费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用
费米狄拉克分布函数解析图像和应用文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、TE fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．，E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
的能级都空着。
因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
费米分布函数变化曲线T 3>T 2>T 1>T 0第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K 前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
费米-狄拉克分布实验讲义
实验六 费米—狄拉克分布实验讲义一、实验目的：（１）通过实验验证费米——狄拉克分布。
（２）学会一种实验方法及处理实验数据的技巧。
二、理论分析：近代电子理论认为金属中的电子按能量的分布是遵从费米――狄拉克的量子统计规律的，费米分布函数为[]1/)(exp 1)(+-=kT g f εεε （1）金属中的每个电子都占有一定能量的能级，这些能级相互靠得很近，形成能带。
当其温度为绝对零度时，金属中电子的平均能量并不为零。
此时金属中的电子将能量从零到能量为εf (εf 称费米能级, εf 的值随金属的不同而不同)的能级全部占据。
而高于费米能级的那些能级全部空着，没有电子去占据。
如图（1）中的实线所示，当金属的温度为1500℃,则靠近费米能级的少数电子由于热运动的加剧,其能量超过εf值,因而从低于费米能级的能带跃迁到高于费米能级的能带上去,其分布曲线如图(1)中的虚线所示。
我们的实验是在灯丝灼热（约1400℃～1500℃）的情况下进行的，因此我们实验所测的结果也只是靠近费米能级的一部分，如图（1）中矩形所包的虚线部分。
对（1）式求导可得[][]2}1/)({exp /)(exp )()(+---==kT kT kT d dg g f f εεεεεεε （2） （1）、（2）两式的理论曲线如图（1）和图（2）所示。
由于金属内部电子的能量无法测量，只能对真空中热发射电子的动能分布进行测量。
由于电子在真空中的热运动与电子在金属内部的运动情况完全不同，这是因为金属内部存在着带正电的原子核，电子不但有热运动的动能，而且还具有势能，真空中的电子就不存在势能，εf =0，不要忘记电子从金属内部逃逸到真空中时，还要消耗一部分能量用作逸出功，因此从金属内部电子的能量ε 减去逸出功Ａ，就可得到真空中热发射电子的动能εｋεf =ε-A （3）此外,在真空与金属表面附近还存在着电子气形成的偶电层，就是说逃出金属表面的电子，还要消耗一些能量穿越偶电层，根据前苏联科学院院士,Я.И符伦克尔和И.E 塔姆的理论,电子穿越偶电层所需的能量,也就是该金属的费米能级εf 。
玻尔兹曼分布与费米狄拉克分布的统一
Q]0 e- 2kT 4Pv2dv
4P
m 2PkT
2 m v2
v2 e- 2kT dv.
( 1)
( 1)式其实就是麦克斯韦速率分布, 所以有时将玻尔兹曼
能量分布又叫麦玻能量分布. 为了更清楚的看到玻尔兹曼
分布, 将 ( 1. 1)式中速率积分元换成能量积分元, 因为 E=
m 2
v2,
d E=
m 2
2vdv= m
进行积分, ( 3) 式变为[ 3]
*收稿日期: 2010- 05- 28 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 ( 10778719); 四川省教育厅青 年基金资 助项目 ( 09ZB087, 07ZB089) ; 西华 师范大
学校级基金资助项目 ( 09A 004) 作者简介: 张 洁 ( 1979) ), 女, 山东人。讲师, 博士研究生, 主要从事天体物理研究。
+ exp[ (E - Le - 1) /KT ] }是费米 ) 狄拉克分布函数, p为
动量. 我们可以发现相比于波尔兹曼分布, 费米 - 狄拉克
分布中多了一个参量, 化学势 Le, 即为电子气体的化学
势, 可以理解为让电子产生或者消失所需要的能量. 图 2
是不同化学势的费米 - 狄拉克分布函数. 各向同性时 ( 5 )
28
张 洁: 玻尔兹曼分布与费米 ) 狄拉克分布的统一
2010年第 5期
f1 = fBM ( E) dE=
2 P(
e1 kT
/2
)
3/2
e-
E /kT
dE,
( 4)
这里 f1 的物理意义是: 能量从 0到无穷的粒子总几率. 由 于归一化, f1 = 1. 图 1给出了不同温度下归一化的波尔兹 曼分布函数, 可以发现温度越大, 高能粒子所占比例越大.
