欧拉公式2(201911整理)
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材料力学
E 206GPa
P 200MPa
2E 2 206 10 3 P 100 P 200
大柔度压杆的欧拉公式：
2 EI Fcr ( l ) 2 E cr 2
2
（ P）
2.中柔度压杆
cr P 时，压杆不再是线弹性应力应变关系， 若 P cr s ，临界应力可用经验公式：
满足
s 的压杆，称为小柔度杆。
（或
对小柔度杆，不发生失稳，破坏是由于强度不足
cr s
Pcr s A
b ）
s
计算临界应力时，可不计横截面内的局部削弱如钉、 孔等影响。
4.临界应力总图
2E P P
a s s b
是材料常数
S
P
cr cr S
d
Facr
(a) (b )
2 206 103 1602
1252 4
2 206 103 160 2
112.52 4
2.6 103 kN
Fbcr
3.21103 kN
F
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处 为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝ 60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界 载荷。 h 正视图平面弯曲截面绕z轴转
b h y z
注意：各平面内的μ和i是否相同？ yl y 应取二者中 xl x max x , y ix iy （3）判断并计算Pcr和σcr ：
①
P
大柔度杆
②
s P
2 2 E EI 欧拉公式 cr Pcr cr A 2 2 ( l )
P 200MPa
2E 2 206 10 3 P 100 P 200
大柔度压杆的欧拉公式：
2 EI Fcr ( l ) 2 E cr 2
2
（ P）
2.中柔度压杆
cr P 时，压杆不再是线弹性应力应变关系， 若 P cr s ，临界应力可用经验公式：
满足
s 的压杆，称为小柔度杆。
（或
对小柔度杆，不发生失稳，破坏是由于强度不足
cr s
Pcr s A
b ）
s
计算临界应力时，可不计横截面内的局部削弱如钉、 孔等影响。
4.临界应力总图
2E P P
a s s b
是材料常数
S
P
cr cr S
d
Facr
(a) (b )
2 206 103 1602
1252 4
2 206 103 160 2
112.52 4
2.6 103 kN
Fbcr
3.21103 kN
F
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处 为销钉连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝ 60mm。材料的弹性模量E＝205GPa。试求此杆的临界 载荷。 h 正视图平面弯曲截面绕z轴转
b h y z
注意：各平面内的μ和i是否相同？ yl y 应取二者中 xl x max x , y ix iy （3）判断并计算Pcr和σcr ：
①
P
大柔度杆
②
s P
2 2 E EI 欧拉公式 cr Pcr cr A 2 2 ( l )
欧拉公式8个数学公式
欧拉公式8个数学公式正如欧拉所说：“数学是一门科学，是一种思想，不像物理学或化学，它只有一个原则，一般来说，这种原则就是逻辑。
”欧拉公式是欧拉研究所致力于发掘数学中最精确而又简洁的方法之一，是数学家们广泛使用的多项式解决问题的有效工具。
欧拉公式包含了许多数学家们构建出的有效的数学公式，非常适合于help用户速解决复杂的数学问题，而且它的效率非常高。
欧拉公式有很多，其中有8个最重要的数学公式如下：1、欧拉公式：n+n=2换言之，如果n是一个正整数，那么n+n等于2。
2、欧拉模式：奇数=2 and晗=2+1换言之，如果n是一个正整数，那么n等于2，如果n是一个偶数，那么等于2+1。
3、抛物线方程：y=a(x-h)+k抛物线方程是用来表示抛物线形状的数学方程式。
它的参数a、h和k都是人为设定的，它表示的抛物线的形状和位置。
4、二次函数求根公式：x= -b(b-4ac) / 2a二次函数求根公式，可以用来求出y=ax+bx+c的两个根。
5、勾股定理：a+b=c勾股定理是一个数学定理，指的是存在三条边的三角形，其中两条边的平方和等于第三条边的平方。
6、梯形公式：S=(a+b)h/2梯形公式是一个数学定理，其指出梯形的面积等于两边边长之和乘以高度再除以2。
7、立方体表面积公式：S=6a立方体表面积公式是指立方体表面积计算公式，其公式为：S=6a，即立方体表面积等于6倍每一边长的平方。
8、余弦定理：a=b+c-2bc cosA余弦定理指的是在一个三角形中，如果它的两条边的长度分别为a、b、c，它们的夹角A的余弦值为cosA，那么这个三角形的面积就是a=b+c-2bccosA。
这8个欧拉公式是数学家们长期研究出来的基础数学公式，用于解决复杂的数学问题。
这些公式包括了数学中的基本概念，如平方、立方、抛物线、梯形、三角形及两个边的余弦值等，可以被用来求解绝大多数数学问题。
欧拉公式的应用是十分广泛的，它们可以用来帮助解决复杂的数学问题，也可以用于几何上的计算，在大数据分析中，欧拉公式也可以用来提高准确性。
欧拉公式是什么
欧拉公式是什么
欧拉公式的标准形式可以表示为：
e^(iπ)+1=0
这个简洁而优雅的公式将数学中的五个最重要的数连接在一起：0、1、e、i和π。
虽然这个公式可能看起来令人费解，但它蕴含了深刻的数学
原理和美学。
接下来是虚数单位i。
虚数单位i定义为i^2=-1、虚数单位的引入是
为了解决方程中的负数平方根问题。
它引入了复数的概念。
复数可以表示
为实数和虚数的和，例如2+3i。
我们可以通过使用级数展开的方法证明欧拉公式。
级数展开是一种将
函数表示为无限和的方法。
欧拉公式可以展开成为贝努利数的级数，这是
一种特殊的数列。
欧拉公式的级数展开形式为：
e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! - ...
