演示文稿复合函数求导公式

dx
解得
dy e x y dx x e y ,
由原方程知 x 0, y 0,
dy dx
x0
ex y xey
x0 y0
Hale Waihona Puke Baidu
1.
2、 对 数 求 导 法
观察函数
( x 1)3 x 1 y ( x 4)2 e x ,
y x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
理论推广 复合函数法则可推广到多个中间变量的情形
例如,
y
dy dx
dy du
d u
dv
dv dx
u v
f ( u ) ( v ) ( x )
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例3、设
求
解: 函数可以看作由函数y ln u 、u cos v 与v ex复合而成
dy 1 du u
du sin v dv
dv ex dx
dy 1 ( sin v )ex 1 (sinex )ex
dx u
cos ex
四、反函数求导法则
定理 设 y f ( x )为 x f 1( y ) 的反函数,
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y )] 0
f (x) 1
[ f 1( y)]
练习3、求下列函数的导数：
（1）y x3 sin x (2) y x4 x2 x 3
（3）y 2x3 3x2 5x 4
(4) y (2x2 3)(3x 2)
（5）y x2 sin x
（6）y sin x cos x
练习4：设y x cos x 4ln x sin ,求y
（优选）复合函数求导公式ppt 讲解
一、课前练习
练习1、求下列函数的导数
(1) y x5
(2) y 5 (3) y 1 x
(4) y ln x (5) y log2 x (6) y cosx
练习2、求下列函数的导数：
5
(1) y x
(2)
y
1 x5
(3) y 5x
(4) y e5
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
x
1
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
例8：设 y xsinx ( x 0), 求y.
解： 等式两边取对数得
上式两边对x求导得
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
3、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t )确定 (t)
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
du 2 dx
dy dy du 2cos u 2cos 2x dx du dx
例1函数
1 y
(1 3x)4
的导数.
解：
y 1 (1 3x)4
(1 3x)4
．
设 y u 4 u 1 3x
y'x y'u u'x (u4 )'u (1 3x)'x
4u5 (3) 12u 5 12(1 3x)5
7
解 : y ( x cos x ) (ln x ) (sin ) 7
( x)cos x x(cos x) 4(ln x) 0
cos x x sin x 4
2x
x
二、复合函数的求导法则
思考 求函数y sin 2x的导数
比较下列两种做法
方法一:由公式(sin x ) cos x, 得y (sin 2x ) cos 2x
方法：直接对方程两边用复合函数求导法则求
导.
当方程的两端对x求导时，要记住y是x 是函数，然后用 复合函数求导法则 去求导。
例7：求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
. x0
解： 方程两边对x求导,
y x dy ex ey dy 0
dx
方法二: y sin 2x 2 sin x cos x
y ( 2 sin x cos x ) 2[(sin x )cos x sin x(cos x )]
2(cos2 x sin2 x ) 2 cos 2x
定理 如果函数u (x)在点x可导,而y f(u) 在点u (x)可导,则复合函数y f[(x)]在点 x可 导, 且 其 导 数 为
或 dy 1
d x dx
dy
例4、 求反三角函数的导数
解: 1) 设
则
cos y 0 , 则
(sin
y)
1 cos
y
y ( , ) ,
22
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x
arcsin
x
2
五、三个求导方法
1、 隐函数求导法则 显函数：： 因变量y可由含有自变量x的数学式子直接表示
dy dy du ( 或f [( x )] f ( u )( x ))
dx du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量 求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
对于思考题 函数y sin 2x，求y
函数可看作由函数y sin u与u 2x复合而成
dy cos u du
出来的函数，形如：y f( x )
隐函数： 由方程所确定的函数y y( x )称为隐函数.
对于隐函数我们可以显化，如由方程x y3 1 0 解出y 3 1 x化成显函数的性质
但 是 有 的 不 易 甚 至 不 能显 化 ， 例如：方程ey xy 0 所确定的隐函数
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
--------对数求导法
例8： 设 y ( x 1)3 x 1 , 求y. ( x 4)2 e x
解: 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
12 (1 3x)5
．
例2： 求函数y a 2 x2的导数
解：此函数可看作由函数y
复合而成
dy 1 du 2 u
du 2x dx
dy 2x 1 x
dx
2u
a2 x2
u与y a 2 x 2
思考题 函数
求
练习、求下列函数的导数 （1）y= 1 2x cos x （2）y=ln (x+ 1 x2 )