超静定结构和弯矩分配法

力法 方程
2.写出位移条件,力1法1 X 方1程1P0
34..作 求单 出位系弯数1 矩和图自11由,荷l项载3/弯3E矩I图;1Pq4l/8EI
5.解力法方程X13ql/8() MM 1X1M P
6.叠加法作弯矩图
ql 2 / 2
l
MP
M1
ql 2一/ 8.力法的基本概念
M
1 0
1 11 1 P 0
q12kN/m
M A F B q2/l1 2 1k 0.m N 0 A EI
B EI
C
MB FA10k0N .m
10m
10m
MB FCMC FB0 放松状态:
0.571 0.429
M B d A B(A M B u) 5.1 7M F 100 100 0
0
M B d C B(C M B u) 4.9 2分配 28.6 57.142.9
-28.6 -9.2 -12.2
1.8
-57.1 -42.9 -6.1 3.5 2.6
-0.8 -1.0
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
M0
140 -140 40.3 -40.3
1.8 3.5 2.6
140
q12 kN/m
40.3
… … ...
A
M
1
2
B
0 0 0
0 B
作剪力图,求反力
MA0
求不平衡力矩
20kN/m
A EI
6m
40kN.m
C B EI
4m
20kN/m
40kN.m
60 A
60 B
C
M B u6 0 4 0 1k 0.N 0 m
作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)
40kN.m
M
u B
60
40kN.m
10kN
20kN.m A EI
6m
B EI C
4m
练习:作弯矩图
10k0N.m
1
ql 2 / 12
50
2 110000
放松结点2(结点1固定):
-28.6 -57.1 -42.9
S214i S2B 3i
21.4
6.1
210.5712B 0.429
-9.2 -12.2 -6.1
放松结点1(结点2固定):
1.8
6.1
S124i S1A 3i
1 20.5711A 0.429
1.8 3.5 2.6
M B d A B(A M B u) 5.1 7
M A C B CB dM A 0 .5 ( 5.1 ) 7
M B d C B(C M B u) 4.9 2
远端弯矩 C 近端弯矩
---传递系数 1
远端固定时:
4i A
i
28.6 M C C B CB dM C 0 ( 4.9 ) 2 0
ql2 / 12
B
M
u B
C
A
B
M
F BA
M
u B
放松状态:需借助分配系数,
传递系数等概念求解
B
M
F BC
转动刚度：使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加
的杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
1S AB
1
A i B 4i A i B
SAB4i
Ai B SAB3i
对等直杆，SAB只与B端的
第二节力法(Force Method)
一.力法的基本概念
待解的未知问题
1
基本体系
力法基本
1 0 变形条件
X1
未知量
在变形条件成立条件下,基本体 系的内力和位移与原结构相同.
4.2 力法(Force Method)
ql 2一/ 8.力法的基本概念 1 0
M
力1.确法定步基骤本:体系 111 X 111 11 1P0
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。
这是科学研究的 基本方法之一。
第三节 力矩分配法
力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解 的近似方法。
单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结 构。
4.4 力矩分配法
一.基本概念
固定状态:
q12kN/m B
C
A EI
M38.75 42.5 42.5 0
42.5 38.75 40kN 10kN/m
M
1
3
例2.计算图示刚架,作弯矩图
q 64
B
1
C 64
解: S1B 3i S1A 4i
1
16
l
S1C i
1A4i43iii 1/2
2ql
11
32
l
EIC
A
l
1B4i33iii 3/8
1C
i 4i3ii
1/8
结点 B A
1
C
杆端 B1 A1 1A 1B 1C C1
1/2 3/8 1/8
q
2ql
ql 2 / 4
ql 2 / 8 ql 2 / 4
M F 0 -1/4 1/4 1/8 0 0
所的结果分是配 近似解吗传?递
0 3 3
32 16
9 3 64 64
3 64
q
M
0 11 32
1 16
1 3
3
64
64 64
练习
与静定结构相比, 超静定结构的优点为: 1.内力分布均匀 2.抵抗破坏的能力强
一.超静定结构的静力特征和几何特征 二.超静定结构的性质 三.超静定结构的计算方法
1.力法----以多余约束力作为基本未知量。
2.位移法----以结点位移作为基本未知量.
