数学解题中转化思维的六种策略

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浅谈数学解题中的转化思维
（西安交通大学苏州附属中学 沈亮 215021）

摘要：数学中的解题是我们所学知识的综合应用
解题过程其实也就是思维转化的过程．解题策略是解题思想转化为解题步骤的中介
本文主要介绍思维转化的策略及其特征
重点讨论了正向向逆向转化
未知向已知转化
数向形转化
主元向辅元转化
定量向变量转化等策略及其应用

关键词：数学解题；思维转化策略；
思维的转化是数学解题中普遍采用的一种思想
是数学知识的精髓
同时也是处理数学问题的基本方法
转化思维能有效地帮助我们理解数学知识
培养思维能力．思维的转化在数学解题中处处可见
根据具体问题选择不同的策略
这样就能更快捷的找到解题方法
并使解法简便．
策略一、正向向逆向转化
任何事物都有其正反两个方面
解数学题也是如此．许多问题从正面进行推导或计算时
不容易进行求解．如果我们能及时调整思维方向
比如从问题的相反角度去考虑
也就是应用逆向思维的方式去思考
有时会使问题简单化
容易化
从而就能找到解题的快捷方法．
例1． 若方程至多有一个负根,试求的范围．
分析 二次方程的两个根至多有一个负根
那么它的反面就是两个根均为负根
从这个角度入手,这个题就可以很快求出结果．
解 若方程有两个负根
则必须满足以下不等式组
即
解这个不等式组得因此
若要方程至多有一个负根时k的取值范围或．
评注 从以上例题可以看出,应用逆向思维巧解数学题
方法独特
构思新颖,有的问题表面上看上去很难
一旦运用逆向思维就常会使问题简单明了．因此
在数学学习中
我们应加强逆向思维的训练
逐步从正向思维过渡到正逆双向思维
这有助于培养和提高我们的数学思维能力
激发学习的兴趣．
策略二、未知向已知转化
在解题时
我们有时因为一些条件的限制和思维定势的影响而陷入困境．这时
如果我们能开拓思维
从多角度多方面
思考与分析问题
抓住题目的特征
探求新的问题与已掌握知识间的相关性
恰当的转换思维方法
许多难题就变得很容易．未知向已知的转化又称类比转化
它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法.
例2． 已知是实数
且
求证：
．
分析 本题要证明的不等式中
含有三个未知数
仅仅知道一个关于这三个参数的一次等式
想求解出显然是不可能的
所以我们只能充分利用不等式左端的代数结构来

进行分析．如果我们把不等式左端改写为则此式和以前学过的柯西不等式的左端结构相似
且经过转化后不等式中还会出现
这样题目就可以得到解决．
证明 因为是实数
且．令
所以

而

因为

所以

即
．
评注 由于相似的因素、相似的条件能够产生相似的关系或相似的结果．因此
当两个问题外形相似时
我们可以通过大胆联想
巧妙转换
把它们划为同一类问题,用类似的方法解答．
策略三、数向形的转化
数与形是数学研究的两类基本对象．数量关系如果能借助图像的性质
可以使许多抽象的概念和关系变得直观化
形象化
我们通常称这种方法为"以形助数"；而有些设计图形的问题如果能转化为数量关系的问题
就可以获得严谨的解法
也就是所谓的"以数辅形"．数形结合包括两个方面：一是借助形的直观性来阐明数与形的某种关系；二是借助数的精确性来阐明性的某些属性．在解题时如能经常考虑数形结合
往往能解决问题．利用数形结合
是数学解题中的常用思想和方法．
例3. 已知求证．
分析 这个不等式可以用解含有绝对值的不等式的解决方法来解
但是如果我们观察这个不等式的左边
发现表示数轴上点x到点-1的距离
表示数轴上点x到点2的距离
要证明的不等式左端表示数轴上任意一点到点-1和点2的距离之和
只要找出最小距离也就证明了此不等式
所以这个题目用它的几何意义来解更快捷．
证明 设数轴上的三点分别为A,B,C坐标分别为 -1
2
x
如下图

