等价无穷小在求函数极限中的应用
考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方法探讨
考研数学利用等价无穷小量求函数极限的方
法探讨
等价无穷小量求函数极限是求取函数极限的一种重要方式，它通过无穷小量的折中把复杂的极限问题简化为可以用微积分的知识解决的问题，因此在考研数学中运用广泛。
首先，要理解“等价无穷小量求函数极限”，我们需要熟悉极限。
极限概念可以描述一个函数在某个点附近的变化情况，也可以用来描述函数在某个点处的行为。
它的定义是：当x趋近于某个值时，f(x)的值将趋近于某个值L。
极限的计算一般有两种方法：一种是直接法，即根据已知条件直接求得极限；另一种是间接法，即把极限间接表示成等价无穷小量，然后用微积分的知识求得极限。
其次，要正确使用等价无穷小量求函数极限，可以用一些例子来说明，例如求一元函数f(x)=3*x+2在x=1处的极限，我们可以用
δ/Δx=0的方法，即把它表示成Δx→0时f(x+Δx)-f(x)→0，就可以把极限问题简化为Delta x 是一个无穷小量，所以我们可以把它表示成δ/Δx=0，即Δx→0时δ→0，这时候我们就可以用微积分的知识求得极限，得出f(x)在x=1的极限为5。
此外，使用等价无穷小量求函数极限需要注意几点：
1、针对不同的函数和情况，需要使用不同的量来表示无穷小量；
2、极限的求解结果往往不能确定，因此我们需要考虑多种极限值；
3、在求解过程中，要熟练掌握高等代数、微积分等知识，以便更好地理解和使用等价无穷小量来求解极限问题;
4、熟悉一些典型的极限求解方法，以便在遇到极限问题时能够及时应用。
总之，等价无穷小量求函数极限在考研数学中有重要意义，使用这种方法可以更好地理解极限概念并正确求解极限问题，但也需要熟悉相关知识，并能够正确运用。
等价无穷小在求极限中的应用
等价无穷小在求极限中的应用摘要：在数学分析中，极限的计算占据着重要的地位，合理的应用等价无穷小的代换，在某些极限运算中可以使计算更加简便。
本文主要对无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小及误区进行介绍，并总结代换定理加以证明。
关键词：极限等价无穷小代换引言：利用等价无穷小的代换求极限，在求函数极限中是一种比较重要的方法，也是数学分析学习中重要的知识点，而在函数极限运算过程中趋近方式有多种，计算方法比较类似，本文主要对的情况进行介绍，那么了解什么是极限、什么是无穷小和什么是等价无穷小就非常重要了，接下来我们就对极限、无穷小和等价无穷小进行介绍。
、极限：设在某个空心邻域内的函数，现在讨论当时。
对应的函数值能否趋于某个定数 .这类函数极限的精准定义如下:设在某个空心邻域内有定义,为定数,若对任给的 ,存在正数使得当时有 ,则称函数当时的极限为记作:或者、无穷小：设在某个空心邻域上有定义，若则称为当时的无穷小、等价无穷小:设当时与均为无穷小量，若，则称与是当时的等价无穷小记作：、常用的等价无穷小当时以下常用无穷小相互等价、、一、无穷小代换中的四则运算1.1乘法运算定理1设函数在上有定义且，若证明：1.2除法运算定理2设函数在上有定义若则二、特殊等价无穷小当时接下来我们对进行证明证明：利用公式求解，因为所以因为 ,所以证明利用公式求解,因为所以又因为，所以结束语这篇文章我主要对等价无穷小代换中的四则运算、幂运算、特殊等价无穷小代换以及误区进行了介绍，并总结了代换定理，等价无穷小的代换在我们的极限运算过程中比较重要合理利用使我们的计算更加简便，但是并不是所有的极限计算都能利用等价无穷小代换，比如加减法的运算过程有时候就不能直接运用等价无穷小的代换，而且是一个非常容易出错的地方，所以在运用等价无穷小代换的时候一定要看该题是否满足等价无穷小代换定理。
参考文献[1]同济大学应用数学系高等数学上[M].5版.北京.高等教育出版社.2000[2]华东师范大学数学系.数学分析上[M].2版.北京.高等教育出版社.1991[3]唐加冕.等价无穷小代换在求极限中的应用[J].赤峰学院学报.2010.2。
等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红
自然就有一个疑问， 不能随意替代是不是有些情况下可以替 代？ 那么在什么情况下可以代换呢？ 还有对复合函数的内函
∞ 00
数， 以及求未定式极限1 ，∞ ，0 各 位 置 上 的 无 穷 小 量 等 情 况，求极限时能否用无穷小量代换 ？ 文献 ［1］、［2］并未作详细 论述。 笔者拟对此问题作进一步探析，说明其在具体求函数 极限中的应用。
1.等 价 无 穷 小 量 代 换 定 理 利用等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推证等价 无 穷 小 量 代 换 求 函 数 极 限 的 重 要 结 论 ， 下 面 给 出 文 献 ［1］、 ［2］ 中的结论，称之为等价无穷小量代换定理。 定 理 ［1］： 设 函 数 f，g，h在 U0 （x0 ） 内 有 定 义 ， 且 有 f （x）~g （x） （x→x0）。
下面找到一些特殊且容易满足的条件， 使等价无穷小量
代换可以适合于极限的同一极限过程中的无穷小量 ，若
f（x），g（x）为同阶无穷小，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），当lim g（x） f（x）
≠-1，则f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x）。
f（x）
f（x）
推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量 ，若f
（x），g （x） 为 同 阶 无 穷 小 ， 且 f （x） ~f′ （x），g （x） ~g′ （x）， 当 lim =
g（x） ≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。 f（x）
推 论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，… ，n）是 在 同 一 极 限 过 程 中
（包括口头的和书面的）和撰写小论文等情况综合评定。 在“初等数学研究”课程的教学中，对于学生的课中参与，
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→x x x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ． 例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1lim xx x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．(6):112~114。
等价无穷小在求幂指函数极限中的应用
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等价无穷小在求极限中应用的证明
2023
PART 06
参考文献
REPORTING
参考文献
01
[1] 李永乐.高等数学基础教程（第三版）.北京：科学出版 社，2018.
02
[2] 同济大学数学系.高等数学（第七版）.北京：高等教育 出版社，2014.
03
[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）.北京：高等 教育出版社，2010.