3.2 费米能级和载流子的浓度统计分布(雨课堂课件)
EF 的位置比较直观地标志了电子占据量子态的情况，标志了
电子填充能级的水平。费米能级位置较高，说明有较多的能量较
高的量子态上有电子。
热平衡，孤立系
统，近独立粒子
2、波耳兹曼(Boltzmann)分布函数
(1) 电子服从的Boltzmann分布
1
1.8%
当E-EF=4 k0T 时，f E
4
1 e
fB (E) e
E EF
k0T
f B E e4 1.83%
1
5
f
E
4.53978
10
当E-EF=10 k0T时，
1 e10
f B E e10 4.53999 105
§ 3.2 费米能级和载流子的统计分布
Fermi level and statistical distribution of carriers
知识回顾与问题提出：
第一节给出导带底和价带顶附近的状态密度，即单位能量间隔中的量子态数。
2m
dz
gc ( E )
4 V
dE
h3
* 3/ 2
n
k0T
(2) 空穴服从的Boltzmann分布
1 f (E)
EF E k0T
1
E E
1 exp F
k
T
0
1 f ( E) e
E EF
k0T
空穴服从的
Boltzmann分布
➢上式表明，当E << EF 时，空穴占据能量为E的量子态几率很
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数是一种特殊的概率密度函数，也称为δ函数或Dirac函数。
它在数学中的应用非常广泛，特别是在量子力学中。
狄拉克分布函数的定义为：
δ(x-a) = 0 (x ≠ a)
δ(x-a) = ∞ (x = a)
其中，a为一个常数，δ(x-a)表示在x=a时函数的取值。
在其他点上，函数的值为0。
狄拉克分布函数具有以下性质：
1. 积分区间内的面积为1；
2. 在积分区间外，函数值为0；
3. 在积分区间内，函数值为无穷大，但积分结果为有限值；
4. 狄拉克分布函数是一个偶函数。
由于狄拉克分布函数具有无穷大的尖峰，因此在实际应用中，可以将其看作是一个极限情况下的高斯分布函数。
它可以用来表示一个粒子在某个位置出现的概率，也可以用来描述量子力学中的波函数。
在信号处理中，狄拉克分布函数也常用于描述脉冲信号。
- 1 -。
费米-狄拉克分布函数、解析、图像和应用
各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)ex p[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
费米狄拉克分布的物理意义
费米狄拉克分布的物理意义嘿，咱今儿来聊聊费米狄拉克分布，这玩意儿可有意思啦！
你看啊，这费米狄拉克分布就好像是一个超级大管家，专门管着微观世界里那些粒子的行为呢！它能告诉我们在不同的能量状态下，粒子出现的概率是多少。
就好比是一场盛大的派对，每个粒子都想找个最舒服的位置待着。
能量低的地方就像是舒适的沙发，大家都想抢着坐；而能量高的地方呢，就像是高难度的杂技舞台，只有少数勇敢的粒子才会去尝试。
费米狄拉克分布就决定了哪些粒子能坐在沙发上，哪些粒子会去挑战杂技舞台。
这多神奇呀！
而且你想想，这世界要是没有这个分布，那粒子们不就乱套啦？就像没有交通规则的马路，大家横冲直撞，那可不行！
它就像是给粒子们设定了一个规则手册，让它们知道该怎么行动才合适。
比如说电子吧，它们就得按照费米狄拉克分布来安排自己的位置。
如果不这样，那电子们可能就会到处乱跑，我们的世界不就乱了套啦？
再想想，如果没有这个分布，那些半导体器件还能正常工作吗？那肯定不行呀！
这费米狄拉克分布就像是一个幕后英雄，默默地维持着微观世界的秩序，让一切都能有条不紊地进行。
它虽然看不见摸不着，但却对我们的生活有着巨大的影响。
从电子设备到量子力学的研究，都离不开它呢！
你说这费米狄拉克分布是不是超级厉害？它就像一个神秘而又强大的魔法，掌控着微观世界的奥秘。
我们虽然不能直接看到它，但却能感受到它的力量。
所以啊，可别小看了这费米狄拉克分布，它可是微观世界里至关重要的存在呢！。
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各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： ]/)exp[(11)(kT E E E f F -+=f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 f(E) E E f T 0 T 1 T 2 T 3 在T 不为绝对零度前提下，若E ＜E f ，则 f(E) ＞1/2；若E = E f ，则 f(E)=1/2；若 E ＞E f ，则 f(E) ＜1/2。
上述结果文字描述，在系统的温度高于绝对零度前提下，如果某能级的能量比费米能级低E f ，则该能级(范围)被电子占据的几率大于50%；若能级的能量比费米能级E f 高，则该能级被电子占据的几率小于50%。
而当能级的能量恰等于费米能级E f 时，该能级被电子占有的几率费米分布规律不适用于非平衡状态随着温度的升高，能量略低于E f的量子态被电子占据的概率降低，而略高于E f的量子态被电子占据的概率增大。
用费米—狄拉克分布测定电子荷质比
A
交点法
IP