当时
,
当时,
当时


综上所述.
评注 形数结合是数学的重要表现形式
通过对已知不等式函数等变形
代换处理后
找出它的几何意义
以形定数
可以避繁就简．数学数形结合既是一种思想
又是一种方法．要善于"形"中寻找到"数"的信息
"数"中寻找到"形"的信息,通过"以数解形"或"以形助数"
从而发挥数的严谨与形的直观两方面的长处．
策略四、主元向辅元的转化
在涉及了多个字母的数学题中
当我们把某一字母确定为主元时
相应的其他字母就是辅元．主元与辅元是人为的相对的
所以有时根据解题的需要
将"主源"和"辅元"互换地位．
例4.已知关于的方程：有且仅有一个实根
求实数的取值范围．
分析 显然,本题中的是主元
为辅元
但方程中的最高次数为3
按正常思路
应当把x看成主元
先求出x
再对a进行讨论
但是由于求根比较困难
这样做的话解题相当复杂．注意到的最高次数为2
如果反客为主
把a看成主元
原方程转化为关于的二次方程,这样使问题变得简单．
解 原方程可代为即
,因为原方程有唯一实

根,所以无实根,
所以.
评注 上述例题从表面上看需要先求出x
然后才能对a进行讨论
但实质上如果从整体上去把握,处理两个量之间的关系
会使题目简单易解．
解题策略的选择是一种有目的的思维活动,然而并不遵循严格的逻辑原则
往往中间有许多跳跃性
它通常是依据知识经验
对解决数学习题的途径和方法做出总体的决策
带着一定程度的猜测性和预见性．事实上
这些策略相互之间可以交叉应用
比如说有些问题中类比和猜想可以同时应用
类比是解决问题的基础
而猜想是解决问题的发展．但是它们在总体上反映了数学辩证思维的一些规律和特点
并且能够代表各种具体的解题方法．因此在数学学习中
我们要以掌握知识和技能为基础
不断培养思维品质和能力．
策略五、定量向变量的转化
动静是事物状态表现的两种形式
它们由于对方的存在而存在
根据问题的需要可以相互转化．在数学解题中
我们可以用动的观点来处理静的数量和形态
,将常数看成变数的取值
将静止的状态看成运动过程的瞬间
表现为以动求静．在数学分析中这种方法也很大的用处
比如牛顿莱布尼茨公式．有些问题是求解或证明某个确定的量或确定的量式子
这种确定的量或确定的式子当然是常量或常量的式子
但是我们把它作为常量或常量的式子来处理时
并不容易
有时要借助甚至必须借助使常量变动起来才能解决问题．
例5. 设均为上的连续增函数证明：

分析 所证的不等式即为是一个常数不等式
我们用此方法
将所证不等式中的常数b变为变量
却容易证出．
证明 设
则



即在上单调递减,故结论得证．
评注 高等数学在知识和思维上冲破了常量和变量
限和无限的固有的差别的约束
以运动和变化的观点研究变量
研究事物内部的联系和事物之间的相互转化．
策略六、多变量向单变量转化
例6. 若求的值域．
分析 当我们碰到含有正弦和余弦的函数
一般利用他们的有界性和几个重要等式来解决函数值域的问题
但是这种方法不是对所有的问题来说都能使解题变得简单
对于本题而言这样做不能解决问题．在本题中
虽然都是关于同一个变量x的中间变量
但是在求y的值域时是作为两个不同的参数发挥作用的
所以我们要降低参数的个数
也就是变成一个参数
设利用即得
这样就完成了参数的减少
使问题得到解决．
解 设,则, 且 所以

故, 所以原函数的值域为．
评注 对于含有三角函数的题目
不一定都要利用三角函数的有界性来解决问题,

有时三角问题转化为代数问题会使问题变得更容易．
解题策略的选择是一种有目的的思维活动,然而并不遵循严格的逻辑原则
往往中间有许多跳跃性
它通常是依据知识经验
对解决数学习题的途径和方法做出总体的决策
带着一定程度的猜测性和预见性．





参考文献
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