的复合函数求导公式
复合函数的导数
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,u z ,代等式左边得解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
复合函数求导公式复合函数综合应用
复合函数求导公式复合函数综合应用假设有函数y=f(u)和u=g(x)，其中y是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数。
我们希望求得y关于x的导数dy/dx。
首先，我们需要求得函数y关于u的导数dy/du。
这可以通过对函数f(u)求导得到。
假设f(u)的导数为df/du，则dy/du=df/du。
接下来，我们需要求得函数u关于x的导数du/dx。
这可以通过对函数g(x)求导得到。
假设g(x)的导数为dg/dx，则du/dx=dg/dx。
最后，我们可以通过链式法则来求得y关于x的导数dy/dx。
链式法则指出，如果z是一个关于u的函数，u是一个关于x的函数，则z关于x的导数dz/dx可以表示为dz/du乘以du/dx，即dz/dx=dz/du * du/dx。
将这个原理应用到我们的问题中，可以得到dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
代入我们之前求得的dy/du和du/dx，可以得到dy/dx=(df/du)*(dg/dx)。
这就是复合函数求导公式。
根据这个公式，我们可以求得复合函数关于自变量的导数。
下面，我们来看一个关于复合函数的综合应用问题。
假设有一个函数y=f(u)和u=g(x)，其中f(u)和g(x)分别为：f(u)=2u^2+ug(x)=3x-1我们希望求得函数y关于x的导数dy/dx。
首先，我们可以求得函数y关于u的导数dy/du。
由于f(u) = 2u^2+ u，我们可以对f(u)求导，得到df/du = 4u + 1接下来，我们求得函数u关于x的导数du/dx。
由于g(x) = 3x - 1，我们可以对g(x)求导，得到dg/dx = 3最后，我们根据复合函数求导公式，可以得到dy/dx = (df/du) * (dg/dx) = (4u + 1) * 3这样，我们就求得了函数y关于x的导数dy/dx，即dy/dx = (4u + 1) * 3需要注意的是，我们还没求得u关于x的表达式。
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个求导是微积分中的一个重要概念，是用来确定函数在其中一点的变化率的工具。
而复合函数则是由多个函数组合而成的新函数，其求导过程相对复杂一些。
下面将介绍16个常见的复合函数求导公式。
1.设有函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))。
对这个复合函数求导，可以使用链式法则。
链式法则给出了复合函数求导的一个基本公式：(dy/dx) = (dy/du) * (du/dx)这个公式表示，对于复合函数y=f(g(x))，其导数等于f'(g(x))*g'(x)。
2.平方函数的链式法则：设有函数y=f(u)=u^2，u=g(x)，则y=f(g(x))=g(x)^2、求导的结果为：(dy/dx) = 2 * g(x) * g'(x)3.倒数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=1/u，u=g(x)，则y=f(g(x))=1/g(x)。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) / (g(x))^24.指数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=e^u，u=g(x)，则y=f(g(x))=e^(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * e^(g(x))5. 对数函数的链式法则：设有函数y=f(u)=ln(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=ln(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) / g(x)6. 正弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=sin(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=sin(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = g'(x) * cos(g(x))7. 余弦函数的链式法则：设有函数y=f(u)=cos(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=cos(g(x))。
求导的结果为：(dy/dx) = -g'(x) * sin(g(x))8. 正切函数的链式法则：设有函数y=f(u)=tan(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))=tan(g(x))。
复合函数求导公式
复合函数求导公式
复合函数求导公式
复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);
1什么是复合函数
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
2复合函数怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
1。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
复合函数求导
