滑模变结构控制方法

滑模变结构控制的定义
有一控制系统状态方程为
f ( x, u, t ) x n u x
需要确定切换函数
s( x )
s
求解控制作用
u ( x ) , u ( x ),
s( x ) 0 s( x ) 0
其中切换函数
s( x )应满足以下条件:
s(0) 0
(1)可微; (2)过原点，即
(1)满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都 将在有限时间内到达切换面； (2) 滑动模态存在性； (3) 保证滑动模态运动的稳定性； (4)达到控制系统的动态系统要求。 上面的前三点是滑模变结构控制的三个基本问题， 只有满足了这三个条件的控制才叫滑模变结构控 制。
③选取趋近律：
hT Ac x sgn( s ) hT f ( x, t ) s ˆ ( x, t ) f ( x, t ) f ( x, t ) f
④联立以上两个方程，可得控制律：
ˆ ( x, t ) sgn(s)], 0 d hT f u0 (hT b)1[hT x
s 0 0 lim s s 0
称为局部到达条件。
对局部到达条件扩展可得全局到达条件：
0 ss
相应地，构造李雅普诺夫型到达条件：
1 2 V s 2 V 0 ss
半负定，且不恒为0，系统在s=0处渐近稳定。 V正定， V
满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为 止点区。
滑模变结构控制
变结构系统
问题：什么是变结构系统？ 变结构控制(variable. structure control, VSC)本质上 是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的 不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在 于系统的“结构”并不固定，可以在动态过程中， 根据系统当前的状态(如偏差及其各阶导数等)有目的 地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状 态轨迹运动，所以又常称变结构控制为滑动模态控 制(sliding mode control, SMC)，即滑模变结构控制。
|| h || || f ( x, t ) ||
滑模变结构控制的特点
（1）是控制系统的一种综合方法。 A( x) B( x)u x 设计可变结构的反馈控制器u,使系统的运动引导或强迫到 超面 s( x) 0 上，并选择这样的 s( x)使滑模面上运动是渐 近稳定的。 （2）滑动模态运动具有完全自适应性。 不受系统摄动和外界扰动的影响。滑模变结构控制 系统的最突出的优点，成为它受到重视的最主要原因。 （3）存在的问题—抖振。 不可避免的惯性等原因使得系统在光滑滑动模态上 叠加了一个自振，这是滑模变结构控制理论尚存在的一 些问题中最突出的问题。
考虑一般的情况，在系统
f ( x) x
的状态空间中，有一个切换面 s( x) s( x1, x2 ,, xn ) 0 它将状态空间分成上下两部分 s 0 及 s 0 。 我们称
s( x ) 0
x Rn
为不连续面、滑模面、切换面。
s(x)>0 A B C s(x)=0
0 可得出控制律： ④根据 ss ˆ T 1 1 2 [n ˆ3r n1 ]v wind K d s K s sgn(s) v ˆ ˆ ˆ K K K
1 s0 sgn( s ) 0 s 0 1 s 0
ˆ, K ˆ,n ˆ3为T，K，n3的估 T
(2) 求取控制律 u u ( x)，从而使到达条件满足时， 在切换面上形成滑动模态区。 方法一：采用到达条件 ss ，求得控制律的一个 0 不等式，需要在满足此不等式的条件下选择合适 的控制律。 方法二：采用趋近律方法，可直接求取等式型控 制律。
几种常见趋近律： （1）等速趋近律
sgn(s) s
滑模变结构控制抖振问题
抖振问题产生的原因（只能减轻，无法消除） 1. 时间滞后开关（控制作用对状态准确变化有滞后） 2. 空间滞后开关（状态空间中的状态量变化死区） 3. 系统惯性的影响 4. 离散时间系统本身造成的抖振 总之，抖振产生的原因在于:当系统的轨迹到达切换面 时，其速度是有限大，惯性使运动点穿越切换面，从而 最终形成抖振，叠加在理想的滑动模态上。对于实际的 计算机采样系统而言，计算机的高速逻辑转换以及高精 度的数值运算使得切换开关本身的时间及空间滞后影响 几乎不存在，因此，开关的切换动作所造成的控制的不 连续性是抖振发生的根本原因。
f ( x, u ) x
x n u
f ( x, u ) f ( x, u ), s( x ) 0 f ( x, u ) f ( x , u ) f ( x , u ), s( x ) 0
其中：s( x) s( x1 , x2 ,..., xn ) 是状态的 x 函数，为切换函数。 ds ( x ) 满足可微分，即 dt 存在。 微分方程的右端 f ( x, u ) 不连续， 结构变化得到体现，即根据条件 s( x ) 的正负改变结构 （ f ( x, u)为一种系统结构，f ( x, u)为另一种系统结构。从 而满足一定的控制要求。
s(x)<0
在切换面上的运动点有3种情况。 (1)通常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点 穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所 示。 (2)起始点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起 点，如图中点B所示。 (3)终止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点 C所示。
注意： 不是所有的变结构控制都能滑模控制，而滑模控制 是变结构控制中最主流的设计方法。 通俗说法： 如果存在一个（或几个）切换函数，当系统的状态 达到切换函数值时，系统从一个结构自动转换成另 一个确定的结构，那么这种结构称之为变结构系统。
以右端不连续微分方程为例： 具有右端不连续微分方程的系统可以描述为
可得非线性滑模控制器如下：
⑤利用极点配置得到K，使得Ac的特征值之一为0 则可得：
hT Ac x xT AcT h xT h 0 sgn( s) hT f ( x, t ) s
⑥利用李雅普诺夫定理求出最后一个未知数η
1 2 V s 2 ss V sgn( s ) s shT f ( x, t ) | s | shT f ( x, t )
计值，目标求取Kd，Ks， 则控制律设计完成。
(s) 0 恒成立。 ⑤通过控制律，保证系统渐近稳定----V
( s) [n r 2 n K ]s 2 K | s | V 3 1 d s ˆ T T 1 1 ( )[n1v wind ] [( )v ˆ K ˆ K K K ˆ3 n3 2 n ( )r v]s ˆ K K
③李雅普诺夫不等式：
1 2 V ( s ) Ts , T 0 2 ( s ) sTs V ] s[ K wind (n3r 2 n1 )(v s ) Tv ] [n3 r 2 n1 ]s 2 s[ K wind (n3r 2 n1 )v Tv
滑模变结构控制设计方法
设计滑模变结构控制器的基本步骤包括两个相对 独立的部分:
(1)设计切换函数 s( x )，使它所确定的滑动模态渐近稳定且具有良 好的动态品质; ①线性： s( x) Cx, C Rn 主要适用于速度和精度要求都不高的非线性系统。 终端滑模控制 ②非线性： 积分滑模控制 分段线性滑模控制 ③时变
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
在滑模变结构中，通常点和起止点无多大意义，但终 止点却有特殊的含义。若切换面上某一区域内所有点都 是止点，则一旦状态点趋近该区域，就会被“吸引”到 该区域内运动。此时，称在切换面上所有的点都是止点 的区域为“滑动模态”区域。系统在滑动模态区域中的 运动就叫做“滑动模态运动”。按照滑动模态区域上的 点都必须是止点这一要求，当状态点到达切换面附近时， 必有： 0 lim s
定义1：系统结构 系统的一种结构为系统的一种模型，即由某一组数 学方程描述的模型。系统有几种不同的结构，就是 说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
定义2 ：滑动模态
人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计， 系统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形 象地称为滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑 动“二字即来源于此。
0
（2）指数趋近律
sgn(s) ks 0, k 0 s
（3）幂次趋近律
k s sgn(s) s