半饱和法I
从费米—狄拉克分布入手
金属内部电子按能量的分布，遵从费米—狄拉克分布
g ( ) e
'
1
f
kT
1
f
g ( ) 1
1 2
g '( )
dg ( ) g ( ) d
e kT e
kT
f
'
e kT e
kT
k f
kT
1
2
费米—狄拉克分布实验
1.0
02
g'(k)
1.0 g(k)
0.5
0.5
f
0.0 0.0 0.1
0.0 0.0
k
0.2
0.1
k
1.0
0.2
g'(k)
g(k)
电压0V时
0.5
0.0 0.0 0.1
k
0.2
峰值位移
费米费米狄拉克分布的测定及应用狄拉克分布的测定及应用伯克利物理实验有这个公式的推导过程b为临界磁感应强度而与其所对应的螺线管的磁化电流称为临界磁化电流灯丝电子轨迹阳极000510ic交点法半饱和法金属内部电子按能量的分布遵从费米金属内部电子按能量的分布遵从费米狄拉克分布狄拉克分布ktktdg从费米狄拉克分布入手真空中的热发射电子的动能也符合费米真空中的热发射电子的动能也符合费米狄拉克分布狄拉克分布ktdg费米费米狄拉克分布实验狄拉克分布实验00010200051000010200051002000102000510000102000510电压0v时峰值位移峰值位移00051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051000051015伏10伏1
费米狄拉克分布
〔E E 〕 E〔 EE 〕 费米-狄拉克分布的实验验证鲁从勖 程向明 李 正( 西安交通大学理学院实验物理中心 710049)摘 要 通过理论推导, 用理想二极管外加磁场的方法, 验证了真空中热电子发射的电子动能分布也符合费米-狄拉克分布. 使量子统计学中的费米-狄拉克分布得到了推广. 经过适当的数据处理, 使复杂的微观量较容易地通过宏观量得以测量.关键词 费米-狄拉克分布 费米能级 理想二极管1 理论分析在金属内部电子的能量遵从费米-狄拉克分布, 费米分布函数为E k = E - A ( 3)另外, 电子脱离金属之后, 不再受到金属内部其他带电粒子的影响, E f 应该为零, 但由于真空与金属表面接触处, 存在有电子气形成的偶电层, g ( E ) = 1 exp ( - f ) / kT + 1 ( 1)而该偶电层所产生的电位降的值为 E f / e . 也就 是说这个偶电层的势垒值, 等于该温度下的费式中E 是电子的能量, E f 是费米能级, k 是玻尔兹曼常量, T 是K 氏温度. 对 g ( E ) 求导得米能级 Ef 〔1〕. g ′( E ) = d g ( E ) d - exp 〔( E - E f ) / kT 〕 kT { e x p 〔( E - E f ) / kT 〕+ 1} 2 ( 2)g ( E ) , g ′( E ) 的理论曲线如图 1 和图 2 所示.图 2考虑到这两个因素之后, 我们可得出: 真空中热电子发射的电子在刚脱离金属表面后的动 能分布应该遵从修正后的费米分布函数, 即 图 1由于无法直接测量金属内部电子能量的分 g ( E k ) = 1 ex p ( k -f ) / kT +1 ( 4)布, 我们对真空中热电子发射的电子动能分布进行了测量. 电子在金属内部的运动与电子刚 对( 4) 式求导得 d g ( E k )- ex p 〔( E k - E f ) / kT 〕脱离金属发射到真空中的运动条件是完全不相同的. 由于电子逸出金属表面时, 要消耗一部分 g ′( E k ) =d E k= kT { ex p 〔( E k - E f ) / kT 〕+ 1} 2( 5)能量用作逸出功, 因此从金属内部电子的能量 E 减去其逸出功 A , 即可得到真空中热电子发射的动能 E k从( 4) , ( 5) 两式看出, 真空中热电子发射的电子动能分布规律, 与金属内部电子按能量分布的规律完全相同, 都遵从费米-狄拉克分布.X 创刊 20 周年征文X=2 实验方法及数据处理用螺线管套在理想二极管的外面, 通以直流电流, 在理想二极管不加阳极电压的情况下, ( 8) 式中 L 0 是真空中的磁导率, N 是螺线管的总匝数, L 和 D 分别是螺线管的长度和直径, I B 是通过螺线管的电流强度. 将( 7) , ( 8) 式代入( 6) 式得真空中电子的动能为直接测量阳极电流的变化情况. 其电路如图 3 所示.E k = mv 2 2 = m L 2N 22( L 2 + D 2) R e 2 mI B 2 ( 9)由于理想二极管的特殊结构, 从灯丝发射出的电子沿半径方向飞向二极管的阳极. 因为阳极电压等于零, 所以电子不受外电场力的作用, 而保持着从金属表面逸出时的初动能, 飞向阳极形成饱和阳极电流. 因为电子从金属表面逸出时的初动能各不相同, 如何将它们按相等的动能间隔区分开来, 并且求出电子数目的相对值, 便成为该实验的关键.由图 4 可看出, 若 R 大于 d / 4( d 是圆柱面 阳极的直径) , 电子就能到达阳极, 形成阳极电流. 若 R 小于 d / 4, 电子就不能到达阳极, 这一部分电子对阳极电流无贡献. 可见电子作匀速圆周运动的半径( 决定于 I B ) 直接影响阳极电流的大小. 