2023
THANKS
感谢观看
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REPORTING
利用等价无穷小简化极限表达式
在求极限的过程中，如果极限表达式中包含等价无穷小，可 以利用这些等价无穷小简化极限表达式，使其更容易处理。
例如，当$x to 0$时，可以将$frac{sin x}{x}$简化为1，将 $frac{e^x - 1}{x}$简化为$e^x$等。
利用等价无穷小证明一些重要的极限公式
2023
PART 05
结论
REPORTING
等价无穷小在求极限中的重要性
等价无穷小是微积分学中的一个重要概念，它在求极限的过程中起着至关重要的作用。通过使用等价无穷小，我们可以将复 杂的极限表达式化简为更易于处理的形式，从而更方便地求解极限。
在许多数学问题中，特别是涉及到极限、连续性和可微性的问题，等价无穷小都是一个非常有用的工具。它可以帮助我们更 好地理解函数的性质，以及在极限状态下函数的取值情况。
等价无穷小的性质
等价无穷小具有传递性
若在某自变量变化过程中，α~β，β~γ，则α~γ。
等价无穷小具有可加性
若在某自变量变化过程中，α~β，则α+c~β+c（c为常数）。
等价无穷小具有可乘性
若在某自变量变化过程中，α~β自变量变化过程中，α~β，则α^n~β^n（n为正整数）。
浅析等价无穷小替换在求函数极限中的应用
万方数据万方数据浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用作者：杨录胜， Yang Lusheng作者单位：山西农业大学文理学院,山西太谷,030801刊名：山西科技英文刊名：SHANXI SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)：2009，""(2)被引用次数：0次1.崔克俭应用数学 20042.华中理工大学数学系高等数学 19923.冯跃例说等价无穷小替换求极限 2000(03)1.期刊论文梁海滨等价无穷小替换的推广及其理论依据分析-总裁2009,""(8)等价无穷小替换在求不定式极限过程中起着很重要的作用.但多数教材中对其使用的条件要求都很苛刻,即无穷小的等价代换只能对分子、分母的无穷小因子进行, 在实际应用中存在一定的局限性.如何将把等价无穷小的替换原理推广到无穷小的和与差的等价替换、密指函数的等价替换呢?它成立的理论依据又是什么呢?2.期刊论文周宏辉等价无穷小替换应用的总结-现代企业文化2009,""(15)文章就多种类型的未定型极限,求极限时可用无穷小等价替换,所求的极限值不变,回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限.3.期刊论文魏国祥.张隆辉.成明山关于等价无穷小替换求极限方法的推广-四川教育学院学报2008,24(5)将求极限时无穷小的因子可用其等价无穷小代替的结论推广到幂指函数的情形,给出了"和或差中的项"可用等价无穷小代替的条件.4.期刊论文谢黎东.XIE Li-dong利用"等价无穷小的替换"求函数的极限-新疆职业大学学报2007,15(3)求函数极限的方法较多,利用"等价无穷小的替换"求函数的极限是一种有效的、重要的方法.5.期刊论文杨保华浅谈等价无穷小替换求极限-世界华商经济年鉴·高校教育研究2008,""(15)通过对等价无穷小量代换定理的条件以及结论的讨论,说明了如何正确而合理地运用等价无穷小量代换方法计算函数的极限.＃6.期刊论文江枫运用等价无穷小求极限的新技巧-硅谷2009,""(21)众所周知,在求极限过程中和差是不能用等价无穷小替换的.因此,补充一些新的等价无穷小.同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的和差极限问题,通过恒等变形的方法直接转化成能用等价无穷小替换,把利用等价无穷小求极限的方法大大推进一步.7.期刊论文赵文菊.张秀全浅谈用等价无穷小替换法求极限-天中学刊2003,18(2)讨论了如何利用等价无穷小替换的方法求极限.该方法可以简化某些极限的求解过程.8.期刊论文王思聪利用等价无穷小替换求极限的解题技巧-遵义师范学院学报2002,4(1)在极限运算过程中,尤其对未定式1∞型的极限运算,利用等价无穷小代换,可使问题变得简单易解.9.期刊论文董梅等价无穷小替换法的几种特殊用法-科技资讯2006,""(25)分析并证明了利用等价无穷小替换法求解极限的几种类型.特别对于相减及做出了证明.10.期刊论文鲍红梅极限运算中等价无穷小替换错误剖析-洛阳师范学院学报2009,28(5)函数极限时常常要进行等价无穷小替换,但练习者在进行等价无穷小替换时却往往会出现这样那样的错误.要避免这些错误,必须对产生这些错误的根源进行探寻和分析,透彻理解并掌握等价无穷小替换要遵循的基本原则.本文链接：/Periodical_sxkj200902041.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：d1e71f7b-e90f-4c27-8a85-9dca00fdde57下载时间：2010年8月6日。
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广
等价无穷小在求函数极限中的应用及推广蔡晓娟（西北师范大学数学与统计学院甘肃兰州730070）指导教师：巩增泰摘要：求解函数极限是高等数学中非常重要的内容之一。
在求函数极限的过程中恰当应用等价无穷小代换可以使复杂的问题简单化，本文通过具体实例详细说明了等价无穷小替换在求解函数极限中的重要性。
关键词：等价无穷小；函数极限；替换Equivalent infinitesimal in solving functionlimit of popularization and applicationCai xiaojuan（College of Mathematics and Statistics , Northwest Normal University,Lanzhou,Gansu,730070）Supervisor: Gong ZengtaiAbstract：To solve the function limit is one of the most important parts in higher mathematics. It is simple and easy rather than to use equivalent infinitesimal substitution in solving function limit. The paper discusses the importance of equivalent infinitesimal substitution in seeking functional limit with specific example. Key words：Equivalent infinitesimal；Functional limit;Substitution在高等数学的学习过程中，函数极限是最基本的概念。
我们学习的目的就是能够掌握快速准确的求解函数极限的基本方法和技能。
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用XX(XX 学院XX 学院 山西XX )摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小求极限的优势及常见错误．关键词：等价无穷小；替换；极限 1 引言在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质定义1 如果函数)(x f 当0x x →(或∞→x )时的极限为零，那么称函数)(x f 为当0x x →(或∞→x )时的无穷小．定义2 设)(x f 与)(x g 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且0)(≠x g ，如果1)()(lim=x g x f ，就说)(x f 与)(x g 是等价无穷小，记作)(~)(x g x f ． 常用的等价无穷小：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~arcsin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~)1ln(+，x e x~1-，221~cos 1x x -，x n x n 1~1)1(1-+．关于等价无穷小，有三个重要性质：性质1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβo +=．性质2 设αα'~，ββ'~，且αβ''lim存在，则 αβαβ''=lim lim ． 