等价无穷小在求函数极限中的应用

一类重要的方法．在求极限时，灵活运用等价无穷小，往往会使一些复杂的问题 简单化．但现在的高等数学和数学分析教材中，只给出积、商运算中等价无穷小 因子的替换规则，对四则运算、变上限积分及幂指运算等广泛使用的情况未能提 及．本文作了一个比较系统和全面的总结及适当的拓展，并对等价无穷小求极限 的优势和常见错误举例分析，以加深对等价无穷小性质的认识和理解． 2 等价无穷小的定义及性质
cos x) ) sin x
2
＝ lim x0
x 1 x2 2
x x2
＝
1 2
．
例 2 求极限 lim
ex4 1
．
x0 1 cos(x 1 cos x )
解 lim
ex4 1
＝ lim
x4
lim x 4
4．
x0 1 cos(x 1 cos x ) x0 1 x 2 (1 cos x) x0 1 x 2 1 x 2
定义 1 如果函数 f (x) 当 x x0 (或 x )时的极限为零，那么称函数 f (x) 为当 x x0 (或 x )时的无穷小．
定义 2 设 f (x) 与 g(x) 都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且
g(x) 0 ，如果 lim f (x) 1 ，就说 f (x) 与 g(x) 是等价无穷小，记作 f (x) ~ g(x) ． g(x)
证明
若C

1， lim


lim

1


lim


1


，因为
~

，


所以 lim

1
，又由定理
2，lim


lim



C
，所以
lim





lim
C C

1 1

1，
即 ~ ．
lim sin x 2 x0 1 cos x

2

1 ，所以
lim
x0
sin
x
2
(1 sin 2
x
cos
x)
x2 lim
x0
1 x2 2
x2

1． 2
注 当 与 等价，则未必有 ~ ．
以上三例说明了加减运算并不是绝对不能作等价无穷小替换，只要满足一定 条件即可． 3.2 含变上限积分函数的等价无穷小替换
同理，若 C

1
，lim




lim

1


lim


1




lim
C C
1 1
1，


即 ~ ．
定理 3 说明，在求极限时，若某个因子是两个无穷小之差（或和）时，只要
这两个无穷小不等价，这个因子就可以用相应的等价无穷小之差（或和）替换．
关于加减运算能否用等价无穷小来替换求极限，很多教材上都没有涉及到，
只是强调加减情况不能随意使用，这就会使人产生困惑，下面就加减项的等价无
穷小替换作一些补充．
性质 4
设
~ ，
~


，且
lim

C ，若 C
1，则

~ ；
若 C 1 ，则
~．
解 当 x 0 时， tan x ~ x ， sin x ~ x ， lim 3 tan x lim 3x 3 1，所以 x0 2 sin x x0 2x 2
lim 3 tan x 2sin x lim 3x 2x 1 ．
x0 sin 3x
x0 3x
3
例4
求极限 lim x0
2 sin 3 x 2x3 cos5 x

1．
2
性质 6 若 lim f (x) A( A 0) ， f (x) 与 g(x) 在 0，x上连续，则 x0
x f (t) g(t)dt ~ x A g(t)dt ．
0
0
证明
lim
x0
x f (t) g(t)dt
x
arcsin tdt ~
x
ln(1 t)tdt ~
x (et 1)dt ~ 1 x 2 ，
0
0
0
0
0
2
x (1 t) 1 dt ~ x2 ， x (1 cos x)dt ~ 1 x3 ．
0
2
0
6
例6
tan2 x
ln(1 t)dt 求极限 lim 0
x0 1 x 4 1
0
x A g(t)dt
lim x0
f
(x) g(x) A g(x)

1．
0
例7
( x ln(2 t)dt)2
求极限 lim 0 x0
x te 2t dt
．
0
解 因为 lim ln(2 x) ln 2 ， lim e2x 1，所以当 x 0 时， x ln(2 t)dt ~
解 由于当 x 0 时， 1 x 4 1 ~ 1 x 4 ， ln(1 x) ~ x ， 2
lim
x0
tan 2 x
ln(1 t)dt
0
1 x4 1
lim x0
tan 2 x
tdt
0
1 x4

lim
x0
tan
2
x

2 tan 2x3
x
sec2
x

lim
x0
替．因此，如果用来代替的无穷小选得适当的话，可以使计算简化．
例1
求极限 lim x0
x(1 (1 e x
cos x) ) sin x 2
．
解 当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x 2 ，1 e x ~ x ， sin x 2 ~ x 2 ，因此 2
lim
x0
x(1 (1 e x
tan 2x 2 x 2 sin x 2 3x 2
．
解
当 x 0 时， tan 2x 2
~ 2x 2 ， sin x 2
~
x
2
，
lim
x0
tan 2x x2
2

lim
x0
2x2 x2
2 1，
lim
x0
sin x 3x 2
2

lim
x0
x2 3x 2

1 3

1 ，所以
lim
性质 5 设 (x) ， (x) 为 x x0 时的无穷小量， (x) ~ (x) ，且 (x) 与 (x)
在 0，x上连续，则有
x (t)dt ~ x (t)dt ．
0
0
证明
因为 lim x0
x (t)dt
0
x (t)dt