3.混合法----以结点位移和多余约束力作为 基本未知量.
一根两端支座为固定支座的单跨梁，这样的梁 在外荷载作用的杆端弯矩叫固端弯矩。
固定状态:
q12kN/m
M A F B q2/l1 2 1k 0.m N 0 A EI
B EI
C
MB FA10k0N .m
10m
10m
MB FCMC FB0 放松状态:
q12kN/m
M
u B
M B d A B(A M B u) 5.1 7 A
练习 P
EI
作弯矩图.
EI
l
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
P
EI
P
EI
l
解: 1 0
X1
11 X11P0
114l3/3EI
l
1PP3l/2EI
l
P
X13P/8()
X1=1
M1
Pl
MP
3 Pl 8
第八章 超静定结构与弯矩分配法
第一节 超静定结构和静定结构的差别 一.超静定结构的静力特征和几何特征
几何特征:有多余约束的几何不变体系。 静力特征:仅由静力平衡方程不能求出
所有内力和反力.
超静定问题的求解要同时考虑结构的“变 形、本构、平衡”.
一.超静定结构的静力特征和几何特征 二.超静定结构的性质 1.内力与材料的物理性质、截面的几何形状和尺寸有关。 2.温度变化、支座移动一般会产生内力。
0
M A CB CB M A 2.6 8
传 递
MCCB 0
M 12.68 42.9 42.9 0
最终杆端弯矩:
M A B 10 20 .6 8 1.2 68 q12kN/m 42.9
M B A10 50 .1 7 4.9 2
M
M BC 04.9 24.9 2 128.6
MCB 0
例1.计算图示梁,作弯矩图
B EI
M
u B
---不平衡力矩,顺时针为正
10m
10m
固端弯矩---荷载引起的单跨梁两
端的杆端弯矩,绕杆端顺时针为正. q12kN/m
M
u B
M A F B q2/l1 2 1k 0.m N 0 A
B
C
MB FA10k0N .m MB FCMC FB0
MB uMB FA MB FC 10k0N .m
… … ...
q12kN/m
A
EI
1 EI
2 EI
10m
10m
q12kN/m
A
M
u 1
ql 2 / 8
1
ql2 / 12
28.6
10m
M
u 2
2
100
-28.6 -Hale Waihona Puke 7.1 -42.921.4
6.1
B A q12 kN/m
1
2
BM F 0
分0
配 传 递
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 100 0
B
C
M B d C B(C M B u) 4.9 2
ql2 / 12
M A CB CB M A 2.6 8
M
u B
C
MCCB 0
A
B
最终杆端弯矩:
M A B 10 20 .6 8 1.2 68
M B A10 50 .1 7 4.9 2 M BC 04.9 24.9 2
MCB 0
固定状态:
解:
EI 3
A
SBA31010EI
EI
10k0N.m
SBC 5
100
BA(0.30.30E.2)IEI0.6
EI
10m
B EI C
5m
50
0.6 0.4
BC(0.30.20E .2)IEI0.4
100
M F 100
分 配
0
传
50 0 0 30 20 20
10k0N.m
递
M 100 20 20 20 20
解: SBA4E8I0.5EI EI SBC3 6 0.5EI
BA(0.50.50E.5)IEI0.5 BC(0.50.50E .5)IEI0.5
40
45
40kN
10kN/m
40
40kN
A EI
4m 4m
10kN/m
C B EI
6m
M F 40
分 配
1.25
传
递
0.5 0.5 40 45 0
2.5 2.5 0
支撑条件有关。
A端一般称为近端（本端），
Ai B
B端一般称为远端（它端）。