性质3 βα~，)(~)(~a x a x →⇒→γαγβ． 3 等价无穷小在求函数极限中的应用 3.1 含四则运算的等价无穷小替换定理2表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．例1 求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x --→．解 当0→x 时，221~cos 1x x -，x e x --~1，22~sin x x ，因此 20sin )1()cos 1(lim x e x x x x --→＝22021lim x x x x x ⋅-⋅→＝21-． 例2 求极限)cos 1cos(11lim4x x e x x ---→．解 )cos 1cos(11lim 4x x e x x ---→＝42121lim )cos 1(21lim2240240=⋅=-→→xx x x x x x x ． 注意0→x 时，4241~)cos 1(21~)cos 1cos(1x x x x x ---．用到了性质3． 利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无穷小替换作一些补充．性质4 设αα'~，ββ'~，且C =αβlim ，若1≠C ，则βαβα'-'-~；若1-≠C ，则βαβα'+'+~．证明 若1≠C ，βββββαβαβββαβαβαβα'-'⋅''-='-'-='-'-1lim 1lim lim ，因为ββ'~，所以1lim='ββ，又由定理2，C =''=αβαβlim lim ，所以111lim lim =--='-'-C C βαβα，即βαβα'-'-~．同理，若1-≠C ，111lim 1lim 1lim lim=++='+'⋅''+='+'+='+'+C C βββββαβαβββαβαβαβα，即βαβα'+'+~．定理3说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．推论 设αα'~，ββ'~，γγ'~，μμ'~，且1lim≠βαb a ，1lim ≠μγd c ， a ，b ，c ，d 为常数，则当μγβα'±''±'d c b a lim 存在时，有=±±μγβαd c b a lim μγβα'±''±'d c b a lim ．例3 求极限xxx x 3sin sin 2tan 3lim0-→．解 当0→x 时，x x ~tan ，x x ~sin ，12323lim sin 2tan 3lim00≠==→→x x x x x x ，所以31323lim 3sin sin 2tan 3lim 00=-=-→→x x x x x x x x ． 例4 求极限222203sin 2tan lim x x x x x +-→．解 当0→x 时，222~2tan x x ，22~sin x x ，122lim 2tan lim220220≠==→→x x x x x x ，1313lim 3sin lim 220220-≠==→→x x x x x x ，所以414lim 32lim 3sin 2tan lim 2202222022220==+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x ． 例5 求极限xx x x 220sin )cos 1(sin lim --→．解 因为当0→x 时，221~cos 1x x -，22~sin x x ，22~sin x x ，且 12cos 1sin lim 20≠=-→x x x ，所以2121lim sin )cos 1(sin lim 2220220=-=--→→xx x x x x x x ． 注 当α与β等价，则未必有βαβα'-'-~．以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定条件即可．在很多题目中，往往需要综合运用等价无穷小、洛必达法则、重要极限和泰勒公式等相关知识才能达到简化运算的目的．例12 求极限)111(lim 0--→x x e x ．解 212lim 21lim 1lim )1(1lim )111(lim 002000==-=--=---=--→→→→→x x x e x x e e x x e e x x x x x x x x x x x ．例13 求极限[]4sin )sin(sin sin limx x x x x -→．解 []40sin )sin(sin sin limx x x x x -→[]40)sin(sin sin lim x x x x x -=→30)sin(sin sin lim x x x x -=→203cos )cos(sin cos lim x x x x x -=→203)cos(sin 1limx x x -=→ 613sin 21lim 220==→x xx ．极限计算是《微积分理论》中的一个重要内容，等价无穷小量替换又是极限运算中的一个重要的方法，以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法．利用等价无穷小量替换计算极限，主要是指在求解有关无穷小的极限问题时利用等价无穷小量的性质、定理施行的等价无穷小量替换的计算方法，通常与洛必达法则一起使用，目的是使解题步骤简化，减少运算错误．进行等价无穷小量代换的原则是整体代换或对其中的因子进行代换，而在加减运算中的替换是有条件的．参考文献[1] 同济大学数学系．高等数学．第六版[M]．北京：高等教育出版社．2007 ．[2] 刘玉莲，傅沛仁，林玎等．数学分析讲义．第四版[M]．北京：高等教育出版社．2003．[3] 屈红萍，赵文燕．等价无穷小代换求极限的方法推广[J]．保山学院学报．2011(2):54~57[4] 雷开洪．利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质[J]．宜宾学院学报．2011.11(6):112~114。
2-7利用等价无穷小量求极限
arcsin 3 x ~ 3 x .
x2 x2 1 原式 = lim = lim = 2 x→0 x ⋅ 3 x x→0 3 x 3
tan x −sin x 例4 求lim . 3 x→ 0 sin 2x
错 解 当x → 0时, tan x ~ x , sin x ~ x .
x− x 原式 ×lim = x →0 3 = 0. (2 x )
解
当x → 0时, sin 2 x ~ 2 x , 时
1 3 tan x − sin x = tan x (1 − cos x ) ~ x , 2 1 3 x 2 = 1. 原式 = lim x→0 → ( 2 x )3 16
注意 不能滥用等价无穷小代换 不能滥用等价无穷小代换. 口诀：相乘除可替换 口诀： 相加减不可替换
1 2 tan x ~ x, arctanx ~ x, 1 − cos x ~ x 2 x ln(1 + x) ~ x, loga (1 + x) ~ lna e x − 1 ~ x, a x − 1 ~ x lna
1 1 + x − 1 ~ x (1 + x )α − 1 ~ αx 2
n
1 1+ x −1 ~ x n
例1 证 :当 →0 ,4xtan3 x为 的 阶 穷 . 明 x 时 x 四 无 小
4 x tan 3 x tan x 3 解 lim ) = 4, = 4 lim( 4 x→0 x→0 x x
故当 x → 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 证 ： x →0时 tan x −sin x为 的 阶 穷 . 明 当 , x 三 无 小
例5
1+ x −1 lim 3 x→0 1− 2 x −1
等价无穷小在极限中的应用与推广