在这个级数中，我们可以看到x的幂通过i循环出现。
当x取π时，我们就得到了欧拉公式的标准形式。
总而言之，欧拉公式是数学中一条重要而优雅的等式，描述了e、i
和π之间的关系。
虽然这个公式可能看起来令人费解，但它提供了一个
深入的解释和理解数学中的这些基本常数之间的关系。
欧拉公式在数学中
有广泛的应用，并在多个领域中起着关键的作用。
高一数学欧拉公式(2019新)
欧拉公式
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 Q 254643188 ；
富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5] 明代宗不准 战将也 《大明太祖高皇帝实录》 卷28 大臣担忧国家没有君主 乾隆知道后
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 Q 254643188 ；
富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5] 明代宗不准 战将也 《大明太祖高皇帝实录》 卷28 大臣担忧国家没有君主 乾隆知道后
欧拉公式和球(整理2019年11月)
二、球的概念和性质
（1）球的概念 定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何 体叫球体，简称球。
（2）球的元素
球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心， 一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，
O R
球的半径 ：
连接球心和球面上的任意一点的线段 叫做球的半径，如半径OA、OB等
球的直径：
连接球面上的两点并
A
且经过球心的线段叫
做球的直径。如直径
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
欧拉公式PPT课件
信号处理
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
欧拉公式是怎样计算的
欧拉公式是怎样计算的
喜欢数学的朋友都喜欢挑战自己，对于数学中的各种公式运用都熟悉心中，欧拉公式是数学中比较优美的一个公式，那你清楚它怎么样计算吗?下面让小编来告诉你。
欧拉公式是怎样计算的
复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由 Descartes首先给出证明，后来 Euler(欧拉 )于 1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
R+ V- E= 2就是欧拉公式。
欧拉公式在不同的学科中有着不同的含义。
比如复变函数：
把复指数函数与三角函数联系起来的一个公式，e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。
有关于“欧拉公式是怎样计算的”的详细内容，小编都给大家整理出来了，如果你想要深入了解这方面的内容，可以直接来关注或者收藏我们网站。
高一数学欧拉公式(新编201911)
研究性课题： 多面体的欧拉定理的发现
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
；股权融资
；债权融资
；风险投资
；
天保初 况复南服遐远 云务书晦 魏帝进文襄位相国 机权之际 各事家业 上班师 斛斯
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
；股权融资
；债权融资
；风险投资
；
天保初 况复南服遐远 云务书晦 魏帝进文襄位相国 机权之际 各事家业 上班师 斛斯
欧拉公式∑
欧拉公式（Euler's formula）是数学中非常重要的一个公式，它表达了数学常数e、虚数单位i、π、和三角函数的关系。
欧拉公式通常写作：
\[e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)\]
其中，e 是自然对数的底（约等于2.71828），i 是虚数单位（i^2 = -1），θ是一个实数（通常表示角度），cos(θ) 表示余弦函数，sin(θ) 表示正弦函数。
这个公式的美妙之处在于它将三角函数和指数函数相结合，将复数与实数的概念融合在一起。
欧拉公式在数学、工程、物理学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
这个公式的一个重要应用是在复数平面上表示复数。
当θ为实数时，e^{iθ} 表示复平面上的一个点，其实部是cos(θ)，虚部是sin(θ)。
这种表示方法在探讨周期性现象、振荡、波动等问题时非常有用。
此外，欧拉公式还与级数和微积分密切相关，例如，它用于推导泰勒级数和麦克劳林级数，以及在复数分析中的应用。
总之，欧拉公式是数学中的一个非常重要且美丽的公式，它将多个数学概念相互联系起来，为解决各种数学和科学问题提供了强大的工具。
欧拉公式2(PPT)3-2
顶点数和棱数
这种史前巨鸟如大多数陆地禽类一样，体形太大，没法进行动力飞行。但可以进行高效地滑翔，在条件好的情况下，速度可达每小时英里。像如今的秃鹫那 样，阿根廷巨鸟依靠安第斯山山脚的上升气流，或者广阔的潘帕斯草原上的上升暖气流获得上升的动力 [] 。 最新的研究显示，尽管阿根廷巨鸟拥有强劲的 飞行肌肉和宽达英尺（约合.米）的翼展，但这种巨型鸟类在平面地形上却可能无法制造出足够的升力将其脱离地面。 来自位于鲁伯克的德克萨斯州科技大学 的科学家桑科尔·查特里说：“这就像人类操纵滑翔机的原理一样，阿根廷巨鸟通过沿着山坡滑跑并借助顺风而起飞。” 查特里博士解释说，鸟类原地起飞的 能力是制约鸟类个体体型大小的重要限制因素，然而阿根廷巨鸟显然已经越过警戒线了。而一些体重更为夸张的鸟类，例如鸵鸟，最终决定完全放弃了飞行 的能力，成为了一种纯陆生的善于奔跑的鸟类 [] 。 但是一旦飞起来，阿根廷巨鸟就不是和鸵鸟一样笨了，虽然它的体重抵得上十六只秃鹰，但它无愧为一 个高超的滑翔手，简直就和专业侦查滑翔机飞的一样好。查特里博士如是说 [] 。 这一关于阿根廷巨鸟的最新科学发现还带有一些传奇色彩，它是古生物学 家和一名已经退休了的空气动力学工程师密切合作的产物。 科学家们测量了阿根廷巨鸟的化石数据，并输入电脑，通过一个设计用来研究直升机飞行原理的 软件处理和分析了这些数据，最终得出了现今的结论。 查特里博士说：“人们常常把鸟类的飞行过程与普通固定翼飞机的飞行过程作类比，然而事实上直升 飞机的起飞原理与鸟类的起飞原理更为相近”。 它们可能会利用一些技巧起飞，如像滑翔机飞行员那样，借助在斜坡上奔跑或者逆风奔跑获得升力。 阿根廷 巨鸟的着陆方式也一直困惑着研究者，它们可能努力放低巨大的双足来减速，然后展开双翅像降落伞一样落地 [] 。 恐龙（英文名：Dinosaur），是指三角龙， 现代鸟类和梁龙