2)()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'=''=''+'='⋅'±'='±10;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();17.()log ,'()(0,1);ln 8.n n x x x x a f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -======-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x==则 二、复合函数的导数若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则三、基础运用举例1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( )A 0B 1C －1D 2 2 经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim 000--→ =_________4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程6 求函数的导数(1)y =(x 2－2x +3)e 2x ;(2)y =31xx -四、综合运用举例例1求函数的导数)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解 y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) 【注】题中三角函数求导较麻烦。
复合函数求导公式如何求导函数
复合函数求导公式如何求导函数1.复合函数的定义复合函数是指一个函数的输入是另一个函数的输出。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数可以表示为y=f(g(x))。
2.链式法则链式法则描述了复合函数的导数与内外函数的导数之间的关系。
设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx3.复合函数的导数计算根据链式法则，求复合函数的导数需要分别计算内外两个函数的导数，并将其乘以一起。
为了方便计算，将内外函数分别用u表示。
假设f(u)的导数为df/du，g(x)的导数为dg/dx，复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx可以表示为：dy/dx = (df/du) * (dg/dx)这里有一个例子来帮助理解复合函数的求导过程：4.例子假设有函数y=(x^2+1)^3，将其拆分为内外两部分，即令u=(x^2+1)，f(u)=u^3、我们可以看到，y是f(u)的复合函数。
首先，计算内外两个函数的导数。
对于外函数f(u)=u^3，其导数df/du=3u^2对于内函数u=(x^2+1)，其导数du/dx=2x。
然后，将内外函数的导数代入链式法则，并将其相乘，得到复合函数的导数。
dy/dx = (df/du) * (du/dx)=(3u^2)*(2x)注意，这里的u实际上是内函数的值，即u=(x^2+1)，所以将其代入式子中。
=3(x^2+1)^2*2x最终，我们得到复合函数y=(x^2+1)^3的导数为dy/dx =3(x^2+1)^2 * 2x。
当然，这只是一个简单的例子，实际问题中可能会更加复杂。
不过，不管是什么样的复合函数，都可以通过链式法则来求导。
只需要先计算内外函数的导数，然后将其代入公式即可。
总之，复合函数求导公式通过链式法则，将复合函数的导数化简为内外函数导数的乘积。
通过理解和应用这一公式，可以在实际问题中简化求导计算，提高计算效率。
多元函数求导法则公式
多元函数求导法则公式多元函数的求导法则公式有很多，下面我将逐个介绍并给出推导过程。
1.复合函数的求导法则：设函数z=f(u,v)是由u=g(x,y)和v=h(x,y)给定的复合函数。
求导法则公式为：∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)和∂z/∂y=(∂z/∂u)(∂u/∂y)+(∂z/∂v)(∂v/∂y)推导过程：设z=f(u,v)，u=g(x,y)，v=h(x,y)。
根据链式法则公式，dz/dx = ∂z/∂u * du/dx + ∂z/∂v * dv/dx即∂z/∂x=(∂z/∂u)(∂u/∂x)+(∂z/∂v)(∂v/∂x)同理，可以得到∂z/∂y的表达式。
2.隐函数的求导法则：设G(x,y,z)=0是一个由两个变量x和y决定的函数z的隐函数关系式。
求导法则公式为：dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z) 和 dz/dy = -(∂G/∂y)/(∂G/∂z)推导过程：根据隐函数求导公式，有 dx/dy = - (∂G/∂y)/(∂G/∂x)。
同时，我们可以得到 dz/dx = (dz/dx)/(dx/dy) = -(∂G/∂x)/(∂G/∂y)。
根据分子分母同乘以∂z/∂x，即 dz/dx = - (∂G/∂x)/(∂G/∂z)。
同理，可以得到 dz/dy 的表达式。
3.参数方程的求导法则：设x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)是由参数t给定的函数。
求导法则公式为：dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)推导过程：根据链式法则公式，dz/dt = (∂z/∂x)(dx/dt) + (∂z/∂y)(dy/dt)4.偏导数的求导法则：设函数z=f(x,y)是关于x和y的函数。
求导法则公式为：∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)以及∂²z/∂x∂y=∂/∂x(∂z/∂y)和∂²z/∂y∂x=∂/∂y(∂z/∂x)推导过程：根据二阶导数的定义，∂²z/∂x²=∂/∂x(∂z/∂x)和∂²z/∂y²=∂/∂y(∂z/∂y)。
复合函数如何求导公式
复合函数如何求导公式求复合函数的导数是很重要的数学技能，它可以帮助研究者深入了解函数的行为，并有助于识别数字模型的结构特性和关系。