等价无穷小在极限中的应用与推广1 引言计算函数的极限是高等数学基本运算之一.对于函数极限的计算方法,我们熟悉的就有很多,有常见的函数极限四则运算法则、夹逼定理、洛必达法则,以及利用初等函数的连续性,还有就是利用等价无穷小代换.文本主要论述应用等价无穷小代换来求极限的定理和推论,并进行严格的证明,列举了典型的例题.从文中可以看出,运用这些定理和方法,使一些复杂的求函数极限的题目变得简单明了.2 等价无穷小的定义[1](P61)设)(x f 、)(x g 都是0x x →时的无穷小量,如果当0x x →时,1)()(→x g x f 则称)(x f 、)(x g 在当0x x → 是两个等价无穷小,记为 )(x f ～)(x g （0x x →）我们从等价无穷小的定义可以知道,两个量要满足等价无穷小，必须满足两个条件： ① 极限0)(lim 0=→x f x x ,0)(lim 0=→x g x x ； ②当0x x →时,1)()(→x g x f . 3 等价无穷小代换定理在计算两个无穷小量的比的函数极限时,利用等价无穷小代换法则,常常可以简化极限的计算.定理1 设)(1x f 、)(2x f 、)(1x g 、)(2x g 在)(0x U ο内有定义,有)(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →）（i ）若A =→)()(lim 110x g x f x x , 则A ===→→→)()(lim )()(lim )()(lim 2112220x g x f x g x f x g x f x x x x x x(ii)若B =→)()(lim110x g x f x x , 则B ===→→→)()(lim )()(lim )()(lim 211222000x g x f x g x f x g x f x x x x x x（)(1x g 0≠ )(2x g 0≠）证明 （i ）因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →） 所以 1)()(lim 120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x则有A ==⋅⋅⋅=→→→)()(lim )()()()()()(lim)()(lim 111121122200x g x f x f x f x f x g x g x g x g x f x x x x x x同理可证得其他等式.（ii ）同样因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g （0x x →） 所以 1)()(lim 120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x则有B ===→→→)()(lim )()()()()()(lim )()(lim1121111222000x g x f x g x g x g x f x f x f x g x f x x x x x x 同理可证得其他等式.这是最重要的也是我们计算中常常用到的等价无穷小的代换定理,它在等价无穷小代换求极限中的应用最广泛.以下列举的题目也应用了这个定理. 4 9种常见等价无穷小的证明与应用 1. x sin ～x （0→x ）证明 我们在这里直接用文献[1]重的重要极限的证明结果,即1sin lim0=→xxx由等价无穷小的定义,可得x sin ～x （0→x ）例1 求极限 xxx 2sin lim0→解 由于0→x 时,x 2sin ～x 2, 所以原式=22lim 0=→xxx ,这个等价无穷小推而广之有以下 例2 求极限axbxx sin sin lim0→解 由于0→x 时,bx sin ～bx ,ax sin ～ax ,所以原式=ab ax bx x =→0lim2. x tan ～x （0→x ）证明 由于原式=xx x x cos 1sin lim 0⋅→ ，又 1cos 1lim0=→xx 所以 原式=1sin lim0=→xxx 由等价无穷小的定义得x tan ～ x （0→x ）例3 求极限 )sin(tan )tan(sin lim0x x x →解 由于0→x 时,两次运用x sin ～x ,x tan ～x ,所以原式=1lim sin tan lim00==→→xxx x x x2 这个等价无穷小关系可以推广，有以下例题4 例4 求极限 bxaxx tan sin lim0→解 由于0→x 时,ax sin ～ax ,bx tan ～bx ,原式=ba bx ax x =→0lim3.x cos 1-～221x （0→x ） 证明 由于1)2(21)2(2sin 2lim 212sin 2lim21cos 1lim2222022020=⋅⋅==-→→→x x x xx x x xx x x因为1)2()2(sin lim220=→xx x 所以原式=1,由等价无穷小的定义得x cos 1-～221x （0→x ）例5 试求极限xx x cos 1cos 1lim 20--→解 由于0→x 时 由4.3知x cos 1-～221x , 原式=2 例6 求极限 40)cos 1cos(1limx x x --→解 0→x 时,两次运用x cos 1-～221x ,原式=81)21(21lim 4220=→x x x4. x arctan ～x （0→x ）证明 令x t arctan =,则t x tan =,且当0→x 时,0→t , 有 1tan lim arctan lim 00==→→t t xx t x由等价无穷小的定义得x arctan ～x （0→x ）例7 求极限xx x x x cos 1arctanlim-∞→ 解 由于∞→x 时,x 1arctan～x1,原式=0)cos (11arctanlim=-∞→x x xxx 这个等价无穷小关系可以推广,有以下例题8 例8 求极限 axaxx arctan lim0→解 由于0→x 时,0→ax ,有ax arctan ～ax ,原式=1lim 0=→axaxx5． x arcsin ～x （0→x ）证明 令x t arcsin =, 则t x sin =,且当0→x 时,相当于0→t , 于是,有式子1sin lim arcsin lim00==→→ttx x x x由等价无穷小的定义,得x arcsin ～x （0→x ）例9 试求极限)1ln(1arcsinlim20x x xx --→解 由于0→x 时,012→-xx,则21arcsinxx -～21xx -,)1ln(x -～)(x -（式子的证明在后面给出）所以原式=11lim20-=--→xx xx 这个等价无穷小关系可以推广,如有以下例题10 例10 求极限 xxx 63arcsin 2lim0→解 设t x =3,由于0→x 时,0→t ,原式=12arcsin 2lim 0=→ttt 6． 1-xe ～x （0→x ）证明 令1-=xe u ,则)1ln(u x +=,并且当0→x 时,0→u ,由于)1ln(x +～x （式子的证明在后面给出），所以 原式=1lim )1ln(lim 1lim000==+=-→→→u uu u xe u u x x , 由等价无穷小的定义,得1-x e ～x （0→x ）例11 求极限 1cos 1lim20--→x e x x解 由于0→x 时,12-x e ～2x ,1cos -x ～)21(2x -,原式=221lim220-=-→x x x 例12 试求极限xxe x x cos 12arcsin )1(lim 20--→解 由于0→x 时,12-xe～x 2,x cos 1-～221x ,原式=82122lim 20=⋅→x x x x7． )1ln(x +～x （0→x ）证明 由于 1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ， 由等价无穷小的定义,得)1ln(x +～x （0→x ）例13 求极限 xx e e x x x cos 1)21ln()(lim 50-+-→解 由于原式=xx e e x x x cos 1)21ln()1(lim 40-+-→,由于0→x 时,14-xe ～x 4,)21ln(x +～x 2,x cos 1-～221x 所以原式=162124lim20=⋅→x xx e x x 例14 求极限 )1ln()cos 1cos(1lim40x x x +--→ 解 由于0→x 时,两次运用x cos 1-～221x ,)1ln(4x +～4x ， 所以原式=2421lim 440=⋅⋅→xx x8． 1)1(-+kx ～kx （0→x ）（+Z ∈k ）1)1(1-+kx ～x k1（0→x ）（+Z ∈k ） 证明 由于 k xx C x C kx lm x x k k k k x k x =-++++=-+→→111)1(lim2200Λ k x x x x x x k k k x kx 1)1()1(11)1(lim 1)1(lim11010=⎥⎦⎤++⎢⎣⎡+++-+=-+-→→Λ 由此可得kx )1(+～（kx （0→x ）（+Z ∈k ）(k x 1)1+～（x k1（0→x ）（+Z ∈k ） 例15 求极限 xx x cos 11)1(lim 220--+→解 由于0→x 时,1)1(22-+x ～22x ,x cos 1-～221x ， 原式=4212lim220=→x x x 例16 求极限 xx x sin 11lim 0-++→解 由于0→x 时,11-+x ～x 21,sin x ～x ，所以原式=2121lim 0=+→xxx 例17 已知11sin )(1lim 20--++→x x e x x ϕ=2,求)(lim 0x x ϕ→ 解 由于0→x 时,11-+x ～x 21,0sin )(→x x ϕ,12-x e ～x 2,x sin ～x 1sin )(1-+x x ϕ～x x sin )(21ϕ原式=2)(41lim 2sin )(21lim 00==++→→x xxx x x ϕϕ,所以)(lim 0x x ϕ→=29． 