演示文稿复合函数求导公式

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《复合函数的导数》课件

复合函数的导数
目录
• 复合函数简介 • 复合函数的导数 • 复合函数导数的计算 • 复合函数导数的应用 • 习题与答案
01
CATALOGUE
复合函数简介
复合函数的定义
复合函数是由两个或多个函数通过复合运算得到的函数。
设$u = f(x)$是一个函数，$y = g(u)$是另一个函数，则复合函数$y = g(f(x))$是由$f(x)$和$g(u)$复合而成。
复合函数导数的计算
链式法则
总结词
链式法则是复合函数求导的核心，它描述了函数内部自变量对外部自变量的导数关系。
详细描述
链式法则指出，如果一个函数y是另一个函数u的复合函数，即y=f(u)，那么dy/dx等于dy/du乘以du/dx。具体地，假设y=f(u)和u=g(x)，则dy/dx=(dy/du)*(du/dx)。
$f'(x) = 3x^2 + 4x + 1$
$f'(frac{pi}{2}) = cos(frac{pi}{2}) cdot frac{pi}{2} = 0$
$f'(e) = frac{2}{e}$
THANKS
感谢观看
复合函数导数的应用利用导数研究函数的单调性
总结词
利用导数研究曲线的凹凸性。
详细描述
通过求二阶导数并分析其符号，可以判断曲线的凹凸性。二阶导数大于0的区间内，曲线为凹；二阶导数小于0 的区间内，曲线为凸。这一性质在几何和工程领域中有重要的应用。
05
CATALOGUE
习题与答案
习题
计算复合函数$f(x) = (x^2 + 1)(x + 3)$的导数。
乘积法则

复合函数求导公式是什么怎么求导

复合函数求导公式：①设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x);②设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x);总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。两个函数商的复合函数可导的前提条件是作分母的函数即g(x)≠0，否则无意义。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。
微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算。牛顿和莱布尼兹发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究。这个发现使我们在微分和积分之间互相转换。
复合函数求导公式是什么怎么求导
总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)。主要方法：先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。
设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
复合函数求导，就是找出构成复合函数的子函数，一个复合函数可以拆分成无数种子函数。对于复合函数自身带有幂指对这类较为难求导的函数，一般来说会以它为中心进行化简，即最终子函数能够很容易求出复合函数中的幂指对。将复合函数的本框架作为原函数，化好子函数后，就是求导过程，划出来的函数全部求导，代入即可。

复合函数求导法

y′=(sin nx)′ sin nx + sin nx (sin nx)′ = ncos nx sin nx+sin nx n sin n1x (sin x )′ = ncos nx sin nx+n sin n1x cos x =n sin n1x sin(n+1)x.
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
§4.4 复合函数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 二、对数求导法
一、复合函数求导(链式法则) 如果u=(x)在点x0 可导，函数y=f(u)在点u0=(x0)可导，则复合函数y=f[(x)]在点x 0可导，且其导数为
dy = f ′(u0 ) ′( x0 ). dx x = x0 证设在x0处有自变量x的改变量Δx, Δu = ( x0 + Δx ) ( x0 ), Δy = f (u0 + Δu ) f (u0 ),
x
dy . dx 1 dy [cos(e x )]′ 解 = [ln cos(e x )]′= x dx cos(e ) 1 = [ sin(e x )] (e x ) ′ = e x tan(e x ). x cos(e )
华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
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华东理工大学《数学分析》电子课件(§4.4)
，求
dy . dx
1 1
y = sin nx sin n x(n为常数 ), 求
dy . dx
1 sin sin sin 1 1 1 dy = (e x )′ = e x (sin ) ′ = e x cos ( ) ′ dx x x x
解
1 sin 1 1 = 2 e x cos . x x

