投资学第10章APT与风险收益多因素模型stu

n i 1
1
n
2
2(ei
)
1
n
2(ei
)
其中， 2(ei )
2(ei n
)
,又E(ei
)
0
于是有：rP E(rP ) P F ,且： P P F
13
图10.1 Returns as a Function of the Systematic Factor
14
▪ APT的基本原理：由无套利原则，在因素 模型下，具有相同因素敏感性的资产（组 合）应提供相同的期望收益率。
▪ 用数学表示就是
n
wi 0 (1)
ii n
iwi 0 (2)
i 1 n
wiEri 0 (3)
i 1
8.3.3 套利定价模型 (APT)
▪ 假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风险利 率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资产，这 样构造一个自融资组合P。
设无风险利率为rf ,两个资产分别是资产i和资产j。 在单因素模型的假定之下，套利组合的收益为（忽略残差）
▪ 绝大多数单个证券满足该期望收益-贝塔关系 ▪ 套利定价理论与CAPM：
➢ 作用相同 ➢ 不需要太严格的假设 -不要求“同质期望”假设，
并不要求人人一致行动。只需要少数投资者的套 利活动就能消除套利机会。 ➢ APT的推导以无套利和因素模型为核心,不要求投 资者是风险规避的，CAPM则以均值－方差模型 为核心
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10.4 多因素套利定价理论
▪ 因素资产组合(factor portfolio)，亦为跟踪投资 组合(tracking portfolio)
▪ 双因素模型： ri E(ri ) i1F1 i2F2 ei
▪ 多因素模型的应用： ri rf i i1R1 i2R 2 ei ri rf i i1R1 i2R 2 ... inR n ei
▪ 无风险套利行为实际上是一价法则(the law of one price)在金融市场中的应用
▪ 无风险套利组合的重要性质：任何投资者， 不管其风险态度如何，都愿意更多地拥有 该项组合头寸 - Regardless of wealth or risk aversion, investors will want an infinite position in the risk-free arbitrage portfolio.
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10.2 套利定价理论
(Arbitrage Pricing Theory)
▪ Ross (1976)
▪ 三个基本假设
➢ 证券收益能用单因素模型表示 –security returns can be described by a factor model
➢ 有足够多的证券来分散系统风险 – there are sufficient securities to diversify away idiosyncratic risk
一阶回归和二阶回归(first pass regression and second pass regression.) Example：
Northeast Airlines : GDP 1.2, IR -0.3,RPGDP 6%, RPIR -7%, rf 4% E(r ) 4% 1.2 * 6% (0.3) * (7%) 13.3%
3.The sensitivity to interest rate risk times the risk premium for bearing interest rate risk
（市场利率风险溢价倍数）
10-7
10.1.2 多因素证券市场线
双因素SML（security market line）：E(r ) rf GDP RPGDP IR RPIR 和RP的估计：
ri E(ri ) iGDPGDP iIRIR ei 其中的又称为因素敏感度(factor sensitivity)、 因子载荷(factor loading)、因子(factor beta)
多因素模型的好处： (1)寻找均衡价格（equilibrium price）(2)风险管理（risk management）
要依靠“旧”的F来获利是不可能的！
E(Ft | t1) 0
▪ 若市场有效，则t-1时刻的信息集预测t时刻的价 格无效，这等价于t-1时刻信息无法预测t时刻的 因子，即对于因子的变化没有任何倾向——公平 赌局（Fair game）
▪ 从有效市场的理论来看，价格（回报）的不可预 测，本质上是信息的不可预测，也就是因子的变 化不可预测，这些信息既有宏观的、也有微观的 。
rp w(E(ri ) iF ) (1 w )(E(rj ) j F ) 1 rf
w(E(ri ) E(rj )) E rj rf w i j j F
βp
根据条件（2），当w(i j ) j 0
即w*
j i
j
时，rp无风险
若不存在套利机会，则该套利组合的收益为0
构建套利组合（Arbitrage portfolio）
1. 零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （Self-financing）组合。
2. 无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为0。
3. 正收益：套利组合的期望收益大于零。
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▪ 套利举例（exemplification ） ▪ 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复
利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。 ▪ 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假 设1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借 入资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
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Figure 10.4 The Security Market Line
21
▪ APT假设证券回报可以用预期到的回报和未预期 到的回报两个部分来解释，构成了一个特殊的因 子模型
ri E(ri ) i F ei E(Ft | t1) 0
预期的回报
未预期到的变化
F是证券i的某个因子的变化，基于有效市场 理论，它是不可预测的。
3
10.1.1 证券收益的因素模型
ri = Return on security
