概率期望与方差的计算和性质

概率与统计

知识点一：常见的概率类型与概率计算公式；类型一：古典概型；

1、古典概型的基本特点：

（1）基本事件数有限多个；

（2）每个基本事件之间互斥且等可能；2、概率计算公式：

A事件发生的概率

()

A

P A=

事件所包含的基本事件数

总的基本事件数。

类型二：几何概型；

1、几何概型的基本特点：

（1）基本事件数有无限多个；

（2）每个基本事件之间互斥且等可能；

2、概率计算公式：

A事件发生的概率

()

A

P A=

构成事件的区域长度（或面积或体积或角度）总的区域长度（或面积或体积或角度）；

注意：

究竟是长度比还是面积比还是体积比，关键是看表达该概率问题需要几个变量，如果需要一个变量，则应该是长度比或者角度比；若需要两个变量则应该是面积比；当然如果是必须要三个变量则必为体积比；b5E2RGbCAP

（2）如果是用一个变量，到底是角度问题还是长度问题，关键是看谁是变化的主体，哪一个是等可能的；

例如：等腰ABC ∆中，角C=23π

，则：

（1） 若点M 是线段AB 上一点，求使得AM AC ≤的概率；

（2）

若射线CA 绕着点C 向射线CB 旋转，且射线CA 与线段AB 始终相交且交点是M ，求使得AM AC ≤的概率；

解读：第一问中明确M 为AB 上动点，即点M 是在AB 上均匀分布，

所以这一问应该是长度之比，所求概率：

13P =

。 而第二问中真正变化的主体是射线的转动，所以角度的变化是均匀的，所以这一问应该是角度之比的问题，所以所求的概率：

2755

=

=

1208P ︒；p1EanqFDPw 知识点二：常见的概率计算性质； 类型一：事件间的关系与运算；

A+B<和事件）：表示A 、B 两个事件至少有一个发生；

A B •<积事件）：表示A 、B 两个事件同时发生；

A <对立事件）：表示事件A 的对立事件；

类型二：复杂事件的概率计算公式；

1、 和事件的概率：

()=()()()P A B P A P B P A B ++-•

<1）特别的，若A 与B 为互斥事件，则：

()=()()P A B P A P B ++

<2）对立事件的概率公式：

()1()P A P A =-

2、 积事件的概率：

<1）若事件12n A A A 、、、相互独立，则：

1212()()()()

n n P A A A P A P A P A ••

•=••

•

<2）n 次独立重复的贝努利实验中，某事件A 在每一次实验中发生的概率都为p ，则在n 次实验中事件A 发生k 次的概率：DXDiTa9E3d ()(1)

k k k n k

n n P A C p p -=-

类型三：条件概率；

1、 条件概率的定义：我们把在事件

A 发生的条件下事件

B 发生的概

率记为：(|)P B A ； 且

()

(|)()P A B P B A P A •=

2、 三个常见公式：

（1）

乘法公式：()()(|)P A B P A P B A •=• （2）

全概率公式：设

123,,,

,n

A A A A 是一组互斥的事件且1

n

k

k A

==Ω

∑，

则对于任何一个事件B 都有：

1

1

()()()(|)

n

n

k i i k k P B P A B P A P B A ===•=•∑∑

（3）

贝叶斯公式：设

123,,,,n

A A A A 是一组互斥的事件且1

n

k

k A

==Ω

∑

则对于任何一个事件B 都有：

1

()(|)

(|)()(|)

j j j n

i

i

k P A P B A P A B P A P B A =•=

•∑

知识点三：求解一般概率问题的步骤；

第一步：确定事件的性质：等可能事件、互斥事件、相互独立事件、n 次独立重复实验等；

第二步：确定事件的运算：和事件、积事件、条件概率等； 第三步：运用相应公式，算出结果；

知识点三：常见的统计学数字特征量及其计算； 特征量一：平均数<数学期望） 计算公式一：1231

()

n x x x x x n

=

++++；

计算公式二：

1

()

n

x i i k E x P x x ==•=∑；

计算公式三：<若随机变量x 是连续型随机变量，且函数()f x 是它的密度函数）

()Ex xf x dx

+∞-∞

=⎰

特征量二：中位数

将所有的数从大到小排或者从小到大排，若共有奇数个数，则正中间的那个数叫做这一列数的中位数；若共有偶数个数，那么正中间那两个数的平均数叫做这一列数的中位数。RTCrpUDGiT 特征量三：众数

将所有数中出现次数最多且次数超过1次的数叫做这一列数的众数。一列数的众数可以有多个，也可以没有。 特征量四：方差

方差反映一组数或者一个统计变量的稳定程度，方差越小数值越稳定，方差越大则数值波动越大。