三个复合函数求导公式

三个复合函数求导公式嘿，说起复合函数求导公式，这可是数学里挺关键的一部分。

咱先来说说第一个复合函数求导公式，就像搭积木一样，一层一层来。

比如说，有个复合函数 f[g(x)]，那它的导数就是f’[g(x)] * g’(x)。

给您举个例子吧，就像咱平时去菜市场买菜。

假设咱想买的菜的价格是由当天的气温决定的，气温越高，菜越便宜。

咱把菜价设为 f(T)，气温设为 T = g(x)，x 呢就是时间。

那菜价对时间的变化率，就相当于这个复合函数的导数。

再看看第二个复合函数求导公式，它就像解开一团乱麻，得有耐心和技巧。

假如有个复合函数是由三个部分组成的，就像做一个三层的蛋糕，每一层都有它的作用。

比如说 h[k(m(x))]，它的导数就是h’[k(m(x))] * k’(m(x)) * m’(x)。

这就好比您组装一个复杂的模型，每个零件的安装顺序和方式都影响着最后的效果。

然后是第三个复合函数求导公式，这个有点像走迷宫，得找准方向。

比如说有个复合函数是 p[q(r(s(x)))]，那它的导数就是p’[q(r(s(x)))] *q’(r(s(x))) *r’(s(x)) * s’(x)。

给您说个我之前的经历，有一次我去辅导一个学生的数学，他对复合函数求导那是一头雾水。

我就拿一个很简单的例子给他讲，比如一个函数是 (2x + 1)^2 ，这其实就是个复合函数，可以看成 f(g(x)) ，其中 g(x) = 2x + 1 ，f(x) = x^2 。

那求导的时候，先求f’[g(x)] 就是 2g(x) ，再乘以g’(x) 也就是 2 ，结果就是 4(2x + 1) 。

这孩子一开始瞪大眼睛，满脸迷茫，我就反复给他讲，让他自己多做几道题，慢慢地，他终于明白了，那脸上露出的笑容，让我也觉得特有成就感。

总之啊，这三个复合函数求导公式虽然看起来有点复杂，但只要您多练习，多琢磨，就像熟悉菜市场的菜价规律，或者组装模型的步骤一样，肯定能掌握得牢牢的。

证明复合函数的导数公式

复合函数导数公式复合函数导数公式如下：含义：设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠0，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的v值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。

论证说明：f(x)在点x0可导的充要条件是在x0的某邻域U(x0)内，存在一个在点x0连续的函数H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)从而f'(x0)=H(x0)。

证明：设f(x)在x0可导，令H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心邻域); H(x)=f'(x0),x=x0。

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)。

所以H(x)在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)。

反之，设存在H(x),x∈U(x0),它在点x0连续，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x 0)。

因存在极限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H (x0)。

所以f(x)在点x0可导，且f'(x0)=H(x0)。

引理证毕。

延伸论证说明：设u=φ(x)在点u0可导，y=f(u)在点u0=φ(x0)可导，则复合函数F(x)=f(φ(x))在x0可导，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)。

证明：由f(u)在u0可导，由引理必要性，存在一个在点u0连续的函数H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)。

《复合函数求导》课件

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边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率，从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。

简单复合函数的求导法则课件北师大选修3

求导法则在经济学中的应用：例如，求导法则可以用来求解经济模型的最优解，如利润最大化、成本最小化等。求导法则在工程学中的应用：例如，求导法则可以求导法则在生物学中的应用：例如，求导法则可以用来求解生物系统的最优解，如基因表达调控、生物进化等。
举例说明求导法则在数学建模中的应用
复合函数的表示方法
基本形式：f(g(x))
复合函数：f(u)，其中u=g(x)
复合函数的导数： f'(g(x))*g'(x)
复合函数的求导法则：链式法则
复合函数的性质
复合函数的定义：由两个函数组成的函数，其中一个函数是另一个函数的自变量复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积复合函数的性质：复合函数的导数等于导数的乘积
求导法则在函数优化中的应用：通过求导找到函数的极值点，从而优化函数求导法则在微分方程中的应用：通过求导解决微分方程，从而解决实际问题求导法则在物理模型中的应用：通过求导建立物理模型，从而解决物理问题求导法则在经济模型中的应用：通过求导建立经济模型，从而解决经济问题
复合函数求导法则的注意事项
乘积法则的应用：求导复合函数
乘积法则的证明：利用极限的定义和导数的定义进行证明
乘积法则的局限性：只适用于简单复合函数，不适用于复杂复合函数
商式法则
商式法则：f(u)=(u^n)/(u^m)，其中n和m为常数，u为变量
求导法则：f'(u)=n*u^(n-1)/u^m 应用：求导简单复合函数，如f(u)=(u^2)/(u^3)，f'(u)=2*u^(21)/u^3=2/u 注意事项：u不能为0，否则求导结果无意义
添加副标题
简单复合函数的求导法则

