具有年龄结构和常数迁移率的SIR模型

收稿日期 : 2009Ο 10Ο 14 ; 修改稿收到日期 : 2010Ο 01Ο 16 基金项目 : 国家科技支撑计划资助项目 ( 2006BAD32B0325) ) , 女 , 广东清远人 , 硕士研究生 . 主要研究方向为生物数学 . EΟ 作者简介 : 苏细容 ( 1984 — mail : sxr - 0401 @1631 com 3 通讯联系人 , EΟ mail : lshlxc @2631 net
The age2st ruct ured SIR model wit h constant immigration
SU Xi2ro ng , L IU Sheng
( School of Science , Beijing Forest ry University , Beijing 100083 , China)
9i 9i + =-α i ( a , t) - γ( a) i ( a , t) + 9t 9 a (3)
H ( t) ( k ( a) s a , t) , N s ( 0 , t) = 1 , i ( 0 , t) = 0 , H ( t) = b0
a+
3 平衡态的稳定性
31 1 无病平衡态的局部稳定性
6
西 北 师 范 大 学 学 报 ( 自然科学版) 第 46 卷 2010 年第 3 期 Journal of No rt hwest Normal U niversity (Nat ural Science) Vol1 46 2010 No1 3
d P ∞ ( a) = - μ( a) P ∞ ( a) . da
(2)
∫
α σ α e e
H3 a )d τ - N k (τ σ
∫
H3 ξ τ )d τ - N k( 0
∫
ξ d d a.
求解 ( 2 ) 式得 P ∞ ( a) = b0π( a) .
S ( a , t) ( 作单 位 化 变 换 : s ( a , t) = , i a , t) = P ∞ ( a) I ( a , t) R ( a , t) , r ( a , t) = . 由于 s ( a , t) + i ( a , t) + P ∞ ( a) P ∞ ( a) r ( a , t) = 1 , 所以系统 ( 1 ) 可化为如下系统 :
0
表示 t 时刻的总人口数 . 将模型 ( 1 ) 前 三个 式子相 加 , 由 S ( a , t ) +
I ( a , t) + R ( a , t) = P ∞ ( a) , 得
b0 H
∫
0
a+
π( a) h ( a) e - αa σ+ e d
∫
0
a
ξ ξ ) e∫ k(
a
γ(τ )d τ
・
建立合理的传染病数学模型以便有效分析传染 病的传播规律并预测传染病的传播 , 一直是各国数 学 家 关 注 的 研 究 课 题 . 1927 年 , Kenrmack 和 Mckendrick 开始用动力学方法研究传染病的传播 过程 . 至今 , 已经建立的传染病模型大致有常微分 方程模型 、偏微分方程模型 、常微偏微混合模型以 及应用概率知识的离散模型等 . 以往模型大多数都假定他们在给定区域内均匀 分布 , 而事实上 , 传染病随着种群成员的流动在空 间的扩散是不应忽略的 . 因此 , 考虑具有迁移因素 的传染病模型具有现实意义 . 早在 1976 年 , Het hcote 就建立了一个在两个 斑块之间迁移的传染病模型 , 但后继的研究工作却 十分少见 . 文献 [ 1 ] 、 [ 2 ] 建立了具有迁移的传染病
第 46 卷 Vol1 46
( a- ξ ) -λ
代入系统 ( 3 ) 得 :
d s ( a) ^ h =-λ s ( a) - α s ( a) - k ( a) , da N d i ( a) = - (λ +α + γ( a) ) i ( a) + da
s ( a) = -
^ h - αa e N
具有年龄结构和常数迁移率的 SIR 模型
苏细容 , 刘 胜3
( 北京林业大学 理学院 , 北京 100083)
摘 要 : 建立了具有年龄结构和常数迁移率的 SIR 模型 , 并研究了该模型的有关性态 . 得到了基本再生数 R0 的表达 式 , 证明了当 R0 < 1 时 , 系统存在唯一全局渐近稳定的无病平衡态 ; 当 R0 > 1 时 , 系统存在地方病平衡态 , 并且在地 方病平衡态处的线性化系统的特征方程无非负实根 . 关键词 : SIR 模型 ; 年龄结构 ; 常数迁移率 ; 基本再生数 ; 稳定性 中图分类号 : O1751 21 ; O1751 29 文献标识码 : A 文章编号 : 10012988 Ⅹ( 2010) 0320006204
易见 R ( H3 ) 关于 H3 是严格单调递减的 , 当 H3 →
+ ∞ 时 R ( H3 ) → 0 ; 当 H3 →- ∞时 R ( H3 ) →+ ∞ .
故 R ( H3 ) = 1 有正根 H1 的充要条件是 R ( 0 ) > 1 . 称 R ( 0) 为基本再生数 , 记为
R0 =
9s 9s α α ( ) + = - s a,t 9t 9 a
∫
,
3
-α a
-
1
ξ
γ(τ )d τ
0
ξ
0
H3 ξ )d τ α σ - N σk (τ
H3 ξ τ )d τ - N k( 0
∫
ξ d .