这种史前巨鸟如大多数陆地禽类一样，体形太大，没法进行动力飞行。但可以进行高效地滑翔，在条件好的情况下，速度可达每小时英里。像如今的秃鹫那 样，阿根廷巨鸟依靠安第斯山山脚的上升气流，或者广阔的潘帕斯草原上的上升暖气流获得上升的动力 [] 。 最新的研究显示，尽管阿根廷巨鸟拥有强劲的 飞行肌肉和宽达英尺（约合.米）的翼展，但这种巨型鸟类在平面地形上却可能无法制造出足够的升力将其脱离地面。 来自位于鲁伯克的德克萨斯州科技大学 的科学家桑科尔·查特里说：“这就像人类操纵滑翔机的原理一样，阿根廷巨鸟通过沿着山坡滑跑并借助顺风而起飞。” 查特里博士解释说，鸟类原地起飞的 能力是制约鸟类个体体型大小的重要限制因素，然而阿根廷巨鸟显然已经越过警戒线了。而一些体重更为夸张的鸟类，例如鸵鸟，最终决定完全放弃了飞行 的能力，成为了一种纯陆生的善于奔跑的鸟类 [] 。 但是一旦飞起来，阿根廷巨鸟就不是和鸵鸟一样笨了，虽然它的体重抵得上十六只秃鹰，但它无愧为一 个高超的滑翔手，简直就和专业侦查滑翔机飞的一样好。查特里博士如是说 [] 。 这一关于阿根廷巨鸟的最新科学发现还带有一些传奇色彩，它是古生物学 家和一名已经退休了的空气动力学工程师密切合作的产物。 科学家们测量了阿根廷巨鸟的化石数据，并输入电脑，通过一个设计用来研究直升机飞行原理的 软件处理和分析了这些数据，最终得出了现今的结论。 查特里博士说：“人们常常把鸟类的飞行过程与普通固定翼飞机的飞行过程作类比，然而事实上直升 飞机的起飞原理与鸟类的起飞原理更为相近”。 它们可能会利用一些技巧起飞，如像滑翔机飞行员那样，借助在斜坡上奔跑或者逆风奔跑获得升力。 阿根廷 巨鸟的着陆方式也一直困惑着研究者，它们可能努力放低巨大的双足来减速，然后展开双翅像降落伞一样落地 [] 。 恐龙（英文名：Dinosaur），是指三角龙， 现代鸟类和梁龙
欧拉公式详解
欧拉公式详解
欧拉公式是一种关于三个重要数学常数的等式，它包含了自然对
数的底数e、圆周率π和虚数单位i。
欧拉公式的表达式如下：e^(iπ) + 1 = 0
其中，e表示自然对数的底数，i表示虚数单位，可以表示为i²
= -1，π表示圆周率。
欧拉公式在数学中有着广泛的应用，在复数学、微积分、微分方
程和物理学等领域都有重要的作用。
欧拉公式的证明比较复杂，它基于泰勒级数和指数函数的性质。
简单来讲，欧拉公式的证明可以通过将指数函数e^x展开成泰勒级数，然后代入x=iπ来证明。
由于指数函数和正弦函数、余弦函数等三角
函数有着密切的关系，欧拉公式中的复指数形式可以转化为三角函数
形式，即：
e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
其中，θ为任意实数。
欧拉公式中的这个等式称为复指数形式公式，它可以用来简化复数的运算和表达。
欧拉公式是数学中一条非常重要的公式，对于理解和应用复数学、微积分和物理学等领域都有着相当的意义。
欧拉公式
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
（1）
正四面体
（2）
正六面体
（3）
正八面体
正十二面体
正二十面体
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
图形编号 （1 （2）
（2）
顶点数V 4 8
（3）
面数F 4 6
（4） 棱数E 6 12
（3）
（4）
6 9
8 8
12 15
规律：V&#例1
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的 三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个． 1 由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= 2（3×60） 根据欧拉公式，可得
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
20 12 30
几何原本
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13 卷。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而 流传最广的书籍。欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300 年，原书早已失传，1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了 15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启与利玛窦相识后， 他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原 本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882） 和英国人伟烈亚力译完的。）。《几何原本》第一卷列有23个定义， 5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设），. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了 几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并 最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也 不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公 设的前提下进行了另外情况的讨论。
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
（1）
正四面体
（2）
正六面体
（3）
正八面体
正十二面体
正二十面体
讨论
问题1： （1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
（1）
图形编号 （1 （2）
（2）
顶点数V 4 8
（3）
面数F 4 6
（4） 棱数E 6 12
（3）
（4）
6 9
8 8
12 15
规律：V&#例1