将 R = d / 4 代入( 9) 式得E k = K I B 2 ( 10)其中K = 为一常量.e 2m图 3由图 3 可知, 从理想二极管发射出的电子,沿半径方向飞向二极管的阳极, 在螺线管所产生的磁感应强度 B 的作用下, 电子将受到洛伦兹力 F = ev ×B , 而作匀速圆周运动, 洛伦兹力是向心力. 由于 v ⊥B , 洛伦兹力可用标积表示f L = Bev = mv 2/ R ( 6)式中 v 是电子在二极管的半径方向的速度, 或者电子的速度在半径方向上的分量为图 4可见真空中热电子发射的电子动能与螺线管中的电流强度的平方成正比, 而洛伦兹力不改变电子的动能, 它只影响电子作匀速圆周运动的半径大小. 对于动能一定的电子, 向心力越大匀速圆周运动的半径越小. 当动能增加 $ E k 时,将有相应数量的电子, 因其圆周运动的半径v = BeR m( 7) 小于 d / 4 而不能到达阳极, 所以阳极电流将减小$ I P . 又因为 E k 与 I B 2 成正比, 所以可以用 I B 2( 7) 式中 R 是电子作匀速圆周运动的半径, m是电子的质量, B 是螺线管中间部分的磁感应强度, 其表达式为L 0N I B代替变量 E k 进行实验及数据处理. 实验中, 设灯丝电流稳定不变, 阳极电压等于零, 理想二极管的阳极饱和电流为 B = 2 L 2 ( 8) + DI P 0 = n 0e ( 11) P 2× 10- 14N 2d 2m 2( L + D )2 221 2 1 2式中的n0 以及下面的n1, n2 , n3 , 均为单位时方程组( 13) 中各式除( 11) 式得间内到达阳极的电子数目. 当I B2 以相等的改$ I P / I P = $ n1 / n01 0变量依次增加下去, 将得到一组方程$ I P / I P= $ n2 / n0 ( 15)2 0I P1= n1 eI P2= n2 e ( 12) 由( 11) , ( 12)为了适应理论上的要求, 在操作上我们事先选好I B2 的值, 使其等间隔的增加, 然后以其平方根的值, 作为实际测量时的电流值, 进行实$ I P $ I P = I P= I P1-I P-I P= ( n0 - n1 ) e = $ n1e= ( n1 - n2 ) e = $ n2e ( 13)验测量.3实验结果与讨论实验数据见表1. 以I P / I P 为Y 轴, I B2 的方程组( 12) 中各式除( 11) 式得i0I P1/I P= n1/ n0 值为X轴,作图可得到费米分布函数g(E k)～E k的曲线, 如图 5 所示. 以$I P / I P 为Y 轴, 相应i0I P2/I P=n2/n0(14)的IB2的值为X轴,作图可得到g′(E k)～E k的曲线图和直方图, 如图6 所示.表 1 一组实验数据I B 20. 0000. 0400. 0800. 1200. 1600. 2000. 2400. 2800. 320I B0. 0000. 2000. 2830. 3460. 4000. 4470. 4900. 5290. 566I Pi92. 692. 191. 389. 183. 872. 054. 336. 020. 3I Pi/ I P1. 0000. 9950. 9860. 9620. 9050. 7780. 5860. 3890. 219I Pi- I Pi + 10. 50. 8 2. 2 5. 311. 817. 718. 315. 79. 6$ I P / I Pi00. 005400. 008640. 02380. 05720. 1270. 1910. 1980. 1690. 104I B 2 0. 3600. 4000. 4400. 4800. 5200. 5600. 6000. 6400. 680I B0. 6000. 6320. 6630. 6930. 7210. 7480. 7740. 8000. 825I P i10. 7 6. 0 3. 5 2. 4 1. 8 1. 3 1. 1 1. 00. 9I Pi/ I P0. 1160. 06480. 03780. 02590. 01940. 01400. 01190. 01080. 00972I Pi- I Pi + 14. 7 2. 5 1. 10. 60. 50. 20. 10. 10. 1$ I P / I Pi00. 05080. 02700. 01190. 006480. 005400. 002160. 001080. 001080. 00108I B 2 0. 7200. 7600. 8000. 8400. 8800. 9200. 960 1. 000I B0. 8480. 8720. 8940. 9160. 9380. 9590. 980 1. 000I Pi0. 80. 50. 50. 40. 30. 30. 30. 2I Pi/ I P0. 008640. 005400. 005400. 004320. 003240. 003240. 003240. 00216I Pi- I Pi + 10. 30. 00. 10. 00. 00. 1$ I P / I Pi00. 003240. 000. 001080. 000. 000. 00108经多次测量重复性较好. 从实验得到的两条费米统计分布曲线与理论曲线相一致. 归一化的程度也较高, 实验值为0. 996, 误差只有0. 4%. 