为'θ。试求在K 系中测得的此光线的传播方向，并证明在K 系中此光线的速度仍是c 。

解 已知'cos x c υθ'=，'sin y

c υθ'=。根据洛仑兹速度变换，有

Δt '=

Δt

-ΔΔ2

t u

c x

=

()2

2

6410m t x c x ∆∆-

'∆=

=

=⨯

2

''1x x x u u c

υυυ+=+cos cos 1c u u c θθ'+=

'

+

，21y x c υ=

+1c +在K 系中与x 轴的夹角为

arctan

y x υθυ=而光的速度为

c υ

==

4-5 固有长度为50m 的飞船，以3

910m/s u =⨯的速率相对于地面匀速飞行，地面上观察者测量飞船的长度是多少？ 解 已知 3050m,910m/s l u ==⨯

地面上观察者测量飞船的长度是运动长度

50l l ==()25150131049.99999998(m)2-⎛

⎫≈⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭

可见低速时运动长度和固有长度的差别是难以测出的。

4-6 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，宇宙飞船相对于该惯性系的速率是多少？

解 根据相对论的长度收缩效应，l l =

有

u =

4-7 一根直杆位于K 系中Oxy 平面。在K 系中观察,其静止长度为0l ,与x 轴的夹角为θ,试求它在K ′系中的长度和它与'x 轴的夹角。

解 设在K 系中，直杆两端的坐标分别为（0,0）和

()00cos ,sin l l θθ。由于长度收缩发生在运动方向，且

0cos x l θ∆=为x

方向的固有长度

所以 0cos x l '∆= 0sin y l θ'∆

=

在K'系中，直杆的长度为

l l

直杆与'x 轴的夹角为 12

22arctan =arctan tan 1/y u x c θθ-⎡⎤'⎛⎫∆'=-⎢⎥ ⎪'∆⎢⎥⎝⎭⎣⎦

4-8 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球164.310m s =⨯。设有一宇宙飞船自地球往返于半人马座α星之间。若宇宙飞船的速率是c 999.0=υ，（1）若按地球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？（2） 若以飞船上时钟计算，往返一次又为多少时间？

解 （1） 由于题中恒星与地球的距离和宇宙飞船的速度均是地球上观察者所测量的，故飞船往返一次，地球时钟所测时间间隔

82 2.8710s s

τυ

=

=⨯

（2） 把飞船离开地球和回到地球视为两个事件，显然飞船上的时钟所测得的时间间隔是固有时，所以以飞

船上的时钟计算

70 1.2810s τ=⨯

4-9 设K′系以恒定速率相对于K 系沿xx ′轴运动。在惯性系K 中观察到两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系K′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问K′系相对于K 系的速度为多少？

解 由题意知在K 系中的时间间隔为固有时，即0

4.0s τ=而 6.0s τ=

，根据时间延缓效应的关系式

τ=

，可得K ′系相对于K 系的速度为

21/20[1(

)]u c ττ=-= 4-10 某人测得一静止棒长为0l ，质量为0m ，于是求得此棒的线密度为00/m l ρ

=。(1)假定此棒以速度υ在

棒长方向运动，此人再测棒的线密度应为多少？(2)若棒在垂直长度方向运动，它的线密度又为多少？

解 (1)棒以速度υ在棒长方向运动，此时 棒长

l

l =

质量

m

=

线密度为 022

0(1/)

m m l l c ρυ==

-

(2)

若棒在垂直长度方向运动，棒的长度不变，它的线密度为

ρ4-11 匀质细棒静止时质量为0m ,长度为0l ,当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时,测得它的长为l ,则该棒所具有的动能k E 是多少?

解

由题意0l l =

所以

2

20001(1)k l E m c m c l ⎛⎫

⎪=-=-⎪⎭

4-12 静止的电子经过1000000V 高压加速后，其质量、速率、动量各为多少？ 解 已知电子静质量m 0=9.11×10-31

kg ，因此其静能为

2311614009.11109108.210E m c --==⨯⨯⨯=⨯（J ）

静止的电子经过1000000V 电压加速后，其动能为