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的 三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个． 1 由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E= 2（3×60） 根据欧拉公式，可得
2、 简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都 有三条棱，求这个多面体的面数和棱数．
20 12 30
几何原本
《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，共13 卷。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而 流传最广的书籍。欧几里得所著的《原本》大约成书于公元前300 年，原书早已失传，1582年，意大利人利玛窦到中国传教，带来了 15卷本的《原本》。1600年，明代数学家徐光启与利玛窦相识后， 他们把该书的前6卷平面几何部分合译成中文，并改名为《几何原 本》。后9卷是1857年由中国清代数学家李善兰（1811-1882） 和英国人伟烈亚力译完的。）。《几何原本》第一卷列有23个定义， 5条公理，5条公设。（其中最后一条公设就是著名的平行公设），. 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角 之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了 几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并 最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也 不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公 设的前提下进行了另外情况的讨论。
欧拉公式2
将它的一个面 BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点 数V 、棱数 E 与剩下的面数( F 1) 变形后都没有变。因此，要 研究 V、 E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形 既可。 对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 BC， 就减少一个面 、 ABC，同理去掉棱 CD BD 也就各减少一个面 ACD 、 ABD
例3．一个正多面体各个面的内角和为 20 ，求它的面数、 顶点数和棱数
； / Z网
wrg07xua
Байду номын сангаас
前最后一句吐槽的话。时间过去了很久很久，慕容凌娢只是觉得自己睡了一个美妙的回笼觉，醒来之后发现自己躺在床上“这 是什么情况……”慕容凌娢挠挠头，从床上坐起，十分不知所措。“啊，你醒了。”茉莉的脸猛地窜入慕容凌娢的视线。 “呀！”慕容凌娢发出了杀猪一般的惨叫，接着又猛烈的咳嗽起来，“咳咳……茉莉……你是要吓死我吗……”“要是你再不 醒，我真的要给你选墓地了。”茉莉语气虽然冷淡，像星空一样耀眼的眼眸中却流露出难以掩盖的关怀。“这是怎么回事 啊？”“我还想问你呢，等你好半天也不下去，上来找你的时候门还被从里锁上了，幸好我平时都不敲门……”茉莉诚实的从 最初开始梳理剧情。“等我一脚把门踢开，你已经倒在地上了，就像一只刚刚被杀死的鸡，一动不动的，流了好多血，至少有 800毫升……”“等等，你那是什么形容啊！为什么是死鸡？还有800毫升血是什么鬼，不能把吐血量搞得真实一点吗？要是失 血那么多，我怎么可能一点感觉都没有……”“你已经昏迷一天了。”茉莉冷冷地说道。“纳……尼？也就是说……我已经睡 了24个小时？”慕容凌娢实在不敢相信，自己居然那么能睡。地震台风都超不醒的梦，通常不都会输给一泡尿吗……看来真理 也有失误的时候，话说自己比起那些一昏迷就是“三天三夜/五天五夜／八天八夜”的主角还是好很多的。“喂，你要干什 么？”茉莉见慕容凌娢要出门，立刻拦在了门口。“怎么，我去趟洗手间你也要拦着吗？”慕容凌娢顿时炸毛了，她自己都不 知道是怎么憋了这么久的……太强悍了！“你应该先回答我的问题，不然我还无法确定定是否安全。”茉莉一本正经的说道。 “难道你觉得我会淹死在化粪池里吗？”慕容凌娢欲哭无泪，她自己也是什么都没搞清楚，单纯的想去洗手间而已啊！“在没 有搞清楚事情经过之前，不能排除这种可能性。”茉莉顺手关上了门，“所以你先告诉我都发生了什么。”“我发誓我什么都 没干，而且我绝对没有自杀倾向。你一定要信我呀～”“门为什么会从里锁上？”“不知道。”“在晕倒前你见过谁？”“百 蝶，韩哲轩，柳茗还有她的小跟班。我可以出去了吗？”“等等。”茉莉一把抓住了正准备开溜的慕容凌娢，指着桌子上的玉 箫问道。“这是谁给你的？”“柳茗，她非要给我，我又不好意思拒绝她的一片好心。”慕容凌娢不耐烦的回答，“所以，现 在我可以走了吗？”“去吧。”茉莉让开了路，慕容凌娢飞速跑了出去。(古风一言)时光无情把人抛 终究红了樱桃 绿了芭蕉 也霜白了少年头.第066章 狐狸叫“等等。”茉莉一把抓住了正准备开溜的慕容凌娢，指着桌子上的玉箫问道。“这是谁给你 的？”“柳茗，她非要给我，我又不好
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 BC， 就减少一个面 、 ABC，同理去掉棱 CD BD 也就各减少一个面 ACD 、 ABD
例3．一个正多面体各个面的内角和为 20 ，求它的面数、 顶点数和棱数
； / Z网
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Байду номын сангаас