从两条实验曲线上都可看出: 热电子发射的电子能量的最可几值在1/ 2 附近, 且与理论相符. 而且在g ( E k) = 1/ 2 处所对应的E k应该是该材料在实验温度下的费米能级. 本实验所测钨的费米能级E f=2.06e V.(下转12 页)未修正前的测量值计算出的E′随间距d 的增加而增加. 说明当平行板的实际电容量较大而分布电容又较小时, 分布电容的影响较小. 随平行板实际电容量的减少, 分布电容的影响则越显突出.图2其次, 可以看出, 由平行板电容修正后的测量值计算的电容率E0, 在d 小于2mm ( 或D / d大于50) 时基本上为一常量. 当d 大于2mm ( 或D / d 小于50) 时, 由于边缘效应的影响, E0渐渐远离公认值, 这既符合电磁学理论, 也与上面提到的数据取值范围是一致的. 以上分析还证实, 在保持接线分布不变的情况下, 测量过程中, 只改变平行板电容器的间距d, 可近似认为分布电容为一常量.为保证测量数据准确, 实验中还应注意接线长度应尽可能短, 并在测量过程中保持布线位置不变, 以减小分布电容的变化所带来的影响. 在用交流电桥测量电容的过程中, 手不能接触电容的任何部位, 人体也应尽量远离电容, 以减少人体感应所引起的误差. 图1 的实验装置与交流电桥配合还可以用来测量固体电介质的介电系数〔2〕.4参考文献1T y ler F. A labo rato ry manual o f phy sics. Edw ardA rno ld L imit ed, 1977. 107～1082王良才等. 介电系数的测量. 物理实验, 1988, 8 ( 3) ∶110( 2000-01-31 收稿, 2000-07-14 收修改稿)( 上接9 页)4 参考文献图5 图62黄昆, 谢希德. 半导体物理学. 北京: 科学出版社,19583梅逸J 等. 统计力学. 北京: 高等教育出版社,1 基泰尔. 固体物理学导论. 北京: 科学出版社,19791957( 2000-07-03 收稿)。
费米狄拉克统计
费米–狄拉克统计[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计）费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。
这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
不过费米在数据定义比狄拉克稍早。
[1][2]费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。
除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。
不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。
费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。
由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。
费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。
目录[隐藏]• 1 概述• 2 历史• 3 费米–狄拉克分布o 3.1 粒子的能量分布• 4 量子范畴和经典范畴• 5 参考文献• 6 相关条目概述[编辑]函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。
因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。
费米-狄拉克统计
费米-狄拉克统计在统计力学中，费米-狄拉克统计是一种由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克发展起来的特殊粒子统计用来确定费米子在一个热平衡系统中各能量状态上的统计分布。
换句话说，就是在给定能级上一个费米子出现的几率。
费米子是不可分辨的并且服从泡利不相容定律，即，不会有超过一个的粒子在同时处以同一量子态。
统计热力学用来描述大量粒子的行为。
无相互作用的费米子的集合称为费米气体。
F-D 统计在1926年由Enrico Fermi 和保罗⋅狄拉克提出，并在1926年由拉尔夫⋅富勒用于描述恒星到白矮星的塌缩，在1927年由Arnold Sommerfeld 用于金属中的电子。
对于F-D 统计，处于一种能量状态i 的粒子数的期望值是1/)(+=-kT i i i e g n με 这里：n i 为粒子在状态i 的数量εi 为第i 个状态的能量g i 状态i 的简并度μ 为化学势（作为一种低温近似，有时用费米能量E F 代替）k 为玻尔斯曼常数T 为绝对温度在μ为E F 而且g i =1时，这个方程称为费米方程：11)(/)(+=-kT E F i e E F ε对于四种不同的温度，作为ε/μ的函数的费米-狄拉克分布（⎺n为n i/g i即同一能级平均每个模式（状态）上分布的粒子数，它与被占据的状态数成正比）。
温度越高曲线越光滑作为温度的函数的费米-狄拉克分布。
温度越高被占据的状态越多。
作为ε的函数的费米-狄拉克分布。
高能态对应低概率，或低能态对应高概率。