复合函数的求导公式是对满足极限定义的复合函数求导的公式，它可以用来帮助我们快速准确地求出复合函数的导数。
当我们遇到超出基本步骤求导知识的复杂函数时，这里可以用到复合函数的求导公式。
基本复合函数求导公式基本复合函数求导公式可以用来快速地求出复合函数的导数，例如，对于复合函数 f(x)=g(h(x))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx`这里，f(x)=g(h(x))是基本复合函数的形式，df(x)表示函数f(x)的导数，dh(x)表示函数h(x)的导数。
在实际运用时，我们需要将f(x)和h(x)分别替换掉，便可以简化此形式的求导。
注意：这里求导不需要考虑函数f(x)和h(x)的解析解，只需要考虑它们的表达式即可，所以用此求导公式时只需要找到它们的对应关系即可，即：f(x)=g(h(x))就可以简化成df(x)/dx=df(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx。
推广复合函数求导公式除了基本复合函数的求导公式，还有更复杂的推广复合函数求导公式。
例如对于复合函数f(x)=g(h(k(x)))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(h(k(x)))/dh(k(x))*dh(k(x))/dk(x)*dk(x)/dx`其中，f(x)=g(h(k(x)))也是复合函数的形式，df(x)与上例相同，dh(x)与dk(x)分别表示函数h(x)和k(x)的导数，这里也可以把f(x)和h(x)、k(x)分别按照要求替换掉，并简化此形式的求导。
嵌套复合函数求导公式当遇到嵌套的复合函数时，例如f(x)=g(h(f(x)))，其具体求导形式如下，`df(x)/dx=df(g(h(f(x))))/dg(h(f(x)))*dg(h(f(x))/dh(f(x))*dh(f(x))/df(x)+df(h(f(x)))/dh(f(x))*dh(f(x))/df(x)`意义同上。
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
复合函数求导公式16个
复合函数求导公式16个在微积分中，复合函数是指由两个或多个函数构成的函数。
求复合函数的导数是微积分中的一个重要概念。
下面将介绍复合函数求导的16种常见公式。
1.线性函数复合如果y是x的线性函数，z是y的线性函数,即 $y=ax+b$ ,$z=cy+d$, 那么z是x的线性函数,即 $z=acx+(ad+bc)$。
2.指数函数复合如果y是x的指数函数，即$y=a^x$,z是y的指数函数，即$z=a^y$，那么z是x的指数函数，即$z=a^{a^x}$。
3.对数函数复合如果y是x的对数函数，即 $y=\log_a(x)$ ，z是y的对数函数，即 $z=\log_a(y)$ ，那么z是x的对数函数，即$z=\log_a(\log_a(x))$。
4.幂函数复合5.反三角函数复合如果y是x的反三角函数，即 $y=\sin^{-1}(x)$ ，z是y的反三角函数，即 $z=\sin^{-1}(y)$ ，那么z是x的反三角函数，即$z=\sin^{-1}(\sin^{-1}(x))$。
6.反双曲函数复合如果y是x的反双曲函数，即 $y=\sinh^{-1}(x)$ ，z是y的反双曲函数，即 $z=\sinh^{-1}(y)$ ，那么z是x的反双曲函数，即$z=\sinh^{-1}(\sinh^{-1}(x))$。
7.三角函数复合如果y是x的三角函数，即 $y=\sin(x)$ ，z是y的三角函数，即$z=\sin(y)$ ，那么z是x的三角函数，即 $z=\sin(\sin(x))$。
8.双曲函数复合如果y是x的双曲函数，即 $y=\sinh(x)$ ，z是y的双曲函数，即$z=\sinh(y)$ ，那么z是x的双曲函数，即 $z=\sinh(\sinh(x))$。
9.反函数复合如果y是x的反函数，即$y=f^{-1}(x)$，z是y的反函数，即$z=f^{-1}(y)$，那么z是x的反函数，即$z=f^{-1}(f^{-1}(x))$。
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些
复合函数高阶求导公式_复合函数求导公式有哪些复合函数的求导是微积分中的重要内容之一，它是用于计算复杂函数的导数的方法。
在微积分中，复合函数的求导是使用链式法则的一种应用。
链式法则描述了复合函数导数与原函数导数之间的关系。
对于复合函数y=f(g(x))其中f(x)和g(x)都是可导函数，链式法则可以表达为：dy/dx = dy/dg * dg/dx其中，dy/dg 代表对 f(g(x)) 求导得到的结果，dg/dx 代表对 g(x) 求导得到的结果。
复合函数求导的一般方法是通过逐步求导的方式来计算导数。
根据链式法则，我们可以使用一些特定的公式来计算复合函数的导数。
1.复合函数导数公式：(1)若y=f(u)和u=g(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dx(2)若y=f(u)和u=g(v)都为可导函数，则链式法则可以写为：dy/dx = dy/du * du/dv * dv/dx(3)若y=f(u,v)和u=g(x)和v=h(x)都为可导函数，则链式法则可以写为：∂y/∂x=∂y/∂u*∂u/∂x+∂y/∂v*∂v/∂x2.常见的复合函数求导公式：(1) 反正弦函数（arcsin）的导数：d/dx arcsin(u) = 1/√(1 - u^2) * du/dx(2) 反余弦函数（arccos）的导数：d/dx arccos(u) = -1/√(1 - u^2) * du/dx(3) 反正切函数（arctan）的导数：d/dx arctan(u) = 1/(1 + u^2) * du/dx(4)非常规复合函数求导公式：(a)e^u的导数：d/dx e^u = e^u * du/dx(b) ln(u) 的导数：d/dx ln(u) = 1/u * du/dx(c) sin(u) 的导数：d/dx sin(u) = cos(u) * du/dx(d) cos(u) 的导数：d/dx cos(u) = -sin(u) * du/dx(e) tan(u) 的导数：d/dx tan(u) = sec^2(u) * du/dx(f) cot(u) 的导数：d/dx cot(u) = -csc^2(u) * du/dx(g) sec(u) 的导数：d/dx sec(u) = sec(u)tan(u) * du/dx(h) csc(u) 的导数：d/dx csc(u) = -csc(u)cot(u) * du/dx(i)u^n的导数：d/dx(u^n) = n*u^(n-1) * du/dx(j)1/u的导数：d/dx (1/u) = -1/u^2 * du/dx(k) ln(u^c) 的导数：d/dx ln(u^c) = c*u^(c-1) * du/dx以上列举了一些常见的复合函数求导公式。