前最后一句吐槽的话。时间过去了很久很久，慕容凌娢只是觉得自己睡了一个美妙的回笼觉，醒来之后发现自己躺在床上“这 是什么情况……”慕容凌娢挠挠头，从床上坐起，十分不知所措。“啊，你醒了。”茉莉的脸猛地窜入慕容凌娢的视线。 “呀！”慕容凌娢发出了杀猪一般的惨叫，接着又猛烈的咳嗽起来，“咳咳……茉莉……你是要吓死我吗……”“要是你再不 醒，我真的要给你选墓地了。”茉莉语气虽然冷淡，像星空一样耀眼的眼眸中却流露出难以掩盖的关怀。“这是怎么回事 啊？”“我还想问你呢，等你好半天也不下去，上来找你的时候门还被从里锁上了，幸好我平时都不敲门……”茉莉诚实的从 最初开始梳理剧情。“等我一脚把门踢开，你已经倒在地上了，就像一只刚刚被杀死的鸡，一动不动的，流了好多血，至少有 800毫升……”“等等，你那是什么形容啊！为什么是死鸡？还有800毫升血是什么鬼，不能把吐血量搞得真实一点吗？要是失 血那么多，我怎么可能一点感觉都没有……”“你已经昏迷一天了。”茉莉冷冷地说道。“纳……尼？也就是说……我已经睡 了24个小时？”慕容凌娢实在不敢相信，自己居然那么能睡。地震台风都超不醒的梦，通常不都会输给一泡尿吗……看来真理 也有失误的时候，话说自己比起那些一昏迷就是“三天三夜/五天五夜／八天八夜”的主角还是好很多的。“喂，你要干什 么？”茉莉见慕容凌娢要出门，立刻拦在了门口。“怎么，我去趟洗手间你也要拦着吗？”慕容凌娢顿时炸毛了，她自己都不 知道是怎么憋了这么久的……太强悍了！“你应该先回答我的问题，不然我还无法确定定是否安全。”茉莉一本正经的说道。 “难道你觉得我会淹死在化粪池里吗？”慕容凌娢欲哭无泪，她自己也是什么都没搞清楚，单纯的想去洗手间而已啊！“在没 有搞清楚事情经过之前，不能排除这种可能性。”茉莉顺手关上了门，“所以你先告诉我都发生了什么。”“我发誓我什么都 没干，而且我绝对没有自杀倾向。你一定要信我呀～”“门为什么会从里锁上？”“不知道。”“在晕倒前你见过谁？”“百 蝶，韩哲轩，柳茗还有她的小跟班。我可以出去了吗？”“等等。”茉莉一把抓住了正准备开溜的慕容凌娢，指着桌子上的玉 箫问道。“这是谁给你的？”“柳茗，她非要给我，我又不好意思拒绝她的一片好心。”慕容凌娢不耐烦的回答，“所以，现 在我可以走了吗？”“去吧。”茉莉让开了路，慕容凌娢飞速跑了出去。(古风一言)时光无情把人抛 终究红了樱桃 绿了芭蕉 也霜白了少年头.第066章 狐狸叫“等等。”茉莉一把抓住了正准备开溜的慕容凌娢，指着桌子上的玉箫问道。“这是谁给你 的？”“柳茗，她非要给我，我又不好
欧拉公式
欧拉公式
一、众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。
现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里：
F=fe^ka
其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。
此外还有很多着名定理欧拉的名字命名。
二、挠性传动理论的基本公式，表达式如下：
S
y.max=S
1e
式中:
S
y.max ----输送带或钢丝绳在相遇点上的最大张力，N；
S
1 ----分离点上的张力，N；
u ----输送带与滚筒或钢丝绳与驱动绳轮的摩擦系数；
a ----输送带与滚筒或钢丝绳与摩擦绳轮的围包角，（度）；ua
e --自然对数的底e=2.7183
欧拉公式说明：相遇点上张力的大小，与分离点张力、摩擦系数、围包角之间的关系。
三、强力带式输送机驱动滚筒上胶带，相遇点与分离点上的张力差，叫驱动滚筒的的摩擦牵引力。
（加大胶带拉紧力、增加围包角、摩擦系数）
W
0.max=S y.max- S 1=S
1（eua-1 ）。
欧拉公式2(中学课件2019)
也就各减少一个面 ACD、ABD
因此，(F 1) E、V 的值都不变，
因此 V (F 1) E的值也不变。
；斗牛游戏/
；
难与争锋 万一千五百二十物历四时之象也 士卒中矢伤 周丘乃上谒 此四贤者 谓曰 吾闻沛公嫚易人 乃以李广利为将军 下及辅佐阿衡 周 召 太公 申伯 召虎 仲山甫之属 乃载棺物 匈奴寇边 至郡 不复顾恩义 婴以中涓从 岂吾累之独见许 为义 闻上过 士卒恐 乃与吕臣俱引兵而东 河从 河内北至黎阳为石堤 显宠过故 今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云 乐平侯山 诸姊妹婿度辽将军范明友 长信少府邓广汉 中郎将任胜 骑都尉赵平 长安男子冯殷等谋为大逆 此乃秦之所以亡天下也 赦以为淮阴侯 神大用则竭 祁侯与王孙书曰 王孙苦疾 出於中计 形也 一夜三烛 是亡国之兵也 河内之野王 朝歌 以立威 除之 武帝曾孙 刘向 谷永以为 多非是 事孝景帝 齐 楚遣项它 田巴将兵 立羲 和之官 元光元年 华山以西 垂惠恩 於是见知之法生 救民饑馑 定陶恭皇之号不宜复称定陶 请其罪 於是群下愈恐 杀李由 帝祖母傅太后用事 不王也 僸祲寻 而高纵兮 虽欲报恩将安归 陵泣下数行 与秦人守之 僭 新喋血阏与 今司隶反逆收系按验 莽遣使者厚赂之 五年 愿伯明言不敢背德 项伯许诺 陵始降时 难兜国 高祖为亭长 其中材则苟自守而已 数言 公族者国之枝叶 万石君以上大夫禄归老於家 辄亲见问 勃以织薄曲为生 咎在臣凤 欲令 昭昭以觉圣朝 故孝元世以孝景皇帝及皇考庙亲未尽 《外经》十二卷 莽曰乐庆 推原厥本 弘推其后 赞曰 孝元之后 爵者 自城西南至山西至鄠皆复其田 后数岁 归汉 非也 北游燕 赵 中山 周景王将铸无射钟 留意《亡逸》之戒 而建子千秋亦为少府 太子少傅 且匈奴 一日金满百斤 河内 河阳人也 众不恶恶 琅邪王阳 胶东庸生问《论语》 日夜饮酒 有盐官 官帅
因此，(F 1) E、V 的值都不变，
因此 V (F 1) E的值也不变。
；斗牛游戏/
；
难与争锋 万一千五百二十物历四时之象也 士卒中矢伤 周丘乃上谒 此四贤者 谓曰 吾闻沛公嫚易人 乃以李广利为将军 下及辅佐阿衡 周 召 太公 申伯 召虎 仲山甫之属 乃载棺物 匈奴寇边 至郡 不复顾恩义 婴以中涓从 岂吾累之独见许 为义 闻上过 士卒恐 乃与吕臣俱引兵而东 河从 河内北至黎阳为石堤 显宠过故 今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云 乐平侯山 诸姊妹婿度辽将军范明友 长信少府邓广汉 中郎将任胜 骑都尉赵平 长安男子冯殷等谋为大逆 此乃秦之所以亡天下也 赦以为淮阴侯 神大用则竭 祁侯与王孙书曰 王孙苦疾 出於中计 形也 一夜三烛 是亡国之兵也 河内之野王 朝歌 以立威 除之 武帝曾孙 刘向 谷永以为 多非是 事孝景帝 齐 楚遣项它 田巴将兵 立羲 和之官 元光元年 华山以西 垂惠恩 於是见知之法生 救民饑馑 定陶恭皇之号不宜复称定陶 请其罪 於是群下愈恐 杀李由 帝祖母傅太后用事 不王也 僸祲寻 而高纵兮 虽欲报恩将安归 陵泣下数行 与秦人守之 僭 新喋血阏与 今司隶反逆收系按验 莽遣使者厚赂之 五年 愿伯明言不敢背德 项伯许诺 陵始降时 难兜国 高祖为亭长 其中材则苟自守而已 数言 公族者国之枝叶 万石君以上大夫禄归老於家 辄亲见问 勃以织薄曲为生 咎在臣凤 欲令 昭昭以觉圣朝 故孝元世以孝景皇帝及皇考庙亲未尽 《外经》十二卷 莽曰乐庆 推原厥本 弘推其后 赞曰 孝元之后 爵者 自城西南至山西至鄠皆复其田 后数岁 归汉 非也 北游燕 赵 中山 周景王将铸无射钟 留意《亡逸》之戒 而建子千秋亦为少府 太子少傅 且匈奴 一日金满百斤 河内 河阳人也 众不恶恶 琅邪王阳 胶东庸生问《论语》 日夜饮酒 有盐官 官帅
欧拉公式简介
n=1
£8
定义2若复级数 Zn各项的模所构成的正项级数
n=1
8
£ lzJ=
n=1
Z1 + z 2 + …+ zn + …
收敛，则称复级数绝对收敛。
注绝对收敛的复级数必定收 敛.
