的复合函数求导公式
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( cu( x)) xx0 cu( x0).
(3)
定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如
(uvw) uvw uvw uvw. 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . 证 (2) 按定义可得
f
(
x0
)
lim
Δ x
0
u(
x0
ΔBaidu Nhomakorabea
x
)v(
x0
Δ
Δ x
(sin y) cos y 1 x2 同理, (arccos x) 1 , x (1, 1) .
1 x2
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(ii) y arctan x 是 x tan y 在 (π 2,π 2 ) 上
1
lim
y
Δx 0Δy
1
( y0 )
.
例4 求下列函数的导数:
(i) arcsin x 和 arccos x ; (ii) arctan x 和 arccot x .
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解 (i) y arcsin x, x (1, 1 ) 是 x sin y 在 (π 2,π 2 ) 上的反函数,故 (arcsin x) 1 1 1 , x (1, 1).
因此, 对于多项式 f 而言, f 总是比 f 低一个幂次. 例2 求 y sin x ln x 在 x π 处的导数 . 解 由公式 (2),得
y (sin x) ln x sin x(ln x) cos x ln x 1 sin x , x
y x ln .
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定理5.7 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0,
u(
x0
)
v( x0
x) v( x0 ) x
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) .
注意: (uv)× uv ,千万不要把导数乘积公式 (2)
记错了.
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例1 求 f ( x) a0 xn a1xn1 L an1x an 的导数.
解 f ( x) (a0 xn ) (a1xn1) L (an1x) (an ) na0 xn1 (n 1)a1 xn2 L an1.
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x.
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同理可得
( cot x )
1 sin2 x
csc2 x .
(iii)
(
sec
x
)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x) csc x cot x.
§2 求导法则
导数很有用,但全凭定义来计算导 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 求导法则, 使导数运算变得较为简便.
一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式
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一、导数的四则运算
定理 5.5 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, 则函数
f ( x) u( x) v( x) 在点 x0 也可导, 且
( u( x) v( x) ) x x0 u( x0 ) v( x0 ).
(1)
定理 5.6 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, 则函数
f ( x) u( x)v( x) 在点 x0 也可导, 且 ( u( x)v( x) ) xx0 u( x0 )v( x0 ) u( x0 )v( x0 ). (2) 推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数,则
x)
u(
x0
)v
(
x0
)
lim
Δ x0
u( x0 Δ x)v( x0 Δ x) u( x0 )v( x0 Δ x) Δx
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u( x0 )v( x0 x) u( x0 )v( x0 )
x
lim
x0
u( x0
x) u( x0 ) x
v( x0
x)
lim
x
0
v(
x0
1
Δ
x
)
1 v( x0 )
Δx
Δx
v( x0 Δ x) v( x0 )
1
.
Δx
v( x0 Δ x) v( x0 )
由于 v( x) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0 , 因此
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g( x0 )
lim
x0
g( x0 Δx) g( x0 ) Δx
v( x0 ) v2( x0 )
则
f ( x) u( x) v( x)
在点 x0 也可导,且
u( x)
v(
x)
x x0
u(
x0
)v(
x0 v
) u( 2( x0 )
x0
)v(
x0
)
.
(4)
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证 设 g( x) 1 ,则 f ( x) u( x)g( x). 对 g( x), 有 v( x)
g( x0 Δ x) g( x0 )
.
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例3 求下列函数的导数: ( i ) xn, n 是正整数 ; (ii) tan x , cot x;
(iii) sec x, csc x .
解
(i)
(
xn )
1 xn
n xn1 x2n
n xn1 .
( ii )
(tan
x)
sin cos
x x
(sin x)cos x sin x(cos x) cos2 x
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二、反函数的导数
定理 5.8 设 y f ( x) 为 x ( y) 的反函数, 在
点 y0 的某邻域内连续,严格单调, 且 ( y0 ) 0,
则 f 在点 x0 ( y0 ) 可导, 且
f
( x0 )
1
( y0 )
.
(6)
证 设 Δx x x0, Δy y y0 , 则
Δx ( y0+Δy) ( y0 ), Δy f ( x0Δx) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,且严格
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单调, 从而有
Δx 0 Δy 0; Δx 0 Δy 0.
注意到 ( y0 ) 0, 便可证得
f
x0
Δy lxim 0Δx
,
亦即
1 v( x)
x x0
v( x0 ) v2( x0 )
.
(5)
对 f ( x) u( x)g( x) 应用公式 (2) 和 (5), 得
f ( x0 ) u( x0 )g( x0 ) u( x0 )g( x0 ) ,
即
u( x)
v( x)
x x0
u( x0 )v( x0 ) u( x0 )v( x0 ) v2( x0 )