0 1
0
（4）一般趋近律 sgn(s) f (s) s
注：选取原则是保证系统状态点远离切换面时具有较快 趋近速度，由于过大趋近速度会导致剧烈抖振，是以适 当选择f(s)，使系统以适当速度趋近切换面。
滑模变结构控制的品质
滑模变结构控制的整个控制过程由两部分组成： ① 正常运动段：位于切换面之外, 如图的 x0 A段所 示。 ② 滑动模态运动段：位于切换面上的滑动模态区之 内，如图 A O 段所示。
x0
O
A
s( x ) 0
滑模变结构控制的品质取决于这两段运动的品质。由 于尚不能一次性地改善整个运动过程品质，因而要求选 择控制律使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数使滑动模态运动段的品质改善。两段运 动各自具有自己的高品质。 选择控制律 u ( x) :使正常运动段的品质得到提高。 选择切换函数 s( x ): 使滑动模态运动段的品质改善。
20世纪60年代：
1977年：
此后 各国学者开始研究多维滑模变结构控制系统，由 规范空间扩展到了更一般的状态空间中。
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我国学者贡献： 高为炳院士等首先提出趋近律的概念，首次提出 了自由递阶的概念。 海洋运载器方面的应用：

Yoerger and Slotine (1985), Slotine and Li(1991), Healey and Lienard (1993) and Mc Gookin et al. (2000a, 2000b）
Ax bu f ( x, t ) x T 目标反馈控制律： u k x u0 ( A bk T ) x bu0 f ( x, t ) x ①
Ac
②令切换函数 则可得：
s hT x
（跟踪误差： x
x xd 0
）
hT Ac x hT bu0 hT f ( x, t ) hT x d s
滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代：

前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控制的概 念，研究对象：二阶线性系统。
研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨论高 阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限及二次 型切换函数的情况。 Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文，系统 提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的方法。同时，在 1992年详细讨论了滑模技术。
ˆ T T 1 1 | | ( )[n1v wind ] | K s | ( )v ˆ K ˆ K K K ˆ3 n3 2 n | ( )r v | ˆ K K
例2：利用特征值分解的滑模控制（P522）----控制NPS AUV2 采用方法：控制律设计方法二----基于趋近律的滑模设计 控制对象模型：
例1 ：非线性船舶自动导航仪（P520） 采用方法：控制律设计方法一 带有非线性阻尼的稳定船模：
n3r 3 n1r K wind Tr
①定义一个新的信号v
②
v : r s s r v
Tr Tv Ts K wind (n3r 2 n1 )r Tv K wind (n3r 2 n1 )(v s ) Tv