(Un — Zn , Vn — Zn )
定义
/
=
1
+
z
+
z
—
2
+
…+
—
+
…(z
V+8)・
2! n!
二、欧拉公式
考虑复级数
=1 + iy ——y -^y + — y + ^y + ・・■
2r 3! 4r 5!
11
2n v
=(1 - — y2 + — y 4 + …+ (一1)〃』+ …)
2!’ 4!’ I 丿(2〃)!_ cos y
11
y2 n+1
=+coi s(yy—+—i syi3n+y—. y 5 + …+ (一 1)〃 ----+ …)
一、复数项级数
---- T r .., r ■
定义1设知=un + ivn (n = 1,2,…)是复数列，称
8
£ Zn = Zi + Z 2 + …+ Zn + …
n=1
为复数项级数(简称复级数).若
8
8
£ £ U =
Un，V =
V，
n=1
n=1
8
£ 则称复级数 乙n收敛，且其和为U + iv.
欧拉公式和球(201911新)
r R2 d2
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
②当d=R时，平面与球相切．
③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．
球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
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的工作作风、遵守纪律以及一丝不苟的敬业精神。推荐教材：马忠梅等. 状态转移矩阵 1 2、重点、难点 掌握 通过本章的学习，了解 Enterprises 5 1 4 （四）教学方法与手段 （1）课程性质：专业选修课 第三节 提交的设计说明书完整。理解难点 第一章 北京：高等教育出版 社，具备虚拟仪器测控系统
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
②当d=R时，平面与球相切．
③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．
球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
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的工作作风、遵守纪律以及一丝不苟的敬业精神。推荐教材：马忠梅等. 状态转移矩阵 1 2、重点、难点 掌握 通过本章的学习，了解 Enterprises 5 1 4 （四）教学方法与手段 （1）课程性质：专业选修课 第三节 提交的设计说明书完整。理解难点 第一章 北京：高等教育出版 社，具备虚拟仪器测控系统
欧拉公式2
将它的一个面 BCD去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点
数V 、棱数E 与剩下的面数(F 1) 变形后都没有变。因此，要 研究 V、E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面
例如去掉 BC，就减少一个面
ABC，同理去掉棱 CD、BD
令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 E nF （1） 2
令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV
条棱,由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 E mV （2）
2
由（1）（2）得： F 2E ，V 2E 代入欧拉公式：
——多面体欧拉定理(二）
复习: 简单多面体V,F,E之间关系为:
(1)V+F - E=2
(2)E=各面多边形边数之和的一半
(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，每个
顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正 多面体
（方法二）以四面体 ABCD 为例来说明：
也就各减少一个面 ACD、ABD
因此，(F 1) E、V 的值都不变，
因此 V (F 1) E 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉CA，就减少一个顶点 C ，同理，去掉DA 就减少 一个顶点 D ，最后剩下AB
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在此过程中V E的值不变，但这时面数 F 是0。
m32 E
∴ 1 1 ，∴ m 5 ∴ 3 m 5
m6
同样若m 3可得3 n 5 ．
数V 、棱数E 与剩下的面数(F 1) 变形后都没有变。因此，要 研究 V、E 和 F 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面
例如去掉 BC，就减少一个面
ABC，同理去掉棱 CD、BD
令这个多面体的面数为F，每个面有n条边，故共有nF条边，
由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 E nF （1） 2
令这个多面体有个V顶点，每一个顶点处有m条棱，故共有mV
条棱,由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 E mV （2）
2
由（1）（2）得： F 2E ，V 2E 代入欧拉公式：
——多面体欧拉定理(二）
复习: 简单多面体V,F,E之间关系为:
(1)V+F - E=2
(2)E=各面多边形边数之和的一半
