高考文科数学导数专题复习

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文案大全高考文科数学导数专题第1讲变化率与导数、导数的计

算

知识梳理

1.导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝0lim x??f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.

(2)函数f(x)的导函数f′(x)＝0lim x??f（x＋Δx）－f（x）Δ

x为f(x)的导函数.

2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

3.基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：

考点一导数的计算

【例1】求下列函数的导数：

(1)y＝e x ln x；(2)y＝x??????x2＋1x＋1x3；

解 (1)y′＝(e x)′ln x＋e x(ln x)′＝e x ln x＋e x1x＝??????ln x＋1x e x.(2)因为y＝x3

＋1＋1x2，

所以y′＝(x3)′＋(1)′＋??????1x2′＝3x2－2x3.

【训练1】 (1) 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e

解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，

则f′(1)＝－1.答案 B

(2)(2015·天津卷)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)

为f(x)的导函数.若f′(1)＝3，则a的值为________.

(2)f′(x)＝a??????ln x＋x·1x＝a(1＋ln x).由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′

(1)＝3，所以a＝3.答案 (2)3

考点二导数的几何意义

命题角度一求切线方程

【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝e x－1

＋x.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝e x－1＋x，所以当x>0时，f(x)＝e x－1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝e x－1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 答案 2x－y＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与

曲线y＝f(x)相切，则直

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文案大全线l的方程为( )A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x －y＋1＝0

(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝x ln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴ y0＝x0ln x0，y0＋1＝（1＋ln x0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案 B 命题角度二求切点坐标

【例3】 (2017·西安调研)设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x>0)上点P 处的切线垂直，则P的坐标为________.

解析由y′＝e x，知曲线y＝e x在点(0，1)处的切线斜率k1＝e0＝1.设P(m，n)，又y＝1x(x>0)的导数y′＝－1x2，曲线y＝1x(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2.依题意k1k2＝－1，所以m＝1，从而n＝1.

则点P的坐标为(1，1).答案 (1，1)

【训练3】若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________.解析 (1)由题意得y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即点P的坐标为(e，e). 答案 (1)(e，e)

命题角度三求与切线有关的参数值(或范围)

【例4】 (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

解析由y＝x＋ln x，得y′＝1＋1x，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋(a＋2)x＋1

相切，消去y，得ax2＋ax＋2＝0，∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.答案 8

【训练4】1.函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________. 函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，而f′(x)＝1x＋a，即1x＋a在(0，＋∞)上有解，a ＝2－1x，因为a＞0，所以2－1x＜2，所以a的取值范围是(－∞，2).答案

(2)(－∞，2)

2.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为( )

A.1

B.32

C.5 2

D.2 解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意

一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y

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文案大全＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为2.答案 D 第2讲导数在研究函数中的应用

知识梳理

函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数. 考点一利用导数研究函数的单调性