这些统计的应用费米-狄拉克和玻色-爱因斯坦统计在量子效应必须考虑以及粒子被认为是“不可分辨的”时起作用。
如果粒子的浓度(N/V)≥n q（这里n q是量子浓度）量子效应就会显现。
量子浓度是当粒子间距等于热德·布罗意波长也就是当粒子的波函数相互接触但还未重叠时的浓度。
量子浓度依赖于温度；高温会使大多数系统处在经典的限制中除非它们有非常大的密度例如白矮星。
均匀费米气体-概念解析以及定义
均匀费米气体-概述说明以及解释1.引言1.1 概述费米气体是一种特殊的量子气体，由一类称为费米子的粒子组成。
费米子具有一个重要的特性，即遵循费米-狄拉克统计。
根据费米统计，两个具有相同自旋的费米子无法占据相同的量子态，即所谓的泡利不相容原理。
这导致了费米气体的一个显著特征：它们的粒子在一个给定的量子态上是排斥的，这也被称为费米子的反对称性。
费米气体在许多领域中都有重要的应用。
在凝聚态物理中，均匀费米气体是研究高温超导和冷原子气体物理的基础。
由于费米气体的特殊性质，它们在低温下展现出许多奇特的现象，如费米凝聚和BCS超导。
此外，费米气体在天体物理学、核物理学和粒子物理学中也有广泛的研究。
本文将介绍均匀费米气体的基本概念、物理性质和理论模型。
首先，我们将给出费米气体的定义和特征，包括费米-狄拉克统计和泡利不相容原理。
接着，我们将探讨费米气体的物理性质，例如压强、能量和热容等。
最后，我们将介绍一些常用的理论模型来描述费米气体的行为，如自由费米气体模型和紧束缚模型。
通过对均匀费米气体的研究，我们可以更好地理解和解释许多不同领域中的物理现象。
同时，均匀费米气体也为实验物理学和理论物理学提供了一个重要的研究对象。
本文旨在系统地介绍均匀费米气体的基本知识和最新研究进展，以促进对这一领域的深入理解和探索。
1.2 文章结构文章结构:本文将按照以下结构进行阐述和讨论均匀费米气体的相关内容：1. 引言部分：在引言中，我们将对均匀费米气体进行概述，包括其定义、特征以及一些基本的物理性质。
同时，我们将明确文章的目的和目标，为读者提供一个整体的了解和预期。
2. 正文部分：正文将分为多个小节，分别讨论定义和特征、物理性质以及理论模型等方面的内容。
2.1 定义和特征：在这一小节中，我们将详细介绍均匀费米气体的定义和特征。
我们将从微观和宏观的角度出发，解释费米气体的基本概念，并探讨其在实际系统中的应用和意义。
2.2 物理性质：这一小节将重点讨论均匀费米气体的物理性质。
狄拉克函数
狄拉克函数1. 引言狄拉克函数（Dirac Delta function）由英国物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）在20世纪初提出。
狄拉克函数是一种特殊的分布函数，具有极其奇特的性质，常常用来描述粒子或波的位置、质量、速度等特征。
狄拉克函数在物理学、工程学、数学等领域中有着广泛的应用，是一种非常重要的数学工具。
2. 定义与性质狄拉克函数可以通过多种方式定义，以下是其中一种常用的定义方式：定义 1：狄拉克函数是一种以0为中心，无限高、无限窄的脉冲函数，其函数形式可以表示为：\[ \delta(x-a) = \begin{cases} +\infty, & x = a \\ 0, & xeq a \end{cases} \]其中，a为常数。
根据定义可知，狄拉克函数在除了a以外的所有点上都等于零，而在a点上取无限大值。
由于狄拉克函数具有这种集中无穷大的特性，它被称为一个“广义函数”（generalized function），而非传统意义上的函数。
狄拉克函数有以下一些重要的性质：性质 1：归一性\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) \, dx = 1 \]即狄拉克函数在整个实数轴上的积分为1。
性质 2：积分性质对于任意的函数f(x)，有以下积分关系：\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-a) f(x) \, dx = f(a) \]这个性质表明，在狄拉克函数参与的积分运算中，狄拉克函数会起到“滤波”作用，将函数f(x)在x=a处的值提取出来。
性质 3：位移性质\[ \delta(x-a) = \delta(-x+a) \]这个性质表明，狄拉克函数关于中心点a具有对称性。
性质 4：缩放性质\[ \delta(bx) = \frac{1}{|b|} \delta(x) \]这个性质表明，狄拉克函数可以通过改变自变量的比例来调整脉冲的窄度。
半导体物理与器件 第四章
第四章平衡半导体4.0本章概要在上一章中，我们讨论了一般晶体，运用量子力学的概念对其进行了研究，确定了单晶晶格中电子的一些重要特性。
在这一章中，我们将运用这些概念来专门研究半导体材料。
我们将利用导带与价带中的量子态密度函数以及费米-狄拉克分布函数确定导带与价带中电子与空穴的浓度。
另外，我们将在半导体材料中引入费米能级的概念。
注意，本章中所涉及的半导体均处于平衡状态。
所谓平衡状态或者热平衡状态，是指没有外界影响（如电压、电场、磁场或者温度梯度等）作用于半导体上的状态。
在这种状态下，材料的所有特性均与时间无关。
本章目标：（1）推导半导体中热平衡电子浓度和空穴浓度关于费米能级的表达式。
（2）讨论通过在半导体中添加特定杂质原子来改变半导体材料性质的过程。