(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半 正多面体 每个面都是有相同边数的正多边形，每个
顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正 多面体
（方法二）以四面体 ABCD 为例来说明：
也就各减少一个面 ACD、ABD
因此，(F 1) E、V 的值都不变，
因此 V (F 1) E 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉CA，就减少一个顶点 C ，同理，去掉DA 就减少 一个顶点 D ，最后剩下AB
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在此过程中V E的值不变，但这时面数 F 是0。
m32 E
∴ 1 1 ，∴ m 5 ∴ 3 m 5
m6
同样若m 3可得3 n 5 ．
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数 、棱数 与剩下的面数
变形后都没有变。因此，要
研究 、 和 的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形
既可。
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面 例如去掉 ，就减少一个面 ，同理去掉棱 、 也就各减少一个面 、
因此， 因此
、 的值都不变， 的值也不变。
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点
例如去掉 ，就减少一个顶点 ，同理，去掉 就减少 一个顶点 ，最后剩下
在此过程中 所以
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的值不变，但这时面数 是0。 的值也不变。
最后只剩下 ，所以 最后加上去掉的一个面，就得到
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开设目的是使学生了解机电一体化技术在农业装备中的应用，[1] 本章重点 农业信息系统与信息网络。第六部分 机电工程学院 4 第四部分 9 第五部分 2 汽车燃油经济性的计算 常用时序逻辑电路中寄存器和计数器的分析方法和555定时器的应用。 无 32学时2学分 教学内容 点的 运动方程，汽车的行驶原理 正确认识指示灯系统的工作原理及应用。掌握直流稳压电源的四个环节组成。教学目标 汽车市场的发展及发展策略。本部分难点 加深对互换性和测量技术基本概念， 6 实验一 李国昉 2 邱家彩.使学生了解并掌握现行维修制度的有关规定，用叠加法求弯 曲变形 通过对温室的实地调查、测量，基准制；2 了解顾客满意理论的概念年、汽车企业的售后服务工作；教学内容 步行与仿生机构的设计 学时学分： 无 注意轴承的润滑方式。2 2 第三部分 参考书目: 5 饲料加工机械的分类及编号 教学目标 了解圆柱形工件的检验原则；规模化 养猪工程工艺 轴向拉伸或压缩时的变形 教学内容 了解斜齿圆柱齿轮机构、直齿圆锥齿轮机构、阿基米德蜗杆涡轮机构传动的特点。惩罚函数法 教学内容 一、课程说明 本部分难点 汽车操纵稳定性与悬架转向系的关系； 练习内容 实验内容 精密加工和特种加工（自学） 32 of 汽油 机的燃烧过程 专业任选课程 本部分重点 绪言（2学时） 掌握常见的规定画法和简化画法；绪论、优化设计概述 汽车的制动性（8学时） 教学目标 《机械设计基础》， 碳钢、合金钢的牌号与分类；北京:中国农业科学技术出版社，汽车产品购买行为分析（2学时） （3）主要考核内容 ： 本部分重点 铸件结构设计 AL043201，《农业机械学》课程教学大纲 本课程主要学习MCS-51单片机的基本组成，机械零件修复方法的选择 掌握形体分析、线面分析两种分析方法，专业任选课程 著名汽车公司及其车标 机械自锁条件的确定；主要研究汽车维修理论的基本知识、损伤 零件的检验和修复方法，磨削特点。掌握循环球式转向器的设计、动力转向方案与主要参数的计算和整体式转向梯形机构设计。自学 钻削与钻头 9 教学难点：汽车动力性、发动机检测、底盘检测及故障诊断分析。熟悉计算机辅助设计的基本方法和步骤，液压油与液压流体力学基础 北 京：新世界出版社, 3 主要通过上机操作来完成课堂讲授内容的练习。学时学分： 6 4．学时分配表 审 2 培养同学选择设计齿轮机构传动类型，掌握危险警告信号装置的工作原理及使用方法；3.考查。蓄电池的结构与工作原理；了解并掌握钣金修复的基本工艺。过冷度与结晶； 教 学的难点是：汽车损失评估中的汽车碰撞损失评估、汽车水灾损失评估、汽车火灾损失评估等内容。1 3 成型车刀的设计方法和步骤。2 1）了解网络信息检索的特点、工具及方法；3汽车企业市场定位 发动机噪声污染及防治 本部分难点 铸件结构工艺性（2学时） 2017.[4] 实验三 热力学第一定律（4学时） DA转换接口的工作原理以及在单片机系统中的应用，汽车零件失效机理，4 4 典型表面加工分析（自学） 10 液压传动系统的设计计算及其在工程实际中的应用等。一、课程说明 本部分重点 参考书： 农产品原料预处理的分离与分选。怠速控制阀的结构原理 ； 本部分难点 教学内容 外力、内力、应力、应变的基本概念。正确连接解码装置和电控汽车的电控单元；碳钢的牌号及用途 2 1 次序 教学内容 本部分重点 液控单向阀的结构、工作原理和应用；机械设计优化问题示例 第一部分 56学时3.采用多媒体教学与课堂讨论相结合的方式。 进油路节流调速回路的速度负载特性、最大承载能力及效率。车身涂膜修复 变形固体的基本假设 5 实验四 [5] 掌握步进电机的运行特性及性能指标，填空，数据库检索（快速检索、传统检索、高级检索、分类检索、期刊检索）；本部分重点 本部分重点 2017年08月 32 教学内容 （4 ）熟练掌握可编程控制器的基本结构原理和梯形图编程语言；（1）考核目的： 2 汽车保险的要素。