1-xα～αln x （0→x ） 证明 利用ααln x xe= ,于是可由1-xe ～x推出 αααln 1lim 1lim ln 00=-=-→→xe xx x x x 由此可得1-x α～αln x （0→x ）例18 试求极限 xx x 1limsin 0-→α解 令x t sin =,当0→x 时0→t ,1-tα～αln t ,t arcsin ～t 原式=1lim arcsin 1lim00==-→→ttt t t x α例19 )1(lim -+∞→n n a n （a >0）解 由于将+∞→n 改为连续变量+∞→x ,令xt 1=, 有 a ta t t e xea x t a t t a xx xx ln ln lim 1lim 11lim)1(lim 0ln 0ln 1==-=-=-→→+∞→+∞→ 又由函数极限与数列极限关系定理, 可得a a n n n ln )1(lim =-+∞→5 9种等价无穷小的推广定理及应用以上介绍了9种常用的等价无穷小,现在我们来看一下它的推广.有以下定理 定理2[2]设0)(lim 0=→x f x x ,当0x x →时,有以下等价关系成立)(sin x f ～)(x f )(tan x f ～)(x f )(cos 1x f -～2)(21x f )(arctan x f ～)(x f )(arcsin x f ～)(x f 1)(-x f e ～)(x f )](1ln[x f +～)(x f 1)](1[-+kx f ～)(x kf 1)](1[1-+kx f ～)(1x f k（+Z ∈k ） 1)(-x f α～αln )(x f定理2的证明与以上的9种等价无穷小的证明方法相似,我们不再一一进行证明了.其实我们以上列举的例题也间接或直接的应用了这个定理.下面我们就以上的定理来探讨一下定理在题目中的应用.例20 求极限)sin1(sin lim x x x -++∞→解 原式变形得)sin 1(sin x x -+=21cos 21sin2xx x x ++-+由于)1(21sin21sinx x x x ++=-+～)1(21x x ++（+∞→x ） )1(21cosO =++xx （+∞→x ）所以得0)sin 1(sin lim =-++∞→x x x例21 求极限1sin 1)cos 1cos(1lim22-+--→x x x x解 当0→x 时,1sin 122-+x x ～2sin 22x x ～,24x 两次运用x cos 1-～221x ,分子经过两次运用等价无穷小代换,得1sin 1)cos 1cos(1lim 220-+--→x x x x =41)2(lim 22)cos 1(lim 4220420==-→→x x x x x x 以上我们推广了9种等价无穷小,上面提到的定理和推论,可以说的确使得计算一部分题目变得简单快捷了.但在使用过程中我们也发现了一些问题.下面我们来看一个题目,究竟出现什么问题.例22 利用等价无穷小代换,求极限 30sin sin tan lim xxx x -→ 法1 解 原式变形得 )(sin cos )cos 1(sin lim30x x x x x -→,由于0→x 时x sin ～x x cos 1-～221x 3sin x ～3x所以,原式=2121lim cos 1lim 3200=⋅⋅→→xx x x x x法2 解 由于0→x 时,x sin ～x ,x tan ～x , 于是得出30sin sin tan limx x x x -→0lim 30=-=→xxx x 分析了以上的两种解法,我们判断出法2的解法是不正确的,.我们在利用等价无穷小代换求极限中相乘或相除的因式才能应用代换,而极限中分子或分母中是相加或相减则不能随意进行替代了.主要原因是：在同一极限过程中的α～'α、β～'β成立,但不一定有βα±～''βα±成立.有了这个问题的存在,我们就得分析研究了,经过分析,商极限中分子或分母是加减关系时,在满足一定条件时,也可以使用等价无穷小代换了.推论1[3]设)(1x f 、)(2x f 、)(1x g 、)(2x g 是同一过程的无穷小量,且有)(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g ,有)()(lim22x g x f 存在 (i)若)()(lim22x g x f 1≠,则有)()(11x g x f -～)()(22x g x f - (ii)若)()(lim22x g x f 1-≠,则有)()(11x g x f +～)()(22x g x f + 证明 （i ）因为 )(1x f ～)(2x f 、)(1x g ～)(2x g 所以 1)()(lim120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x)()(lim22x g x f 存在,则由等价无穷小代换定理知)()(lim 11x g x f =)()(lim 22x g x f , 又 11)()(1)()(lim )()()()(lim22112211=--=--x g x f x g x f x g x f x g x f , 所以 )()(11x g x f -～)()(22x g x f - （ii ）因为 )(1x f ～)(2x f )(1x g ～)(2x g 所以 1)()(lim120=→x f x f x x 1)()(lim 120=→x g x g x x由等价无穷小代换定理有)()(lim11x g x f =)()(lim 22x g x f ,又 11)()(1)()(lim )()()()(lim 22112211=++=++x g x f x g x f x g x f x g x f 所以有 )()(11x g x f +～)()(22x g x f +该推论表明,在同时满足等价无穷小代换的条件和推论中的条件)()(lim22x g x f 1μ≠,就会有)()(11x g x f ±～22)()(x g x f ±成立.下面我们应用推论研究几个题目例23 求极限xx e e xx x sin 2sin lim 30--→解 由于0→x 时, 1-xe ～x ,13-xe ～x 3,x sin ～x ,x 2sin ～x 2,且133lim0≠=→x x x ,122lim 0≠=→xx x ,由推论得,原式=223lim sin 2sin )1()1(lim030=--=----→→xx xx x x e e x x x x 例24 求极限)cos 1(sin tan 211lim 3440x x x x x x --++→解 由于0→x 时,114-+x ～421x ,12134--x ～)2(314x -,x tan ～x ,x cos 1-～221x ,又因为1313221lim440-≠-=-→x xx ,由推论可得 原式=31213221lim 3440-=⋅-→x x x x x 例25 求极限 12)2ln()1sin(lim 21+--+-→x x x x x 解 由于1→x 时,)1sin(-x ～)1(-x ,)]1(1ln[--x ～)1(-x ，有1)1(1lim 1-=---→x x x ,由推论这个题目不能用无穷小代换.题目可以用洛必达法则计算,在这不再计算.