复合函数求导公式
复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。
复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。
二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。
链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。
三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。
解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。
根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。
【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。
解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。
2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。
【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。
解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。
根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。
复合函数的导数公式
复合函数的导数公式
与一元复合函数不同，多元复合函数的“复合”方式多种多样，这就使得多元复合函
数求导的问题相应地比一元函数情形复杂。
其实相同了很简单,请看：对于中间变量为一
元函数的情形。
其实相同了很简单,请看：
对于中间变量为一元函数的情形：
使用换元法算外围的,然后在乘以内围的例 y=cos（sinx）的导把sinx 看作t 得
y=--sint 再乘以sinx的导得最终结果y=--sin（cosx）。
中间变量为多元函数的情形：
举个例子：z=f(x+y,xy,x),u=x+y,v=xy。
dz/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)+df/dx,（“d”则表示偏导的符号）。
这里的df/dx,是把u,y看作不变,仅仅是对z=f(x+y,xy,x)中的第三个位置的x求导。
定理:如果函数u=u(x,y)和v=v(x,y)在点(x,y)都具备对x和对y的偏导数，函数
z=f(u,v)在点(u,v)具备已连续略偏导数，那么无机函数z =f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)的两个略偏导数都存有。
复合函数求导数的四步
复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。
2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。
3、相乘：把上述求导的结果相乘。
4、变量回代：把中间变量回代。
主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
例如，复合函数求导。
求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。
2、求导时分清是对哪个变量求导。
3、计算结果尽量简单。
4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。
5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。
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1
lim
y
Δx 0Δy
1
( y0 )
.
例4 求下列函数的导数：
(i) arcsin x 和 arccos x ; (ii) arctan x 和 arccot x .
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解 (i) y arcsin x, x (1, 1 ) 是 x sin y 在 (π 2，π 2 ) 上的反函数，故 (arcsin x) 1 1 1 , x (1, 1).
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( cu( x)) xx0 cu( x0).
(3)
定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如
(uvw) uvw uvw uvw. 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . 证 (2) 按定义可得
f
(
x0
)
lim
Δ x
0
u(
x0
Δ
x
)v(
x0
Δ
Δ x
(sin y) cos y 1 x2 同理, (arccos x) 1 , x (1, 1) .