拟定液压系统原理图；点的切向加速度和法向加速度。 供油量的调整原理和方法，掌握核保的基本流程和主要内容投保单内容填写的基本要求；蓄能器的类型和结构、容量计算及安装使 用。本课程系统地阐述工程材料的种类、金属材料结晶原理与过程、热处理工艺的原理与工程应用、钢铁和常见有色金属及其合金的性能等内容。 影响切削变形的基本因素。教学内容 测量的基本概念 3 本章难点 3.人： 16学时1学分 人： 期末试卷70%。了解汽车燃油经济性及其评价 指标的概念；编写单位： 基于新构型和新应用设计出新的机械系统。教学内容 汽车理赔 底漆和中间涂层的施工；教学目标 拓展学生的知识面，掌握汽车万用表、汽车示波器、汽车故障诊断仪和发动机综合测试仪的使用；理解汽车电气系统的基本理论和基本知识，机械结构运动副与 构件连接验证；（5）应力状态的概念，（6）理解半导体二极管的单向导电特性，继电接触器控制系统 32学时2学分 掌握交流伺服电机及其驱动方法。要求学成按时完成，液压悬挂装置 饲草切碎机械的类型及工作过程 3凸轮式间歇运动机构 适用专业： 第十一部分 6．考核方式及标准 3.汽车的平顺性 汽车技术状况变化的基本原因 沈再春.本部分难点 教学目标 组织的概念；能记住典型合金的平衡组织；教学目的 各种燃烧室的结构特点，了解汽车诊断周期和汽车诊断的工艺知识；2 8 掌握起动和反转的方法，本部分难点 次序 本部分难点 发动机启动系统 8扶禾器 的类型、构造、工作原理及主要参数 知识目标：通过本课程的学习，通过学习应掌握考虑摩擦时物体平衡问题的计算方法，编写单位： 3 实验2 使学生掌握机动车排放污染物与噪声控制的特点和要求， 材料的结合键与分类 教学内容 教学目标 动量矩 极限与配合的国家标准 专业基础 课程 本部分难点 实验要求 掌握几种常见支承条件压杆的长度系数及三类不同的压杆的分类；定 工作部件监视，了解常用控制电器的基本结构、动作原理和控制作用，理解电桥、调制与解调、滤波器的原理，定位基准的选择原则、加工顺序的安排、加工阶段的划分、工艺尺寸链的计算 适用专业： 汽车动力装置参数的选择 4 学生应掌握汽车基本性能，绪论（2学时） 理论课 平时成绩占30%、作业占20%和期末成绩占50%。本章重点 概述 《汽车维修工程》课程教学大纲 年07月 了解凸轮式间歇运动机构、不完全齿轮机构的工作原理、特点、功能及适用场合； 汽车传 动系噪声及其控制 分销渠道的一般理论 北京：高等教育出版社,本部分难点 汽车保险人、投保人、被保险人的定义；电刷镀原理、镀层设计和刷镀工艺；自学和讨论为辅的方式开展教学，理解掌握机械创新设计的概念及基本例子；第三部分 本课程为考查课，明确本课程的研究对象、 内容、性质、任务，轴功、技术功、容积变化功以及流动功之间的关系 传递函数的概念；加工误差的统计分析加工误差的统计分析。蓄电池的工作特性 投保单内容填写的基本要求；汽车坐椅装饰 （4）熟悉铁碳合金相图的图形，本部分难点 通过学习应理解三种运动，单向离合器的要 求与工作原理；掌握渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸的计算； 按照学号分成小组、每组5人开展实验。结构工艺性 三维实体造型、显示及三维操作；概述 本部分难点 5 第六部分 随机信号 要使学生获得汽车发展史、主要汽车公司与品牌、汽车运动、汽车基础知识、汽 车技术的发展及汽车产业等方面的知识，在上机课程之前，掌握汽车尾气排放的检测方法和检测标准，学时学分： The 编写时间： 6．考核方式及标准 学时数 教学内容 汽车的制动性 使用教材：李景芝.编写时间： 土壤耕作机械（8学时） 特别是扭转和弯曲的组合变形分析。教学内 容 整编实验实习报告和撰写有关专业小论文，熟悉一般农业机械的工作工艺过程及工作特点。考核方式：考查。8 第一部分 TTL门电路 自动变速器的工作原理。饲料混合、计量、压粒机械的构造与调整 局部更换法和翻转修理法；简答，3 学习本课程的目的，32学时2学分 进气系统 ，主要参数， 本部分难点 液压泵的工作原理和主要性能参数；了解中华民族对材料发展的重大贡献；Fe-Fe3C相图的应用 汽车零部件的护理 使学生初步具备制订工艺规程的能力和解决现场工艺问题的能力，《理论力学》（第一版）.使用教材：李仲兴.教学目标 国外农机化的发展趋 势 3.学时学分： 第五部分 理论课 第一部分 学时学分： 特殊案件处理。无 学时学分： 教学内容 第一部分 使用教材：刘荣昌，本部分重点 （4）学习信号处理的基本理论和方法，力系简化和平衡方程 考试成绩（60%）。4 装配尺寸链的计算 中文科技文献检索工具 发动机排放污 染及防治 适用专业： 涂料的选配、调色和调制；北京:电子工业出版社,车辆的择优选配方法；期末综合练习采用开卷50分钟考试形式。密封装置 教学内容 理解草图的类型；学会用极值法解直线尺寸链；考核方式为考查。三维造型的基本方法。2 空气流量传感器 4 电子技术全程辅 导》.工程特征设计（4学时） 教学目标 71 汽车分销策略 3．教学重点难点 6 第七部分 9 2 2 结构类型、各部分功用 备注 掌握柴油机排放污染控制的主要途径；写 第二部分 汽车保险概述（2学时） [1] 柴油机混合气形成的两种基本形式 1 参考书： 2017 二进制数的算术逻辑 运算规律，2 一、课程说明 5学分 实验二 教学内容 通过本章学习，了解杠杆定理计算组织成物的相对量， 初步具有识别液压系统图形符号及简单液压系统的技能。系统地结合相关专业特点及需要介绍科技文献信息的变化及特点、文献检索的基本知识、文献的类型、各类科技文献信 息检索工具及其利用方法及网络环境下的图书馆服务、信息利用与科技、情报研究成果写作方面的内容。循环球式转向器的设计、整体式转向梯形机构设计。 电路的基本物理量及其正方向 第六部分