lim
x0

o( ) ．
性质 2
设
~
，

~

，且 lim

存在，则
lim

lim


．
性质 3 ~ ， ~ (x a) ~ (x a) ．
3 等价无穷小在求函数极限中的应用
3.1 含四则运算的等价无穷小替换
定理 2 表明求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来代
x0
tan sin
2x2 x2 x2 3x2

lim
x0
2x x2
2 x2 3x2

lim
x0
x2 4x2
1． 4
例5
求极限
lim
x0
sin
x
2
(1 sin 2
x
cos
x)
．
解 因为当 x 0 时，1 cos x ~ 1 x 2 ， sin x 2 ~ x 2 ， sin 2 x ~ x 2 ，且 2
6
6
tan x x ~ 1 x3 ， tan x x 1 x3 ~ 2 x5 ，1 cos x 1 x 2 ~ 1 x 4 ，
3
3 15
2
24
e x 1 x ~ 1 x 2 ， ln(1 x) x ~ 1 x 2 ， (1 x) 1 x ~ ( 1) x 2 (为常数) ．
1
1
lim(1 tan x) ln(1x) lim(1 x) x e ．
x0
x0
1
例 9 求极限 lim(cos x) ln(1x2 ) ． x0
1
1
解 lim(cos x) ln(1x2 ) lim(1 cos x 1) ln(1x2 ) ，当 x 0 时，cos x 1 ~ 1 x 2 ，
1
作用．但并不是所有的1 型极限都要化为 lim(1 ) 的形式来求极限．
3.4 利用泰勒公式构造等价无穷小来求极限
在加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的，这里补充一些新的等价无穷
小，同时开辟一条新途径把不能用等价无穷小替换的加减运算问题，通过恒等变
形的方法直接转化为能用等价无穷小替换，把利用等价无穷小求极限的方法大大
推论
设
~ ，
~
，
~ ，
~


，且
lim
a b

1
，
lim
c d

1 ，
a
，b
，c
，d
为常数，则当
lim
a c
b d
存在时，有
lim
a b c d

lim
a c
b d
．
例 3 求极限 lim 3 tan x 2sin x ． x0 sin 3x
性质 7 在自变量同一变化过程中，、 、、 均为无穷小量，若 ~ ，
1
1
1
~ 且 lim(1 ) A ，则 lim(1 ) lim(1 ) A ．
证明
1
lim(1 )

lim
e
1
ln(1
)
等价无穷小在求函数极限中的应用
XX (XX 学院 XX 学院 山西 XX )
摘要：等价无穷小替换是求函数极限的常用方法之一，本文讨论了等价无穷 小在四则运算、变上限积分、幂指运算中的应用，并通过实例分析了等价无穷小 求极限的优势及常见错误．
关键词：等价无穷小；替换；极限
1 引言 在微积分中极限处于十分重要的地位，极限求法众多，而等价无穷小替换是

e lim
1
ln(1
)


e lim
e e lim
lim
ln(1
)

lim e
ln(1 )

1
lim(1 )
．
1
例 8 求极限 lim(1 tan x) ln(1x) ． x0
解 当 x 0 时， tan x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，所以
x0
x0
2
ln(1 x 2 ) ~ x 2 ，所以
1
lim(1 cos x 1) ln(1x2 )

lim(1

1
x
2
)
1 x2

lim(1

1
x2
2
) x2
( 1 ) 2
1
e 2．
x0
x0
2
x0
2
在求解1 型的幂指函数的极限时，运用这个定理可减少计算量，起到简化的
常用的等价无穷小： 当 x 0 时， sin x ~ x ， arcsin x ~ x ， tan x ~ x ， arctan x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
ex
1
~
x ，1 cos x
~
1
x2
， (1
1
x) n
1 ~
1
x．
2
n
关于等价无穷小，有三个重要性质：
性质 1 与 是等价无穷小的充分必要条件为
推进一步．
事实上利用泰勒公式就可以构造出一系列新的等价无穷小．例如求 x sin x
的等价无穷小，由于 sin x x 1 x3 …，从而有 x sin x 1 x3 …，于是得到
3!
6
x sin x ~ 1 x3 ． 6
同理，当 x 0 时，用泰勒公式可得：sin x x ~ 1 x3 ， arcsin x x ~ 1 x3 ，
x0
x0
0
x ln 2dt x ln 2 ， 0
x te 2t dt ~
0
x
tdt
0

1 2
x 2 ，所以 lim x0
(
x ln(2 t)dt)2
0
x te 2t dt
0
lim (x ln 2)2 x0 1 x 2 2
2(ln 2)2 ．
3.3 幂指函数的等价无穷小替换 对于1 型函数求极限，当满足一定条件时，可以根据以下定理求解．
2
22
注意 x 0 时，1 cos(x 1 cos x ) ~ 1 x 2 (1 cos x) ~ 1 x 4 ．用到了性质 3．
2
4
利用等价无穷小因子替换求极限，可以大大减少计算量，但利用等价无穷小
因子替换求极限应注意在求极限的乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，在
加减运算中，等价无穷小的替换是有条件的．
( (
x) x)
1 ，所以
x (t)dt
0
~
x (t)dt ．
0
0
利用定理 4，在求解有关积分上限函数的极限时可简化很多步骤．
注
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当 x 0 时，常用的变上限积分的等价无穷小有
x
tdt ~
x
sin tdt ~
0
0
x
tan tdt ~
x
arctan tdt ~