把 i 1 ( a) 代入 H 3 的表达式 , 两边同除以 H 3 ( H 3 ≠ 0) , 得到特征方程 R ( H3 ) = 1 , 其中
3 R( H ) = ξ
ξ
0
ξ )e k( ∫
2) 地方病平衡态 :
s1 ( a) = e
9R 9R γ( ) ( ) + = a I a, t 9t 9a μ( a) R ( a , t) - α R ( a , t) ,
S ( 0 , t) = P ( 0 , t) , I ( 0 , t) = R ( 0 , t) = 0 . (1)
H ( t) ( S a , t) - α S ( a , t) , N
d i3 ( a) 3 = - (α + γ( a) ) i ( a) + da
k ( a)
H 3( ) s a , N
a+
3
(4)
3 3 s ( 0) = 1 , i ( 0) = 0 ,
H
3
= b0
π( a) h ( a) i ( a) d a. ∫
a
则有
3 d s3 ( a) H 3( ) 3 = α- α s ( a) - k ( a) s a , da N
定的年龄结构 , 人口的年龄密度函数为 P ∞ ( a) . 本文在考虑年龄结构的同时 , 引入人口迁移因 素 . 假设迁入者均为易感者 , 迁入率为 α, 而易感 类 、染病类和康复类均有迁出 , 迁出率也都是 α, 于是传染病模型可描述为如下系统 : 9S 9S α ( ) μ( ) ( ) + = P∞ a a S a, t 9t 9a k ( a)
H ( t) ( k ( a) s a , t) , N
π( a) h ( a) ・ ∫ k (ξ ∫ )e e ∫
0
a ( a- ξ ) -α a
b0 H
a+
ξ
γ(τ )d τ
0
ξ d d a.
(5)
于是可得下面结果 : 定理 1 如果 R0 < 1 , 系统 ( 4 ) 存在唯一无病 平衡态 ( s0 ( a) , 0 ) ; 如果 R0 > 1 , 系统 ( 4 ) 存在地 方病平衡态 ( s1 ( a) , i1 ( a) ) .
π( a) h ( a) i ( a , t) d a. ∫
0
2 平衡态的存在唯一性
假设 系 统 ( 3 ) 的 平 衡 态 为 ( s ( a ) , i ( a ) ) ,
3 3
在 ( s0 ( a) , 0 ) 处把系统 ( 3 )Hale Waihona Puke Baidu线性化 , 令 s ( a , t)
= s0 ( a) + s ( a , t) , i ( a , t) = i ( a , t) . 设线性化之后的
系统具有指数解 s ( a , t) = s ( a) e t , i ( a , t) = i ( a) e t ,
λ
λ
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西 北 师 范 大 学 学 报 ( 自然科学版) Jo urnal of Nort hwest Normal U niversity (Nat ural Science)
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0
9I 9I + = - μ( a) I ( a , t) - γ( a) I ( a , t) + 9t 9a k ( a)
H ( t) ( S a , t) - α I ( a , t) , N
求解得
1) 无病平衡态 :
3 s0 ( a) = 1 , i0 ( a) = 0 , 在这种情况下 H = 0 .
模型 , 并介绍了两种建模思想 . 文献 [ 3 ] 研究了具 有年龄结构的传染病模型非负解的存在唯一性 . 本文以偏微分方程为工具建立具有年龄结构和 常数迁移率的 SIR 模型 , 并研究该模型的有关性 态 . 与此相关的研究工作可见文献 [ 4 ] ～ [ 8 ] .
1 模型的建立
根据传染病的特点 , 将人口分成 3 类 : 易感者 类 S ( a , t) 、染病类 I ( a , t) 、康复类 R ( a , t) . 设 a 表示年龄 , a + 表示人类的最大年龄 , μ( a) 表示年 龄依赖的自然死亡率和出生率 , k ( a) 和 h ( a) 表示 年龄依赖的接触率和感染率 , γ - 1 ( a) 表示年龄依 赖的平均治愈期 . 为了研究问题的方便 , 假定所有 参数都是非负的 , 所有婴儿都是易感者 , 记 π( a)
其中 H ( t) =
∫h ( a) I ( a , t) d a ,
0
a+
N =
∫P
0
a+
∞(
a) d a
∫ H ξ )e ∫ i ( a) = e k( ・ N ∫ σ+ e αe e ∫ d ∫
0
-α a
a
σ αeα e
a
H3 a τ )d τ - N k( σ
∫
a
σ+ e d
H3 a )d τ - N k(τ 0
Abstract : This paper establishes an age2st ruct ured SIR model wit h co nstant immigratio n , and t he character of t he model is st udied. The exp ressio n of t he rep roductive number R0 is o btained. When R0 is less t han o ne , it is p roved t hat t he disease2f ree equilibrium exist s uniquely and it is glo bal asymp totically stable. When R0 is above o ne , it is p roved t hat t he endemic equilibrium exist , and t he characteristic equatio n of t he linearized system at t he endemic equilibrium has no no nnegative real root . Key words : SIR model ; age2st ruct ured ; co nstant immigratio n ; rep roductive number ; stabilit y
2010 年第 3 期 2010 No1 3
苏细容等 : 具有年龄结构和常数迁移率的 SIR 模型 The age2st ruct ured SIR model wit h constant immigratio n
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= e
-
μ(τ )d τ 0 ∫ . 假设区域内的总人口不变 , 且具有稳