演示文稿复合函数与隐函数的偏导数

注对复合函数求高阶偏导数时, 需注意:
导函数仍是复合函数. 故对导函数再求偏导数时,
仍需用复合函数求导的方法.
第二十五页，共29页。
隐函数的求导公式
设方程 xy yz zx 1 确定了隐函数
z
z(
x,
y),试求
2z x 2
,
2z y2
.
分析在某函数(或方程)表达式中, 将任意两个自变量互换后, 仍是原来的函数 (或方程), 称函数
都在点( x, y)处具有三对个x中和间y的变偏量导两数个,复自合变函量数
z f [ ( x, y), ( x, y),( x, y)]在对应点 ( x, y)
u
v
w
的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:
z z u z v z w x u x v x w x
ux
zv
z y
z u u y
z v
多元复合函数的求导法则
如z f (u,v, w), u u(t), v v(t), w w(t) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
问: 函数对某自变量的偏导数之结构
项数
中间变量的个数.
每一项函数对中间变量的偏导数
该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).
第五页，共29页。
多元复合函数的求导法则
例设 y (cos x)sin x ,求 dy
dx 解法一
这是幂指函数的导数, 可用取对数求导法计算.
但用全导数公式较简便.
法二令u cos x, v sin x, 则y uv
dy y du y dv dx u dx v dx
u
y

复合函数求导法【高等数学PPT课件】

y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2

1 2
[(
2u
2

1 2

2u 1)
2
( 2u

1 2
2u
2

1)] 2

1 4
(2u2

2
2u

2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y

f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11

1 y

f12 z)
f

z(
f21
1 y

f22 z)
1x
2y 3z

1 y2
f11

2
z y
f12

z2
f

,
f21

2 f vu
,
f22

2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则

复合函数的求导法则ppt课件

1 － 2a = 2b －4
ab 5. 2
解(2): ab a b
ab (a b)2 25 .
2
2
16
16
再见!
17
eu (0.05) 0.05e0.05x1.
10
例2 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ; 3 y sin x 其中 ,均为常数 .
(3)函数 y sin x 可以看作函数 y sin u
13
例4.求过点P(－2,0)且与曲线y=x2＋x＋1相切的直线方程.
b=a2＋a＋1 …………(1)
y' 2x 1
kPA 2a 1
kPA

a
b
2
b
P(－2,0)
2a 1
a2
b=2a2＋5a＋2 …………(2)
A(a,b)
2a2＋5a＋2 =a2＋a＋1 a2＋4a＋1=0
和 u x 的复合函数. 由复合函数求导法则有:
y'x yu' u'x (sin u)' x ' cos u cos x .
11
4 y 2x 3 ; 5 y ln(2x 1);
(6) y ( x 2)3(3x 1)2
解出a即可。
15
例5.设抛物线C1 : y x2 - 2x 2与抛物线 C2 : y - x2 ax b在它们的交点处的切线互相垂直. (1)求a, b之间的关系.
(2)若a 0, b 0,求ab的最大值.
解(1): 设C1与C2交点P(m,n),

导数复合函数求导法则非常实用(共14张PPT)

由已知得f(1)=1，f(2)=－1，f ’(2)=1，
abc1
4
a
2b
c
1
4a b 1
a3
解得
b
11
c 9
第8页，共14页。
练习题 1．函数y=(5x－4)3的导数是（）C
（A）y’＝3(5x－4)2 （B）y’＝9(5x－4)2 （C）y’＝15(5x－4)2 （D）y’＝12(5x－4)2
第9页，共14页。
2．函数 y＝Acos(ωx+φ)（Aω≠0）的导数是（）D
（A）y’=Asin(ωx+φ) （B）y’=－Asin(ωx+φ) （C）y’=Aωcos(ωx+φ) （D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
第10页，共14页。
3．函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（）（BA）y’=cos(x2+1)－sin3x （B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x （C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x （D）y’=cos(x2+1)+sin3x
第11页，共14页。
4．函数y=(1+cosx)3是由 y=u3, u=1+cosx两个函数复合而成．
5．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程
是
y=1 .
第12页，共14页。
6．求 y3 ax2 bxc的导数
Байду номын сангаас
y
'
1
(ax2
bx
2
x) 3
(2ax
b)
3
(2ax b) 3 ax2 bx c 3(ax2 bx c)