有例25,我们就得注意要是11)()(x g x f ±～22)()(x g x f ±成立,一定要使得极限中分子分母中相加或相减的式子满足22)()(limx g x f 1μ≠.6等价无穷小在幂指函数中的推广应用定理2[4]设)(x f 、)(1x f 、)(x g 、)(1x g 是同一过程的无穷小量,)(x f ～)(1x f 、)(x g ～)(1x g 且有0)(≠x g ,0)(1≠x f ，则有(i)=+→)(110)](1[lim x g x x x f =+→)(11)](1[lim 0x g x x x f =+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(1110)](1[lim x g x x x f +→(ii)如)(x f >0 )(1x f >0=→)()(lim 0x g x x x f =→)(1)(lim 0x g x x x f =→)(10)(lim x g x x x f )(110)(lim x g x x x f →证明 （i ）由于=+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(10)](1ln[lim x g x x x f e +→=)(10)](1ln[)()(lim x f x x x f x g x f e+→=e ex g x f x x =→)()(lim因为)()(limx g x f x x e→=)()(lim110x g x f x x e →=)(111110)](1ln[)()(limx f x x x f x g x f e+→=)(1)(1)(111)](1ln[lim x g x f x f x x x f e ⋅→+=)(111)](1ln[lim x g x x x f e +→=)(1110)](1[lim x g x x x f +→所以有=+→)(1)](1[lim 0x g x x x f )(1110)](1[lim x g x x x f +→同理可证得其他等式 （ii ）因为=→)()(lim 0x g x x x f =⋅⋅→)()()(ln)(lim 110x f x f x f x g x x e =+⋅→)](ln )()([ln)(lim 110x f x f x f x g x x e=⋅→)(ln )(lim 10x f x g x x e)(ln 11)(lim 10x f x g x x e⋅→又由于 )(ln 11)(lim 110x f x g x x e ⋅→==⋅→)(ln )(lim 110x f x g x x e=→)(110)]([ln lim x g x x x f e)(110)(lim x g x x x f →所以有=→)()(lim 0x g x x x f )(110)(lim x g x x x f →同理可证得其他等式以上定理给学生在计算幂指函数极限时带来了很大的方便.现在来看定理的应用.例26 求极限 xx x sin 10)31(lim +→解 当0→x 时,x sin ～x 所以原式=xx x 10)31(lim +→=3310])31[(lim x x x +→=3e例27 试求极限 xx xx cos 110)sin (lim -→解 当0→x 时,x cos 1-～221x ,1sin lim 0=→x x x 可以得 原式=220)sin (lim x x x x →, 由定理2，220)sin (lim x x xx →=e 2)1sin (2lim x x xx e -→=30)(sin 2limx x x x e-→=203)1(cos 2limx x x e-→==223)2(2limx x x e-→=31-e所以得x x xx cos 110)sin (lim -→=31-e 综上论述,可以看出,利用等价无穷小求极限,使计算过程简便快捷.以上论述,我们可以为初学极限运算者提供一种简便计算极限的方法,并系统地按照从简到繁、从易到难论述了这种求极限的计算方法.。
第7节 利用等价无穷小量代换求极限
常用等价无穷小量: 常用等价无穷小量: 当x → 0时, 时
sin x ~ x , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x , e − 1 ~ x,
x
1 2 1 − cos x ~ x . 2
用等价无穷小量可给出函数的近似表达式: 用等价无穷小量可给出函数的近似表达式 β α−β Q lim = 1, ∴ lim α = 0, 即 α − β = o(α ), α α
于是有 α = β + o(α ). α
例如, 例如 sin x = x +o( x ),
1 2 cos x = 1 − x + o( x 2 ). 2
tan x ln(1 + x ) 例1 求 lim x→0 sin x 2
解
当x → 0时, sin x 2 ~ x 2 , tan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x .
tan x ln(1 + x ) x⋅ x = lim 2 = 1. 2 所以 lim x→0 x→0 x sin x
tan 2 x 例2 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2
2
(2 x )2 原式 = lim =8 x →0 1 2 x 2
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
定理(等价无穷小量替换定理) 定理(等价无穷小量替换定理)
β′ β β′ , 设α ~ α′, β ~ β ′且lim 存在 则lim = lim . α′ α α′
证
β β β′ α′ lim = lim( ⋅ ⋅ ) α β′ α′ α β β′ α′ = lim ⋅ lim ⋅ lim α β′ α′ β′ = lim . α′
等价无穷小在求函数极限中的应用
等价无穷小在求函数极限中的应用当x→0时，sinx~x；tanx~x；arcsinx~x；arctanx~x；1-cosx~(1/2)*（x^2）；（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)；（e^x）-1~x；ln(1+x)~x；(1+bx)^a-1~abx；loga(1+x)~x/lna。
首先来看看什么是无穷小：无穷小就是以数零为音速的变量。
确切地说，当自变量x无限接近某个值x0(x0可以是0、∞、或是别的什么数)时，函数值f(x)与零无限接近，即f(x)=0(或f(x0)=0)，则称f(x)为当x→x0时的无穷小量。
比如，f(x)=(x－1)2就是当x→1时的无穷小量，f(n)=1/n就是当n→∞时的无穷小量，f(x)=sinx就是当x→0时的无穷小量。
特别必须表示的就是，切勿把不大的数与无穷小量混为一谈。
这里值得一提的是，无穷小是可以比较的：假设a、b都就是lim(x→x0)时的无穷小，如果lim b/a=0，就说b是比a高阶的无穷小，记作b=o（a）如果lim b/a=∞，就是说b就是比a低阶的无穷小。
比如b=1/x^2， a=1/x。
x-\ue无穷时，通俗的说，b时刻都比a更快地趋于0，所以称做是b高阶。
假如有c=1/x^10,那么c比a b都要高阶，因为c更快地趋于0了。
如果lim b/a^n=常数c≠0（k\ue0），就说道b就是关于a的n阶的无穷小， b和a^n就是同阶无穷小。
下面来介绍等价无穷小：从无穷小的比较里可以晓得，如果lim b/a^n=常数，就说道b就是a的n阶的无穷小，b和a^n就是同阶无穷小。
特定地，如果这个常数就是1，且n=1，即lim b/a=1，则表示a和b就是等价无穷小的关系，记作a～b等价无穷小在求极限时有重要应用，我们有如下定理：假设lim a～a'、b～b'则：lim a/b=lim a'/b'现在我们建议这个音速lim(x→0) sin(x)/(x+3)根据上述定理当x→0时 sin(x)～x (重要极限一) x+3～x+3 ，那么lim(x→0)sin(x)/(x+3)=lim(x→0) x/(x+3)=1等价无穷小就是无穷小之间的一种关系，所指的就是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的音速为1，则表示这两个无穷小就是等价的。
等价无穷小量在求函数极限中的应用 数学毕业论文
$$\\lim_{x\\to 0}\\frac{\\sin x}{x}\\sim \\lim_{x\\to 0}\\frac{x}{x}=1$$
这种化简方式可能更加简单直观，也更容易掌握。
例2：求$\\lim_{x\\to 0}\\frac{e^x-1}{x}$。
（1）若$\\lim_{x\\to x_0}f(x)=\\infty$，则对于任意正数$M$，存在正数$\\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\\delta$时，$f(x)>M$。
（2）若$\\lim_{x\\to x_0}f(x)=0$，则对于任意正数$\\epsilon$，存在正数$\\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\\delta$时，$|f(x)|<\\epsilon$。
定理1：若$f(x)\\sim g(x)$，并且$\\lim_{x\\to x_0}g(x)=L$（$L$为有限数或$\\infty$），则$\\lim_{x\\to x_0}f(x)=L$。
定理2：若$f(x)\\sim g(x)$且$h(x)\\sim k(x)$，则$\\lim_{x\\to x_0}f(x)h(x)=\\lim_{x\\to x_0}g(x)k(x)$。
这种化简方式可以使我们更加直观地看到极限的取值。
4.结论