SABi
MB d ASBAB MB d CSBC B
M B uM B d A M B d C 0
BSBA1SBC(MB u)
MB d ASBSABSABC(MB u)
MB d CSBSABSCBC(MB u)
令
B
A
SBA SB A SB C
令
B
A
SBA SB A SB C
BC
SBC SBA SBC
M
d BA
M
d BC
---分配弯矩
BA BC ---分配系数
一个结点上的各杆端分配系
数总和恒等于1。
SBA4i SBC3i B A 4 i/3 ( i 4 i) 4 /7 0 .57 A 1
B
M
u B
B
C
B C3 i/3 (i 4 i)3 /7 0 .429
2i C=1/2
B
传递弯矩
1
远端铰支时:
3i A
i
B
1
远端定向时: i A i B
C=0 C=-1
与远端支承 情况有关
二、弯矩分配法的思路
• 1、由于节点有两根或者多根杆汇集，因此需 要确定每一根杆在维持节点不转动的平衡过程 中，所起的作用。
• 2、影响节点产生转动的力矩大小和方向。 • 固端弯矩M ，每相邻两节点之间的杆件视为
MM 1X1M P
P
EI
EI
l
5 Pl 8
M
l
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
P
EI
EI
l
P
解: 1 0
X1
11 X11P0
11l3/3EI
l
1PP3l/2EI
X1=1 Pl
P
X13P/2()
4.力矩分配法----近似计算方法. 5.矩阵位移法----结构矩阵分析法之一.
一.超静定结构的静力特征和几何特征 二.超静定结构的性质 三.超静定结构的计算方法
力法等方法的基本思想: 1.找出未知问题不能求解的原因, 2.将其化成会求解的问题, 3.找出改造后的问题与原问题的差别, 4.消除差别后,改造后的问题的解即为原问题的解
q12 kN/m
A
1
Q 1 A 1 1 0 4 1 1 0 2 5 0 0
Q1A 74
Fy 0
A
Q A1
QA1 46
46
140 1 Q1A 69.97
11X 1 11
11 X 1 1 P 0
力法 方程
1
11l3 /3EI 1Pq4 l/8EI
X 13ql/8( ) M M 1X 1M P
ql 2 / 2 MP
l
M1
力法步骤:
1.确定基本体系
4.求出系数和自由项
2.写出位移条件,力法方程 5.解力法方程
3.作单位弯矩图,荷载弯矩图; 6.叠加法作弯矩图
二.多结点力矩分配
固定状态:
q12kN/m
A
EI
1 EI
B 2 EI
M1FAq2l/8150
10m
10m
10m
M 1 F2q2l/1 2100 A q12kN/m
M
u 1
M
u 2
B
M2F1q2l/12100 M 1 uM 1 F AM 1 F2 50 M 2 uM 2 F1 M 2 F B100
ql 2 / 8 28.6
MM 1X1M P
l M1
Pl
MP
3 Pl M
2
力法基本思路小结
解除多余约束，转化为静定结构。多余约 束代以多余未知力——基本未知力。
分析基本结构在单位基本未知力和外界因 素作用下的位移，建立位移协调条件——力 法方程。
从力法方程解得基本未知力，由叠加原理 获得结构内力。超静定结构分析通过转化为 静定结构获得了解决。
BC
SBC SBA SBC
B
M
u B
C
A
B
M
d BA
M
u B
B
M
d BC
M B d A B(A M B u)
M B d C BC (M B u)
M
d BA
M
d BC
---分配弯矩
BA BC ---分配系数
一个结点上的各杆端分配系
数总和恒等于1。
SBA4i SBC3i B A 4 i/3 ( i 4 i) 4 /7 0 .57 A 1
B
M
u B
B
C
M B B d C A 3 i/B 3 ((iA M 4 iB u )) 3 /5 7 .1 7 0 .429 M BdA