离散余弦变换

设f为一个N点的离散信号序列，可以用一个N 1 的 列向量表示，F为频域中一个 N 1的列向量。N N的矩阵 C为离散余弦变换矩阵，一维离散余弦变换表示为
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二维离散余弦变换为 正变换
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4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
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4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
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4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
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4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
结果分析： 离散余弦变换具有信息强度集中的特点。图像进行
DCT变换后，在频域中矩阵左上角低频的幅值大而右下 角高频幅值小，经过量化处理后产生大量的零值系数， 在编码时可以压缩数据，因此DCT被广泛用于视频编码 图像压缩。
M 1 N 1
f (x, y)
MN x0 y0
它反映了原始图像的平均亮度。
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4.1.2 离散傅里叶变换
（2）对大多数无明显颗粒噪音的图像来说，低频区集中 了85％的能量，这一点成为对图像变换压缩编码的理论根据， 如变换后仅传送低频分量的幅值，对高频分量不传送，反变 换前再将它们恢复为零值，就可以达到压缩的目的。
换对。
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4.2.2 二维离散余弦变换
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4.2.2 二维离散余弦变换
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4.2.3 离散余弦变换的矩阵表示
二维离散余弦变换具有系数为实数，正变换与逆变 换的核相同的特点。离散余弦变换是一种正交变换。 为了分析计算方便，还可以用矩阵的形式来表示。
DCT是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅 里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)，但是只 使用实数。
离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里 叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的 (因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)。
(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其 他元素根据其位置，表示不同频率的交流分量。
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4.2.1 一维离散余弦变换
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4.2.1 一维离散余弦变换
式中 F(u)是第u个余弦变换系数，u是广义频率变
量，u 1,2,...N 1；f (x) 是时域N点序
列，x 0,1,2,...,N 1 ；两式构成了一维离散余弦变
4.1.2 离散傅里叶变换
4. 数字图像傅里叶变换的频谱分布和统计特性 1)数字图像傅里叶变换的频谱分布
数字图像的二维离散傅里叶变换所得结果的频率成分如 图4.10所示，左上角为直流成分，变换结果的四个角的周围 对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。为了便于观察 谱的分布，使直流成分出现在窗口的中央，可采用图示的换 位方法，根据傅里叶频率位移的性质，只需要用f(x，y)乘上 因子进行傅里叶变换即可实现，变换后的坐标原点移动到了 窗口中心，围绕坐标中心的是低频，向外是高频。
（3）图像灰度变化缓慢的区域，对应它变换后的低频分 量部分；图像灰度呈阶跃变化的区域，对应变换后的高频分 量部分。除颗粒噪音外，图像细节的边缘、轮廓处都是灰度 变化突变区域，它们都具有变换后的高频分量特征。
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4.2 离散余弦变换
数字图像处理中的正交变换，除了傅里叶变换以外， 还经常用到离散余弦变换（Discrete Cosine Transform，DCT)。
且各行各列的谱对中心点是共轭对称的，利用这个特性，在
数据存储和传输时，仅存储和传输它们中的一部分，进行逆
变换恢复原图像前，按照对称性补充另一部分数据，就可达
到数据压缩的目的。
2）图像傅里叶变换的统计分布
（1）傅里叶变换后的零频分量F（0，0），也称作直流分
量，根据傅里叶变换公式有：
F(0,0)
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4.1.2 离散傅里叶变换
图4.10 二维傅里叶变换的频谱分布
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4.1.2 离散傅里叶变换
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图4.11 频率位移示例 3
4.1.2 离散傅里叶变换
图4.11为二维离散傅里叶变换的频率位移特性。围绕坐 标中心的是低频，向外是高频，频谱由中心向周边放射，而
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4.2 离散余弦变换
对信号和图像进行有损数据压缩。 离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性。 大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量
都集中在离散余弦变换后的低频部分。
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DCT的步骤
分块：在对输入图像进行DCT前，需要将图 像分成子块。
变换：对每个块的每行进行DCT变换，然后 每列进行变换。得到的是一个的变换系数矩阵。