本论文探讨了等价无穷小量在求解函数极限中的应用。我们首先回顾了无穷大和无穷小量的定义及其性质，然后介绍了等价无穷小量的定义和性质。最后，我们通过几个例子展示了等价无穷小量在求解函数极限中的应用。通过对等价无穷小量的理解和应用，我们可以更加简便、直观地求解函数极限，为更加深入掌握数学分析提供帮助。
解：当$x$取无穷大时，函数$\\sin x$具有周期性，因此我们无法通过传统的极限求解方式得到答案。我们可以将其变形为等价无穷小量的形式：
等价无穷小在解题中的应用
等价无穷小在解题中的应用工程与设计学院 数学111本摘要:本文重点研究解决极限问题中的等价无穷小的应用，在高等数学学习中这对于学习和解决极限问题的能力有促进作用．关键字:等价无穷小;极限;替换;应用1 引言极限理论与计算是高等数学的重要内容之一，而等价无穷小在求极限的运算过程中具有极好的性质．因此，必须掌握等价无穷小的概念并充分利用好的它的性质，可以使一些复杂的极限计算问题简单化，达到简化目的.比如，求这样一个极限问题，20(1cos )lim (1)sin x x x x e x →--,它是一个0型的不定式极限，若用洛必达法则求极限则原式=22201cos lim2cos (sin 2cos )x x x xsinx x x e x x x →-+-+,在对分子分母求一阶导后仍然是一个0型的极限，再用洛必达法则，对分子分母进行第二次求导，则原式=22222202sin cos lim2cos 4sin [(14)sin (42)cos ]x x x x xx x x e x x x x →+---++，显然二 阶导后依然是型不定式极限，继续求，计算过程将会相当繁琐，并且很难求出结果。
但是，若果用等价无穷小替换求此极限，则原式=2202lim x x x x x →⋅⋅=12．由上面的解题过程可见，在用等价无穷小替换求解两步即可，明显优于洛必达法则求极限．所以在求解函数极限的过程中必须熟练并准确运用等价无穷小性质解题，便可达到事半功倍的效果。
本文就是通过对等价无穷小概念及其性质的理解，讨论等价无穷小在乘除运算、和差运算、幂指函数、变上限积分和级数敛散性中极限函数的应用及其相关注意点．2 等价无穷小在解题中的应用2.1 等价无穷小在乘除极限运算中的代换根据等价无穷小的定义,在求0型的乘除式极限里,其因子可用等价因子代替,极限不变.下面给出最常用的等价关系: 当0x →时()si n t an arct an arcsi n ln 1x x x x x x +()1111ln bxxx a e a b+--- （其中a >0,0b ≠）.还有()211cos 2x x - 定理[1]1 设函数(),(),()f x g x h x 在00()U x 上有定义，且有0()~()()f x g x x x →.（1）若0lim ()()x x f x h x A →=，则0lim ()()x x g x h x A →=；（2）若0()lim()x x h x B f x →=，则0()lim ()x x h x B g x →=.证 （i ）0()lim ()()limlim ()()1()x x x x x x g x g x h x f x h x A A f x →→→=⋅=⋅=. （ii ）000()()()limlim lim 1()()()x x x x x x h x h x f x B B g x f x g x →→→=⋅=⋅=. 例1 求0arctan limsin 4x xx→.解 由于()arctan 0x x x → ,sin 44x x ()0x →.故由定理1得0arctan 1limlim sin 444x x x x x x →→∞==.例2 利用等价无穷小代换求极限30tan sin limsin x x xx →-.解 由于()sin tan sin 1cos cos xx x x x-=- ,而()sin 0x x x → ()2,1cos 0,2x x x -→ ()33sin 0x x x → .故有30t a n s i n l i m sin x x x x →-23112cos 2x x x x ⋅=⋅= . 2.2等价无穷小在和差运算中的代换对型乘除运算求极限,利用等价无穷小代换简便而有效.而对加减运算则需格外谨慎. 如，在利用等价无穷小代换求极限时,应注意:只有对所求极限中相乘或相除的因子才能用等价无穷小替换,而对极限式中相加或想减的部分则不能随意替换.如在例4中,若因有()t a n 0,x x x → ()s i n 0x x x → ,而推出3tan sin limsin x x x x →-=30lim 0sin x x xx →-=,则得到的是错误的结果 下面定理给出了加减运算求极限是施行等价无穷小代换的条件. 定理[3]2设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0limx x fg→存在,但不等于-1,则11f g f g ++ ()0x x →.证 需证011lim 10x x f g f g →⎛⎫+-= ⎪+⎝⎭或()011lim 0x x f g f g f g →+-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭.因为()11f g f g f g+-++=11f fg g f g f g --+++, 注意到0lim1x x fg→≠-,故有 00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx f f f f f f g f g g f f f →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭,00001111limlim lim 01lim 1x x x x x x xx g g g g g g f f g f g gg →→→→---===+⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.注 显然条件0lim1x x fg →≠-可换为011lim 1x x f g →≠-.易知若无穷小f 与g (或1f 与1g )同时为正(负),且极限0limx x fg →或011lim x x f g →存在,则11f g f g ++ ()0x x →. 推论 1. 设11,,,f f g g 均为0x x →时的无穷小函数,且11,f f g g ,0lim x x fg→存在,但不等于1,则11f g f g -- ()0x x →.由定理1同理可证 推论2 设1111,,,,,,,f f g g h h k k 均为0x x →时的无穷小函数,且1111,,,f f g g h h k k ,0limx x fg →0,lim x x h k →存在,但不等于1,则0lim x x f g h k →--=01111lim x x f g h k →--.若不等于-1,则0limx x f g h k →++=01111lim x x f g h k →++. 推论2可有定理2和推论1直接证得 例3 求 ()0tan sin sin 2limtan 2arcsin 2x x xx x→+-.解 因为0x →是()tan sin x x ,tan x x ,2arcsin 24x x -- ,且()0tan sin 1lim1sin 22x x x →=≠-,01lim 144x x x →=-≠--, 所以 原式=02lim14x x xx x→+=--.例4求0x → 解 因为0x →时,1→1,由拉格朗日中值定理导出的若干等价代换)e e αβαβαβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭可得原式=()01tan sin 2lim 2tan sin x x x x x→+- ()012lim 21.x x x x x →+=-=. 例5 求2320sin 1cos lim.1cos tan x x xx x→+--- 解 由等价关系可得()31cos 31cos x x -- ,且20s i n l i m 1.1c o s x x x →≠-- ()2031cos lim1.tan x x x →-≠ 所以 原式=()222012lim 31cos x x x x x →+--202232lim1323.x x x x →=⋅-=例6 求()()()01cos 2lim.tan 2sin sin 2xx x xx x x x →+---解 由于()()ln 11xx x x e++=,()()ln 11ln 1x xe x x +-+ ,()211cos 222x x -且 ()()0002ln 1tan 2sin 2lim1,lim 1,lim 1.1sin 22x x x x x x xx xx →→→+≠-≠≠ 所以 原式=()()()ln 1011cos 2lim .tan 2sin sin 2x xx e xx x x x +→-+---=()()221ln 122limx x x x x →++=22202lim3.x x x x →+=2.3等价无穷小在幂指函数极限中的代换定义[4]1设f ，g ：A R R ⊆→是两个函数，且x A ∀∈，()0f x >，则称形如()()g x f x 的函数为幂指函数.幂指函数与对数的转换公式()()g x f x =()()ln g x f x e.在求函数极限过程中，常常会碰到00、1∞和0∞三种不定式极限问题，若能在这些幂指函数求极限过程中，利用等价无穷小代换,可将复杂问题简单化。
