最大值最小值的求法一

比较以上各点处的函数值可知
f max
1 f ( ) 4 2
1 3
1 3
1 3
f min f ( 2) 4 3
在求函数的最值时，特别值得指出的是下述情况： f( x )在一个区间内可导，且只有一个驻点x0，并且 这个驻点x0同时也是f(x)的极值点，则当f(x0)是极大 （小）值时， f( x0 )是函数 f( x ) 在该区间上的最大 （小）值。 这是因为此时在 x0 的左、右两侧 f ( x )的符号 必定相反，亦即在 x0 的左、右两侧f ( x )的单调性 必定相反。
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能是2用料最省， 费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问 题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值 问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值 的存在性 ；最值的求法。
假定f ( x )在[ a , b ]上连续，除去有限个点外 处处可导，且至多有有限个点处导数为0。我们 就在这样的条件下讨论f ( x )在[ a , b ]上的最值 的求法。
x [0,1]
在 x 0 有最小值，但 f (0) 1 0
计算 f ( 3) 23; f (1) 7;
2 3 2
f ( 2) 34; f (4) 142;
1 3
例2 求 f ( x ) x ( x 1) 在[2,2]上的最值 解
2 f ( x ) x 3
1 3
1 2 ( x 1) 2 x 3

2 3
2 ( x 2 1) x 1 2 3 x 3 ( x 2 1) 3
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念.
实际问题求最值的步骤.
思考题
若 f (a ) 是 f ( x ) 在[a , b] 上的最大值或最 小值，且 f (a ) 存在，是否一定有 f ( a ) 0 ？
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例
y f ( x) x
1 1 2 ( 0 x0 8 ) SABC (8 x0 )(16 x0 x0 ) 2 2 1 2 令 S ( 3 x0 64 x0 16 16) 0, 4 16 解得 x0 , x0 16 (舍去). 3
16 s( ) 8 0. 3 16 4096 s( ) 为极大值. 3 217
2
使曲线在该点处的切线 与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最 大．
解
如图,
设所求切点为P ( x0 , y0 ),
y
T
B
则切线PT为
o
P
A
y y0 2 x0 ( x x0 ),
2
C
ห้องสมุดไป่ตู้
x
2 2 y0 x0 , A( 1 x0 , 0), C (8, 0), B(8, 16 x0 x0 )
一、最值的求法
首先由闭区间上连续函数的性质f ( x )在[ a , b ] 上必存在最大值和最小值 其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得， 则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是 驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点 处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是
y y y
o a
bx
f ( x ) 5 x 4 ( 24 7 x 2 ) 令 f ( x ) 0 24 x f ( x ) 10 x 3 (48 21 x 2 ) 7 24 易见 f ( )0 7 7 24 24 2 A f max f ( ) 2 7 7
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的 函数值即为所求的最(或最小)值．
例4 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？ 解 设房租为每月x元，
x 180 套， 租出去的房子有 50 10
每月总收入为
x 180 R( x ) ( x 20) 50 10
x R( x ) ( x 20) 68 10 x 1 70 x R( x ) 68 ( x 20) 5 10 10
2 3
4 3
1 ( x2 1 x2 ) 令 f ( x ) 0 得驻点 x 2 易知，在x 0, x 1处 f ( x )不存在
这些点处的函数值为： 1 1 f ( 0) 1 f ( ) 43 2
f ( 1) 1 f ( 2) 4 3
1 3 1 3
A

4公里
s( t ) (0.5 t )2 (4 2t )2
( 2) 求s s( t )的最小值点.
5t 7.5 . 令s( t ) 0, s(t ) 2 2 (0.5 t ) (4 2t ) 得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后1.5 分钟射击最好.
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
二、应用举例
例1 求函数 y 2 x 3 3 x 2 12 x 14 的在[3,4]
上的最大值与最小值.
解 f ( x ) 6( x 2)( x 1)
解方程 f ( x ) 0, 得
x1 2, x2 1.
o a
b x
o
a
b x
步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
ymax max f (a ), f (c1 ),, f (cm ), f (d1 ),, f (d n ), f (b)
(min)
(min)
R( x ) 0

x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
350 最大收入为 R( x ) ( 350 20) 68 10 10890 (元 )
例5 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x 2 围成
一个曲边三角形，在 曲边 y x 上求一点，
例3 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的 速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B 处向正东追击速度为2千米/分钟．问我军摩托车 何时射击最好（相距最近射击最好）？
解 (1)建立敌我相距函数关系
s(t )
0.5公里
设 t 为我军从B处发起 追击至射击的时间(分).
敌我相距函数 s(t )
B
16 4096 故 s( ) 为所有三角形中面积的 最大者. 3 27
例6 解
求使不等式 5 x 2 Ax 5 24 ( x 0) 成立的最小正数 A 将不等式改写为 x 5 ( 24 5 x 2 ) A 则问题转化为： 求函数 f ( x ) x 5 ( 24 5 x 2 ) 的最大值