量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理

第二章波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理

引言

这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。

2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性

2.1、波函数的统计诠释

2.1.1、如何描述粒子的波动性

自由粒子：

自由粒子的波，其频率和波矢都不变，即为平面波，

x

。

Ψ=Aπ−vt

cos2

λ

如果波沿单位矢量n的方向传播，则:

第二章波函数和薛定谔方程

2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性

。改为复数形式为，

Ψ=，或者

Ae⋅−ω

i k r tΨ=

()

i

(p⋅r−Et)

，Ae

这种波称为德布罗意波。其中，

E=hν=ω，

h

p n k

==

。

λ

场中的粒子：

如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。用一个函数表示来描写这个波，

Ψ=Ψ。

(r;t)

那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？

2.1.2、实物粒子波动性的两种解释

(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。

波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。

夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。

(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波

类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。

夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。

2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波

以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。

•电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。

•电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。

2.1.3、概率波

1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：

波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。这样，描述粒子的波乃是概率波。

量子力学的基本假定之一。

描述微观粒子状态的波函数为Φ(r,t)，其强度为，

Φ=ΦΦ。

2*

根据波函数的统计诠释，在t时刻、r点附近单位体积中找到粒子的概率为，

，

其中是概率密度，C是比例常数。

这样，t时刻、附近dτ体积元中找到粒子的概率为，

波函数的归一化

粒子在整个空间中出现的概率为1，即要求波函数满足如下条件，

，∫

CΦr t2dτ=

|(,)|1

∞

这称为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件要求波函数绝对值平方在全空间可积。

则，比例系数C 可得，

C =

1

。∫

|(,)|

Φr t2dτ

∞

粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。

这样如果令，，波函数描写的状态并不改变，归一化条件为,

。

波函数Ψ称为归一化波函数，常数C称为归一化因子。

这样和描写的是粒子的同一个状态，只是为归一化波函数，而是没有归一化的波函数。

相位不定性

如：，实数，

，

即波函数在归一化后仍然有一个相位因子e iδ的不确定性。

讨论：

（1）波函数Φ一般为复数，不表示真实的物理量，只

有其模平方|Φ|2才有物理意义。

（2）由于粒子在空间出现的几率为1，所以各点出现的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小，即使将波函数乘上常数后所描述的状态不变。

Ψ=Φ，和描述的是同一量子状态。t时刻，

C

1, 2

r r 附近单位体积内找到粒子的几率之比为，

w(r,t)|C(r,t)||(r,t)||(r,t)|

ΦΨΦ

222

= = = ，1111

w(r,t)|C(r,t)||(r,t)||(r,t)|

Φ2Ψ2Φ

2 2222

2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波

（3）归一化条件并不是唯一的，对于在全空间中对波函数模平方积分为1 的条件，对于有些波函数是没有意义的。比如自由粒子波函数，，就不满足这个条件。至于这种波函数如何归一化的问题，后面再讨论。

（4）归一化的波函数可以含有任意相因子。

2.1、波函数的统计诠释 2.1.5、统计诠释对波函数的要求

2.1.5、统计诠释对波函数的要求

（1）可积性：=有限值。

∫

|(r,t)|d

Ψ2

τ

τ

。

（2）归一化(如平方可积)：∫|Ψ(r,t)|2dτ=1

∞

|Ψ(r,t)|具有单值性。注意:不是Ψ(r,t)。（3）单值性：

2

及其各阶导数连续。（4）连续性：Ψ(r,t)