（3）推导半导体材料中热平衡电子浓度和空穴浓度关于添加到半导体中的掺杂原子浓度的表达式。
（4）求出费米能级的位置，其为添加到半导体中的掺杂原子浓度的函数。
简单说来，本章讨论的重点是：在不掺杂和掺杂的情况下，分别求平衡半导体中电子和空穴的浓度值，以及费米能级位置。
4.1半导体中的载流子我们知道：电流从本质上来说是电荷移动的速率。
在半导体中有两种载流子——电子和空穴——有能力产生电流。
载流子的定义：在物理学中，载流子指可以自由移动的带有电荷的物质微粒，如电子和离子。
如半导体中的自由电子与空穴，导体中的自由电子，电解液中的正、负离子，放电气体中的离子等。
既然半导体中的电流很大程度上取决于导带中电子与价带中空穴的数量，那么我们关心的半导体的一个重要参数就是这些载流子的密度。
联想我们之前学习的知识，我们不难知道电子和空穴的密度与态密度函数、费米-狄拉克分布函数都有关。
在接下来的章节中，我们会从更严谨的数学推导出发，导出电子与空穴的热平衡浓度，定性地讨论这些关系。
4.1.1电子与空穴的热平衡分布导带中电子关于能量的分布，我们可以从允带量子态密度函数乘以量子态被电子占据的概率函数（分布函数）得出。
费米狄拉克统计
费米狄拉克统计费米–狄拉克统计[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计）费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。
这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。
不过费米在数据定义比狄拉克稍早。
[1][2]费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。
除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。
这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。
不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。
费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。
由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。
费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。
目录[隐藏]∙ 1 概述∙ 2 历史∙ 3 费米–狄拉克分布o 3.1 粒子的能量分布∙ 4 量子范畴和经典范畴∙ 5 参考文献∙ 6 相关条目概述[编辑]函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。
因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数
狄拉克分布函数是一种特殊的概率分布函数，也被称为δ函数或单位脉冲函数。
它在物理学、工程学和数学中被广泛应用。
狄拉克分布函数的定义是：在x=0时，函数取无限大，在其他x 值时，函数取零。
数学表示为：
δ(x) = {∞ , x = 0; 0 , x ≠ 0}
狄拉克分布函数的重要性在于它是一种将点源(或脉冲)表示为
数学函数的方法。
例如，在物理学中，我们可以将一次冲击(如一个小球撞击地面)表示为一个狄拉克分布函数。
这种函数还可以用于表示电信号的脉冲，以及信号处理中的滤波和卷积运算。
狄拉克分布函数在数学分析和微积分中也有重要应用。
例如，在微积分中，我们可以将函数的导数表示为狄拉克分布函数的导数。
这种方法可以用于求解微积分方程和傅里叶变换。
总之，狄拉克分布函数是一种非常重要的数学工具，它在物理学、工程学和数学中都有广泛应用。
- 1 -。
费米狄拉克分布函数的物理意义
费米狄拉克分布函数的物理意义我和朋友在一个午后的咖啡馆里闲聊，不知怎么就聊到了费米狄拉克分布函数。
朋友一脸疑惑地问我：“你老说这个费米狄拉克分布函数，它到底有啥物理意义啊？”我笑了笑，陷入了回忆。
我跟他说：“你想啊，我在研究微观物理现象的时候，就感觉自己像是在一个充满秘密的小世界里探索。
这个费米狄拉克分布函数就像是这个小世界的一把钥匙。
它描述的是费米子在不同能量状态下的分布概率。
”朋友还是不太明白，我就接着说：“我看到那些微观粒子的时候，就好像看到一群独特的小个体。
费米子啊，像电子这样的，它们遵循着这个分布函数。
在我的理解里，这个函数就像是一个规则，它告诉我们在一定的温度下，这些费米子是怎么在各个能量态上分布的。
”我喝了一口咖啡，接着说道：“当我在实验室里做那些关于电子行为的实验时，我心里就一直在想着这个函数。
我感觉每一个电子就像是一个有自己想法的小粒子，但是它们又得按照这个费米狄拉克分布函数的规则来。
这个函数反映了微观世界的一种秩序。
”朋友似乎有点开窍了，他说：“那这个和我们的宏观世界有啥联系呢？”我想了想，说：“其实我们宏观世界也是由这些微观粒子组成的啊。
这个函数所描述的微观状态的分布，在一定程度上影响着宏观物质的性质。
就像我在研究一些材料的电学性质时，这个函数就隐藏在背后。