βi= Factor sensitivity or factor loading or factor beta
F = Surprise in macro-economic factor
(F could be positive or negative but has expected value of zero)
投资学 第10章
APT与风险收益多因素模型
Arbitrage Pricing Theory and Multifactor Models of Risk and Return
▪ 套利（Arbitrage）
➢ 利用证券定价之间的不一致来赚取无风险利润 的行为
▪ 资本市场均衡(balance)：不存在套利机会 ▪ 套利定价理论（Arbitrage Pricing
rp
j i j
(E(ri ) E(rj )) E(rj ) rf
0
E(ri ) rf E(rj ) rf
i
j
假设资产j为市场投资组合M ,则M 1
E(ri ) rf
i
E(rj ) rf
j
E(rM ) rf
E(ri ) rf i E(rM ) rf
10.3 单项资产与套利定价理论 (single asset & APT)
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11.2.4 单因素证券市场线 （one single factor SML）
证明：市场组合M也是充分分散化的组合，
若有任一充分分散化的投资组合P，
且P M
1,则有：E(rP ) rf E(rM ) rf
P M
E(rP ) rf P[E(rM ) rf ]
没用到CAPM严格的假设，得到了与 CAPM差不多的结论
Theory）：用无套利原则来简化风险-收益 关系
2
10.1 多因素模型概述 （Multi-Factor model）
▪ 指数模型：用一个市场指数替代所有的宏 观经济风险
▪ 改进思路：将注意力直接放在风险的根本 来源上比间接地运用市场替代更有效(it is more useful to focus directly on the ultimate sources of risk)
ei = Firm specific events (zero expected value)
单因素模型（single factormodel）：ri E(ri ) i F ei
单因素模型暗含一个不正确的假设： 股票收益对每种风险因素的敏感程度相同。
4
10.1.1 证券收益的因素模型
扩展：双因素模型（double factor model）
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10.5 APT的局限和因素的确定
▪ APT对系统风险进行了细分，使得投资者能 够测量资产对各种系统因素的敏感系数，因 而可以使得投资组合的选择更准确。例如， 基金可以选择最佳的因素敏感系数的组合。
Well - diversified portfolio
考虑n个证券的等权重资产组合，
其中每个证券的收益为：ri E(ri ) iF ei
组合P的收益：rP E(rP ) P F eP
其中，P
n i 1
1
n
i ,
eP
n i 1
1
n
ei
则组合风险：
2 P
P2
2 F
2(eP )
又： 2(eP )
准则二：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且 P
Q
,
则必有：E(rP E(rQ
) )
rf rf
P Q
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图10.2 Returns as a Function of the Systematic Factor: An Arbitrage Opportunity
18
图 10.3 An Arbitrage Opportunity
▪ 套利准则一：如果两个充分分散化的投资 组合具有相同的β值，则它们在市场中必 有相同的预期收Leabharlann Baidu。
▪ 套利准则二：如果两个充分分散化的投资 组合β值不同，则其风险溢价应正比例于 β
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11.2.3 贝塔与期望收益
数学描述：
准则一：若有充分分散化的投资组合P、Q，
且P Q ,则必有：E(rP ) E(rQ )
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3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。
4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
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10.2.2 充分分散的投资组合
5
10.1.2 多因素证券市场线
CAPM： E(r) rf [E(rM ) rf ]
令RPM E(rM ) rf
E(r) rf RPM 双因素SML（securitymarket line）：E(r) rf GDPRPGDP IRRPIR
概念：因素组合
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Interpretation
▪ APT与CAPM的比较
➢ APT对资产的评价不是基于马克维茨模型， 而是基于无套利原则和因素模型。
➢ 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致 行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。
➢ 不要求投资者是风险规避的
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10.2.3 贝塔与期望收益 （β & expected return）
The expected return on a security is the sum of:
(期望收益等于)
1.The risk-free rate（无风险利 率）
2.The sensitivity to GDP times the risk premium for bearing GDP risk （国民经济风险溢价倍数）
➢ 有效率的证券市场不允许持续性的套利机会 – well-functioning security markets do not allow for the persistence of arbitrage opportunities.
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10.2.1 套利、风险套利与均衡
▪ 无风险套利使用零投资组合(zeroinvestment portfolio)