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lim sin x 2 x0 1 cos x
2
1 ，所以
lim
x0
sin
x
2
(1 sin 2
x
cos
x)
x2 lim
x0
1 x2 2
x2
1． 2
注 当 与 等价，则未必有 ~ ．
以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定 条件即可． 3.2 含变上限积分函数的等价无穷小替换
x
arcsin tdt ~
x
ln(1 t)tdt ~
x (et 1)dt ~ 1 x 2 ，
0
0
0
0
0
2
x (1 t) 1 dt ~ x2 ， x (1 cos x)dt ~ 1 x3 ．
0
2
0
6
例6
tan2 x
ln(1 t)dt 求极限 lim 0
x0 1 x 4 1
替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．
例1
求极限 lim x0
x(1 (1 e x
cos x) ) sin x 2
．
解 当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x 2 ，1 e x ~ x ， sin x 2 ~ x 2 ，因此 2
lim
x0
x(1 (1 e x
2
22
注意 x 0 时，1 cos(x 1 cos x ) ~ 1 x 2 (1 cos x) ~ 1 x 4 ．用到了性质 3．
2
4
利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小
因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在
加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．
关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，
只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无
穷小替换作一些补充．
性质 4
设
~ ，
~
，且
lim
C ，若 C
1，则
~ ；
若 C 1 ，则
~．
性质 7 在自变量同一变化过程中，、 、、 均为无穷小量，若 ~ ，
1
1
1
~ 且 lim(1 ) A ，则 lim(1 ) lim(1 ) A ．
证明
1
lim(1 )
lim
e
1
ln(1
)
e lim
1
ln(1
)
e lim
e e lim
lim
ln(1
)
lim e
ln(1 )
1
lim(1 )
．
1
例 8 求极限 lim(1 tan x) ln(1x) ． x0
解 当 x 0 时， tan x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，所以
解 由于当 x 0 时， 1 x 4 1 ~ 1 x 4 ， ln(1 x) ~ x ， 2
lim
x0
tan 2 x
ln(1 t)dt
0
1 x4 1
lim x0
tan 2 x
tdt
0
1 x4
lim
x0
tan
2
x
2 tan 2x3
x
sec2
x
lim
x0
解 当 x 0 时， tan x ~ x ， sin x ~ x ， lim 3 tan x lim 3x 3 1，所以 x0 2 sin x x0 2x 2
lim 3 tan x 2sin x lim 3x 2x 1 ．
x0 sin 3x
x0 3x
3
例4
求极限 lim x0
1
作用．但并不是所有的1 型极限都要化为 lim(1 ) 的形式来求极限．
3.4 利用泰勒公式构造等价无穷小来求极限
在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的，这里补充一些新的等价无穷
小，同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的加减运算问题，通过恒等变
形的方法直接转化为能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大
tan 2x 2 x 2 sin x 2 3x 2
．
解
当 x 0 时， tan 2x 2
~ 2x 2 ， sin x 2
~
x
2
，
lim
x0
tan 2x x2
2
lim
x0
2x2 x2
2 1，
lim
x0
sin x 3x 2
2
lim
x0
x2 3x 2
1 3
1 ，所以
lim
6
6
tan x x ~ 1 x3 ， tan x x 1 x3 ~ 2 x5 ，1 cos x 1 x 2 ~ 1 x 4 ，
3
3 15
2
24
e x 1 x ~ 1 x 2 ， ln(1 x) x ~ 1 x 2 ， (1 x) 1 x ~ ( 1) x 2 (为常数) ．
证明
若C
1， lim
lim
1
lim
1
，因为 ~，
所以 lim
1
，又由定理
2，lim
lim
C
，所以
lim
lim
C C
1 1
1，
即 ~ ．
x0
tan sin
2x2 x2 x2 3x2
lim
x0
2x x2
2 x2 3x2
lim
x0
x2 4x2
1． 4
例5
求极限
lim
x0
sin
x
2
(1 sin 2
x
cos
x)
．
解 因为当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x 2 ， sin x 2 ~ x 2 ， sin 2 x ~ x 2 ，且 2
一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题 简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小 因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提 及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限 的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质
性质 5 设 (x) ， (x) 为 x x0 时的无穷小量， (x) ~ (x) ，且 (x) 与 (x)
在 0，x上连续，则有
x (t)dt ~ x (t)dt ．
0
0
证明
因为 lim x0
x (t)dt
0
x (t)dt
lim
x0
推论
设
~ ，
~
，
~ ，
~
，且
lim
a b
1
，
lim
c d
1 ，
a
，b
，c
，d
为常数，则当
lim
a c
b d
存在时，有
lim
a b c d
lim
a c
b d
．
例 3 求极限 lim 3 tan x 2sin x ． x0 sin 3x
推进一步．
事实上利用泰勒公式就可以构造出一系列新的等价无穷小．例如求 x sin x
的等价无穷小，由于 sin x x 1 x3 …，从而有 x sin x 1 x3 …，于是得到
3!
6
x sin x ~ 1 x3 ． 6
同理，当 x 0 时，用泰勒公式可得：sin x x ~ 1 x3 ， arcsin x x ~ 1 x3 ，
x0
x0
0
x ln 2dt x ln 2 ， 0
x te 2t dt ~
0
x
tdt
0
1 2
x 2 ，所以 lim x0
(
x ln(2 t)dt)2
0
x te 2t dt
0
lim (x ln 2)2 x0 1 x 2 2
2(ln 2)2 ．
3.3 幂指函数的等价无穷小替换 对于1 型函数求极限，当满足一定条件时，可以根据以下定理求解．
o( ) ．
性质 2
设
~
，
~
，且 lim
存在，则
lim
lim
．
性质 3 ~ ， ~ (x a) ~ (x a) ．
3 等价无穷小在求函数极限中的应用
3.1 含四则运算的等价无穷小替换
定理 2 表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代
0