材料力学教学课件 材料力学(i)第八章

z
My M
y
24
如求a点应力 Md
I
M: 合弯矩
I: 对中性的惯性矩
I
Iy
Iz
D4
64
d: a点到中性轴的矩离。
d •a Mz
z
My M
中性轴
y
25
第八章 组合变形及连接部分的计算
图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：
2
第八章 组合变形及连接部分的计算
齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形 （两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。
吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合 变形。
3
第八章 组合变形及连接部分的计算
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把 两个平面弯曲的效应加以组合，故归于组合变形。
3EIz
当Iz Iy时， 即位移不再发生在荷载作用
面。因而不属于平面弯曲。
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对于Iz=Iy的截面(如圆形截面) xy面内y方向的力引起Mz xz面内z方向的力引起My 合弯矩M=My+Mz仍在对称 面内，于是总是可以用平 面弯曲的公式来进行应力 计算，不过此时中性轴已 不是y轴或 z轴。
Mz
MyMz
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-1 概述 §8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲 §8-2+ 平面弯曲的条件 §I-4 惯性矩和惯性积转轴公式· 截面的主惯性轴和
主惯性矩
§8-3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 §8-4 扭转和弯曲的组合变形 §8-5 连接件的实用计算法
§8-6 铆钉和螺栓连接的计算 *§8-7 榫齿连接
8
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲
具有双对称截面的梁， 它在任何一个纵向对称面 内弯曲时均为平面弯曲。
故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性 弹性且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和 位移，然后叠加。
(d)
4
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形 的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、 应力或位移进行叠加。
在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移， 还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。
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Ⅱ.连接件的实用计算
第八章 组合变形及连接部分的计算
D1
Mz
z
My
D2
中性轴
荷载作用面
y
21
6.变形
Py引起的自由端的绕度
fy
Pyl3 3EI z
Pz引起的自由端的绕度
fz
Pzl 3 3EI y
fz fy
z
y
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| f | | fy|2| fz |2
Pzl3
tg
fz fy
3EIy Pyl3
PzIz PyIy
Iz tg
Iy
fz f fy
y
z
Qy= Py =P cos Qz =Pz=P sin
组合变形时，通常忽略弯曲剪应力。
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应力 Mz:
Mz y
Iz
My:
M y z
Iy
15
D1
z
Mz
D2
y
D1
z
D2
My
y
3.叠加
由于两种基本变形横截面上只有正应力，
于是“ 加”成了代数和。 截面上任意点应力：
D1
z
My
wk.baidu.com
Mz yMy z
Iz
c(y, z)
y
19
或写成
y0
My Mz
Iz Iy
z0
可见中性轴为一条过截
面形心的直线，它与z轴
的夹角为：
tgy0 My Iz Iz tg
z0 Mz Iy Iy
Mz
My
z
荷载作用
中性轴
y
当Iz Iy时， 即中性轴不再垂直于荷载
作用面。
20
做与中性轴平行的 直线与截面相切的点 (D1 ， D2) 即 为 最 大 拉 应 力和最大压应力点。将 这些点的坐标(y, z)代入 应力公式，即可求得最 大正应力。
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二、两相互垂直平面内的弯曲的组合
平面弯曲
P
荷载作用面
z y
Mz
z
中性轴 y
在屏幕平面内绕 z 轴弯：
Mz y
Iz
Iz: 对中性轴的惯性矩 y: 到中性轴的距离
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z
P
y
荷载作用面
z My
y 中性轴
在垂直于屏幕平面内绕 y 轴弯 My z Iy
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z x
Pz Py
x
LP y
1.外力分解 (使每个力单独作 用时，仅发生基本变形)
17
点D1(y1, z1)
maxM Izz y1M Iyy z1[]
显然
Iz y1
Wz,
Iy z1
Wy
强度条件： Mz My [ ]
Wz Wy
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5.中性轴(零应力线)
不失一般性，令第 一象限的点的应力为零 即可得到中性轴方程.
Mz
Iz
y0MIyy
z00
y0, z0为中性轴上的点
Mz
z
My
1
第八章 组合变形及连接部分的计算
Ⅰ. 组合变形
§8-1 概 述
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所 对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
烟囱（图a）有侧向荷载 （风荷，地震力）时发生弯压组 合变形。
Py=P cos Pz=P sin
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2.分别计算各基本变形的内力、应力
z x
Pz Py
x
L
P
y
内力：x截面
M z P y (l x ) P co (l s x ) M co(上s拉、下压)
M y P z( l x ) P si( ln x ) M sin (后拉、前压)
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可不定义弯矩的符号，标明弯曲方向 M=P(lx) 总弯矩
Iy
Mz •C
D2 y
对第一象限的任意C点 (yc>0 , zc>0)
Mz
Iz
yc
My Iy
zc
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4.强度计算
危险截面 x=0
危险点 D1最大拉应力， D2点最大压应力 (数值相等)
D1
z
My
Mz •C
D2 y
危险点应力状态 单向应力状态
(D1是单向拉伸， D2是单向压缩)
强度条件： max≤ [ ]
连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。
螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。
F
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第八章 组合变形及连接部分的计算
键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。
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第八章 组合变形及连接部分的计算
工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化 的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力 （nominal stress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定 的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法 （engineering method of practical analysis）。