从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)剖析
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从欧拉几何定理到彭色列闭合定理(欧拉--彭色列—大狗熊线)
徐文平
(东南大学 南京210096)
一、引言
1)彭色列闭合定理
图1
思考:彭色列闭合定理的本质是什么?为什么如此奇妙的首尾相连闭合?
2)谢国芳定理
谢国芳老师猜想,双圆锥曲线的内接外切四边形时候,对角线交叉点不变。
图2
思考:如果是三角形的时候,彭色列闭合定理,是什么关键点永恒不变啊。
3)欧拉几何定理 a)设三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,外心与内心的距离为d ,
则有rR R d 222-=
(备注: 欧拉定理定理也涉及到圆中圆的问题)
b )欧拉线
三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线,且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。
(三角形ABC的垂心H,九点圆圆心V,重心G,外心O共线,称为欧拉线)
图3
c)欧拉九点圆
三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-point circle),或欧拉圆、费尔巴哈圆。
九点圆具有许多有趣的性质,例如:
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;
2. 九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切(费尔巴哈定理);
4. 九点圆心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四点共线,且HG=2OG,OG=2VG,OH=2OV。
图4
4)欧拉--彭色列--大狗熊线
大狗熊定理:三角形内切圆的切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G与三角形内心I、外心O共线(欧拉--彭色厉--大狗熊线),三角形作彭色列闭合变换时,五心位置恒定不变。
(备注:三角形内切圆的切点三角形的外心就是三角形ABC的内心I)
图 5 (彭色列闭合变换时切点三角形的重心不变)
(三角形在圆中圆中,作彭色列闭合变化时候,切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G不变,非常奇妙的发现,作业:作图试试切点三角形的垂心H,九点圆圆心V,重心G,是不是雷打不动啊)
谢国芳定理,双圆锥曲线的内接外切四边形时候,对角线交叉点不变。
大狗熊定理,双圆锥曲线的内接外切三角形时候,切点三角形的五心恒定不变。
谢国芳定理和大狗熊定理,揭示了彭色列闭合定理的神秘面纱,找到了命题本质。
工程应用成果:利用欧拉—彭色列--大狗熊线恒定不变特性的摄像机和精密测量仪器标定
(变化中发现了不变的本质)
二、欧拉--彭色厉--大狗熊线的简证
欧拉--彭色列闭合变化作图发现,有许多有趣的特性。
(ΔABC为基本三角形,ΔA1B1C1为切点三角形,ΔA2B2C2为垂足三角形)
1、ΔA2B2C2为垂足三角形与三角形ΔABC是具有位似关系
2、基本三角形构成的六边形与垂足三角形构成的六边形具有位似关系(黄色)。
3、基本三角形彭色列闭合变化,发现了大量的平行线关系
4、位似中心S点,也在欧拉—彭色列--大狗熊线上,彭色列闭合变化时不变。
5、位似中心S点就是基本三角形ΔABC外接圆和内切圆的位似中心S点
图 5 (彭色列闭合变换时位似中心现象)
1)潘成华老师的研究发现
思考:可以直接做题证明(也许高中小朋友看不懂重心证明方法啊)
依据欧拉线,可改为外心O(大圆)、内心I(小圆)、垂心H(切点三角形的)共线题目。2)1995伊朗奥数竞赛的题目
(备注,垂足三角形ΔPQR的外心J点,就是切点三角形ΔDEF的九点圆心V点)
3) 彭色列闭合定理(N=3)的位似中心S点
位似中心在基本三角形ΔABC的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。
同理:位似中心在基本三角形ΔDEF的顶点和垂足三角形顶点的连线交叉S点。
(备注:外接圆和内切圆也具有位似关系,位似中心也在S点)
(备注:外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比相同)
(备注:外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比相同)。所以,外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化,位似比相同
彭色列闭合变换(N=3)时,中心S点和五心狗熊线恒定不变。
欧拉--彭色厉--大狗熊线(增加了位似中心S点共线)
4) 欧拉—彭色列--大狗熊线的不变特性简证(彭色列闭合变化时)
1、位似中心S点在五心狗熊线上,即位似中心S点在五心狗熊线共线。
(具体可以参见上述的1995伊朗奥数竞赛的题目)
2、彭色列闭合变换(N=3)时,切点三角形的的九点圆心V不变
方向不变:
由于欧拉—彭色列--大狗熊线是五心共线,并且其中二点是不变(三角形内心I、外心O在命题中是固定的),所以,彭色列闭合变换前后,九点圆心V必定在三角形内心I、外心连线方向。
半径不变:
三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半,由于切点三角形的外接圆是固定的(命题的内切圆),所以,九点圆的半径不变。
圆心不变:
彭色列闭合变换前的垂足三角形的三个顶点,彭色列闭合变换后的垂足三角形的三个顶点,六点是共圆的,所以彭色列闭合变换前后,九点圆圆心不变。
彭色列闭合变换(N=3)时,切点三角形的的九点圆心V不变
3、彭色列闭合变换(N=3)时,切点三角形的切点三角形的垂心H,重心G不变。
由欧拉线的性质可知,三角形的垂心H,重心G,九点圆心V,外心O点(就是基本三角形的内心I点),具有这些点互相之间比例关系恒定的,所以,所以彭色列闭合变换前后垂心H,重心G位置不变
4、彭色列闭合变换(N=3)时,两者位似中心S点重合。
外接圆和内切圆也具有位似关系。
外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比相同)
外接圆和内切圆和ΔDEF一起位似变化,位似比相同)
外接圆和内切圆和外接圆和内切圆和ΔABC一起位似变化,位似比相同)。
所以,外接圆和内切圆、ΔABC和ΔDEF三者一起位似变化,位似比相同三角形的外接圆和内切圆是固定的,两圆具有位似关系,位似比为λ
基本三角形ΔABC与垂足三角形也具有位似关系,位似比也为λ,相同。
基本三角形ΔDEF与垂足三角形也具有位似关系,位似比也为λ,相同。
因此,三者的位似比也为λ,相同。
ΔABC和ΔDEF是一样的位似比λ,两者相同,可以一起联盟位似变换。
因此,彭色列闭合变换前后,两者位似中心S点重合。
结论:彭色列闭合变换前后,欧拉—彭色列--大狗熊线的不变