复合函数求导PPT课件

在书写时不要把写成 ,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导. 3.复合函数的求导法则: 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数. 法则可以推广到两个以上的中间变量. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选中间变量. 复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.
例7:求函数
的导数.
说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用定义来讨论分段点的可导性. 解 :当 x≠ 1时 , 又而 . ,故f(x)在x=1处连续.
从而f(x)在x=1处不可导.
四、小结：
利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体, 这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.
例4:在曲线上求一点,使通过该点的切线平行于 x轴,并求此切线的方程. 解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知: 切线斜率
把x0=0代入曲线方程得:y0=1. 所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.
例5:求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直. 证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可. 联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直. 由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得同理由4x2+9y2=复合函数的概念: 对于函数y=f[ (x)],令u= (x),若y=f(u)是中间变量 u的函数, u= (x)是自变量x的函数,则称y=f[ (x)] 是自变量x的复合函数. 2.复合函数的导数: 设函数在点x处有导数 ,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数 ,则复合函数在点x处也有导数,且或记如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u =3x-2,则从而 .结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.

高数课件64复合函数求导法则

03
误区三
运算错误。有些同学在求导过程中由于运算不熟练或粗心大意导致出错。
要避免这种误区，需要加强运算练习，提高运算准确性和熟练度。
典型例题分析与解答
例题一
求函数$y = sin(2x)$的导数。
分析
这是一个典型的复合函数求导问题，其中外层函数是$sin u$，内层函数是$u = 2x$。根据复合函数求导法则，我们有$frac{dy}{dx} = frac{d(sin u)}{du} cdot frac{du}{dx} = cos u cdot 2 = 2cos(2x)$。
解答
$y' = 2cos(2x)$。
例题二
求函数$y = e^{tan x}$的导数。
分析
这也是一个复合函数求导问题，其中外层函数是$e^u$，内层函数是$u = tan x$。根据复合函数求导法则，我们有 $frac{dy}{dx} = frac{d(e^u)}{du} cdot frac{du}{dx} = e^u cdot sec^2 x = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
解答
$y' = e^{tan x} cdot sec^2 x$。
07 总结与展望
课程内容总结
复合函数求导法则基本概念
讲解了复合函数、中间变量、链式法则等基本概念，为求导法则的学习打下基础。
复合函数求导法则的推导
详细推导了复合函数求导法则，包括一元复合函数、多元复合函数以及含参变量的复合函数的求导方法。
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04 复合函数求导法则的应用
单一复合函数的求导
链式法则
若函数u=g(x)在点x可导，函数 y=f(u)在对应点u=g(x)可导，则复合函数y=f[g(x)]在点x可导，且其导数为y'=f'(u)g'(x)或 dy/dx=dy/du * du/dx。

复合函数的求导法则公式

复合函数的求导法则公式
在微积分学中，借助表达式，如复合函数的求导法则公式，可以推导出函数的导数，从而研究函数变化的规律。

复合函数的求导法则公式指的是：设有函数f(x)和g(x)，其中f为g的复合函数，g(x)的导数为g'(x)，f(x)的导数为f'(x)，则f(x)的导数的表达式为
f'(x)=g'(x)f′(g(x)).这一公式也可以被称作链式法则。

具体来讲，复合函数求导时，首先要确定函数f(x)和g(x)，然后将f(x)表示为g(x)的复合函数，将其根据链式法则表示为f′(x)=g′(x)f′(g(x))。

由于这里共有两个变量，因此当可以充分解释复合函数的求导公式时，就可以使用链式法则将其求导表达式化简为一个，最终求得函数f(x)的导数。

在使用链式法则求解复合函数求导公式时，要注意一个问题，就是对导函数的理解。

只有彻底理解了导函数的内容和作用，才能正确解释复合函数求导公式。

此外，由于这个公式既涉及函数f(x)的求导，也涉及函数g(x)的求导，因此要求读者在实际计算中，具有足够的推导过程和数学计算能力，才能给出正确的求解思路，最终得到准确的解决方案。

总而言之，复合函数求导法则公式是一种有效的链式求导方法，在研究函数变化规律时，它有着重要的作用。

但同时，由于复合函数的复杂程度也很大，因此读者在实际应用时，要加强对复合函数和链式法则的认识，以保证最终的正确求解。