1 x2
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(ii) y arctan x 是 x tan y 在 (π 2，π 2 ) 上
.
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例3 求下列函数的导数： ( i ) xn, n 是正整数 ; (ii) tan x , cot x;
(iii) sec x, csc x .
解
(i)
(
xn )
1 xn
n xn1 x2n
n xn1 .
( ii )
(tan
x)
sin cபைடு நூலகம்s
x x
(sin x)cos x sin x(cos x) cos2 x
§2 求导法则
导数很有用，但全凭定义来计算导 数是不方便的. 为此要建立一些有效的 求导法则, 使导数运算变得较为简便.
一、导数的四则运算 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式
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一、导数的四则运算
定理 5.5 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, 则函数
f ( x) u( x) v( x) 在点 x0 也可导, 且
( u( x) v( x) ) x x0 u( x0 ) v( x0 ).
(1)
定理 5.6 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, 则函数
f ( x) u( x)v( x) 在点 x0 也可导, 且 ( u( x)v( x) ) xx0 u( x0 )v( x0 ) u( x0 )v( x0 ). (2) 推论 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则
,
亦即
1 v( x)
x x0
v( x0 ) v2( x0 )
.
(5)
对 f ( x) u( x)g( x) 应用公式 (2) 和 (5), 得
f ( x0 ) u( x0 )g( x0 ) u( x0 )g( x0 ) ,
即
u( x)
v( x)
x x0
u( x0 )v( x0 ) u( x0 )v( x0 ) v2( x0 )
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二、反函数的导数
定理 5.8 设 y f ( x) 为 x ( y) 的反函数， 在
点 y0 的某邻域内连续，严格单调, 且 ( y0 ) 0,
则 f 在点 x0 ( y0 ) 可导, 且
f
( x0 )
1
( y0 )
.
(6)
证 设 Δx x x0, Δy y y0 , 则
u(
x0
)
v( x0
x) v( x0 ) x
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) .
注意: (uv)× uv ,千万不要把导数乘积公式 (2)
记错了.
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例1 求 f ( x) a0 xn a1xn1 L an1x an 的导数.
解 f ( x) (a0 xn ) (a1xn1) L (an1x) (an ) na0 xn1 (n 1)a1 xn2 L an1.
Δx ( y0＋Δy) ( y0 ), Δy f ( x0Δx) f ( x0 ) .
由假设, f 1 在点 x0 的某邻域内连续,且严格
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单调, 从而有
Δx 0 Δy 0; Δx 0 Δy 0.
注意到 ( y0 ) 0, 便可证得
f
x0
Δy lxim 0Δx
x)
u(
x0
)v
(
x0
)
lim
Δ x0
u( x0 Δ x)v( x0 Δ x) u( x0 )v( x0 Δ x) Δx
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u( x0 )v( x0 x) u( x0 )v( x0 )
x
lim
x0
u( x0
x) u( x0 ) x
v( x0
x)
lim
x
0
v(
x0
1
Δ
x
)
1 v( x0 )
Δx
Δx
v( x0 Δ x) v( x0 )
1
.
Δx
v( x0 Δ x) v( x0 )
由于 v( x) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0 , 因此
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g( x0 )
lim
x0
g( x0 Δx) g( x0 ) Δx
v( x0 ) v2( x0 )
则
f ( x) u( x) v( x)
在点 x0 也可导，且
u( x)
v(
x)
x x0
u(
x0
)v(
x0 v
) u( 2( x0 )
x0
)v(
x0
)
.
(4)
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证 设 g( x) 1 ，则 f ( x) u( x)g( x). 对 g( x), 有 v( x)
g( x0 Δ x) g( x0 )
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x.
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同理可得
( cot x )
1 sin2 x
csc2 x .
(iii)
(
sec
x
)
1 cos
x
(cos x) cos2 x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得
(csc x) csc x cot x.
因此, 对于多项式 f 而言, f 总是比 f 低一个幂次. 例2 求 y sin x ln x 在 x π 处的导数 . 解 由公式 (2)，得
y (sin x) ln x sin x(ln x) cos x ln x 1 sin x , x
y x ln .
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定理5.7 若函数 u( x),v( x) 在点 x0 可导, v( x0 ) 0,