我能感觉到它的存在，因为它决定了电子在材料中的分布情况，从而影响材料的导电性等性质。
”朋友点点头说：“原来是这样啊。
”我也感慨道：“是啊，这个费米狄拉克分布函数就像是微观世界里的一个密码，我一直在努力去理解它、解读它，每一次有新的发现，就好像自己又离这个微观世界的真相更近了一步，那种感觉很奇妙。
”。
费米子所遵循的统计规律公式
费米子所遵循的统计规律公式费米子遵循的统计规律是由恩里科·费米和保罗·狄拉克分别独立发现的，这一规律在量子统计力学中表现为费米-狄拉克分布函数（Fermi-Dirac distribution）。
对于一个处于温度T和化学势μ下的费米子系统，粒子的能量为E时，在状态E的能级上单位体积内的平均粒子数N(E)可以通过下面的公式计算：N(E)=1/（e(E−μ)/kT+1）其中：•e是自然对数的底数（约等于2.71828），•k是玻尔兹曼常数，•T是绝对温度（单位：开尔文K），•μ是化学势，•E是单个粒子的能量。
这个分布描述了在给定条件下，允许费米子占据特定能级的概率，体现了泡利不相容原理，即同一量子态最多只能被一个费米子占据。
1.泡利不相容原理：这是量子力学的基本原理之一，指出在相同的量子态下（即具有相同的所有量子数），不可能有两个或更多的费米子同时占据。
这一原理是导致费米-狄拉克分布与其他统计分布（如玻色-爱因斯坦分布）显著不同的根本原因。
2.能量量子化与填充顺序：在低温和有限体积条件下，费米子会按照能量从低到高的顺序依次填充能级，直至所有费米子都被安置完毕。
这个最高的被占据能级被称为费米能级。
3.零温极限下的费米分布：当温度趋近于绝对零度时，只有能量低于化学势μ的能级会被费米子占据，高于μ的能级则全部空置。
这种现象对于理解固体物理学中的电子结构、超导性等现象至关重要。
4.应用广泛：费米-狄拉克统计不仅应用于粒子物理领域对基本粒子（如电子、质子、中子等）的行为描述，还在凝聚态物理、核物理以及天体物理等领域有着广泛应用，例如解释金属的电阻随温度变化的规律、白矮星内部物质的状态等。
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各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。
一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。
占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。
统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为：
f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度。
E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。
只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。
费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】
第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．
， E f 越大，表示处于高能级的电子越多；
E f 越小，则表示高能级的电子越少。
(E f 反映了整体平均水平)
第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)
根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。
0 1/2 1 E
费米分布函数变化曲线T 3 >T 2 >T 1 >T 0
第三，费米能级E f在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。
对于本征半导体，E f处于禁带E g的中央，在绝对零度时，在导带E c中E＞E f，f(E)=0；在价带E v中E＜E f，f(E)= =1，表明电子全部处于价带E v之中，因而此时半导体是完全不导电的。
第四，在T=0K处于绝对零度的前提下，若E＜E f，exp→0,则f(E)=1；当T=0K时，若E＞E f，则f(E)=0。
可见，在绝对零度时，能量比E f小的能级被电子占据的几率是100%，而能量比E f大的能级被电子占据的几率为零。
即所有低于E f的能级都被占满，而所有高于E f的能级都空着。
因而费米能级E f是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。
第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。
(k、T 分别为波耳兹曼常数和绝对温度) 可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。
一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。
所以费米能级E f的位置，比较直观地标志了电子占据能态的情况，或者说E f标志了电子填充能级的水平，费米能级E f高说明在较高的能态上有电子(反映整体平均水平)。