费米分布和热容
费米系统与费米气体的性质
姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω： （1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
6.1电子气的费米能和热容量
均势能的势场中运动)； (3)价电子服从费米—狄拉克分布。
g n e( EEF ) kBT 1
2.费米分布函数
在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是
1 f ( E ) e(EEF ) kBT 1
EF---费米能级(等于这个系统中电子的化学势)，它的意 义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。 它是温度T和晶体自由电子总数N的函数。
2
3 5
EF0
π2 4
(kBT )2 EF0
2.每个电子对热容量的贡献
CV
E T
V
π2 2
kB
kBT EF0
π2 2
T TF0
kB
TF0 EF0 kB
CV
π2 2
T TF0
kB
在常温下晶格振动对热容量的贡献的量级为J/mol·k2而
第六章 金属自由电子论
电子气的费米能和热容量 接触电势差 玻尔兹曼方程 驰豫时间的统计理论 金属电导率
§6.1 电子气的费米能和热容量
自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用 的 、遵从泡利原理的电子气。
一 费米能量
1.模型(索末菲)ห้องสมุดไป่ตู้
(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；
(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平
kBT TF0
2
当温度升高时，EF 降低。
在金属熔点以下,T<< TF0 , EF与 EF0 差别不大。
二 金属中电子气的热容量
1.每个电子的平均能量
第六章总结
1 E EF 1 f (E) E EF 2 0 E EF
a. T 0
E E F 1 f ( E ) 陡变 E E F 0 E EF
2.费米能
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
k F 3nπ
f 的方程。 f t t f ＋ t 碰 0
漂
f t
漂
f k f r r k
f t
＝b a
碰
' dk a f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3 ' dk b f ( k , t ) 1 f ( k , t ) ( k , k ) k ( 2 π)3
2 x
如果金属电子的等能面是球面
ne F m
2
m 2 ne F
作业： 思考题1、4
f (E) 1 e
( E E F ) k BT
1
2 0 EF 3 nπ 2 2m
23
2 13
π 2 kBT 0 E F E F 1 0 12 TF
2
3 每个电子对热容量的贡献
π2 T 0 kB CV 2 TF
常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下， 费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到 费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子
的电子被散射的总的概率，因而上式说明弛豫时间就是电子的 自由碰撞时间。 式中(1-cos)因子的作用可作如下分析： 若散射是小角度的，即k’与k接近，角很小，(1-cos)值也
费米分布
2
CV AT BT 3
e
1
E
E F E F [1
EF
0
0
2 k BT
12 E F (
2 ) ], 0
E F 是绝对零度时的费米能 级.
T=0K时费米分布函数
f(E)
（2）金属中自由电子的能级与能级密度 • 模型：金属中的传导电子是中一定深度 的势阱中运动的自由电子。
V
0 x L 0 y LV 0 0 z L x 0, x L y 0, y LV z 0, z L
（1）费米分布
• 即自由电子气处于热平衡时能量为E的能 1 级被电子占据的几率：f ( E )
E EF BT
• 其中，EF具有能量量纲，称为费米能级。 绝对零度时，费米函数具有如下性质：
1）F(E)=1，若E<EF； F(E)=0，若E>EF。
（EF是绝对零度时最高的电子填充能级） 2） T>0K时，f(EF)=1/2，即费米能级是被子电子占 据的几率等于不被电子占据的几率。
能量本征值：
特点：分立能级
2 2 2 1 2 2 2 E (k x k y k z2 ) (nx n2 n ) y z 2m 2m L2
能级密度：
4V ( 2m ) N (E) 3
3
2
E
（3）电子比热容
k BT CV kB ( 0 ) 2 EF
（I）常温下，电子比热可忽略。大多数电子基本上不 参与热激发，仅有EF0附近的kBT范围内的电子才能激发。 这部分电子仅占全部电子的kBT/EF0。
金属费米能级随温度的变化
金属费米能级随温度的变化金属可以看作是由大量金属原子组成的晶体，其中的电子充分利用晶格的周期性位势而形成能带结构。
在近零温度下，金属内部的电子分布受费米能级的限制，只有能量低于费米能级的电子可以填充到空位中。
但是，随着温度的升高，金属内部的电子分布会发生变化，费米能级也会相应地发生变化。
费米能级是指在零温度下，库仑排斥力和泡利不相容原理共同作用下，电子互相排斥并填充能量较低的能级，最后达到一个最高的能级，这个能级就是费米能级。
费米能级的特征是，它将电子分成两个部分，一部分位于费米能级以下，另一部分位于费米能级以上。
费米能级以下的电子称为“价电子”，能参与导电和化学反应，而费米能级以上的电子称为“导电电子”，几乎不参与化学反应。
随着温度升高，金属内部的电子会获得更多的热能，同时，库仑排斥力和泡利不相容原理的作用也会逐渐减弱。
这就导致费米能级发生了一定程度的移动，而且移动的方向取决于温度和金属的电子性质。
对于一些低温超导体，随着温度升高，费米能级会从价带中逐渐移向导带中，因此导电性会随着温度的升高而变弱。
而对于大多数金属，费米能级则会从导带中向下移动，这就导致导电性和热传导性随着温度的升高而变强。
这种现象可以用来解释为什么金属在高温下容易发生熔化和形变，因为Costello效应减弱了金属的塑性和硬度。
相反，当电子能级随温度升高而下降时，金属的硬度增加，使其更加耐磨和耐热。
对于一些很少见的金属，如一些稀-earth元素和转变金属，费米能级的变化比较独特。
由于这些金属的内部结构比较特殊，它们的费米能级会发生小幅度的变化，而且其他电子属性也可能随之发生变化，这包括电阻、热容量和霍尔系数等等。
为了更好地理解费米能级随温度的变化，我们需要深入研究金属电子的结构和运动规律，以及金属的热物理性质。
这将帮助我们在高温下更有效地利用金属，从而促进工业和科技的发展。
总结本文讨论了在金属中发生的费米能级随温度的变化。
随着温度的升高，费米能级会向上或向下移动，这取决于金属的电子性质。
固体物理第一章第二节 自由电子气体的热性质
2
6
Q( )(k BT ) 2
准确到二级近似，略去高次项得：
I Q( )+
2
6
Q( )(k BT ) 2
取：
H g ( )
则：I = n
此外,我们已知,化学势 和T0时的费米 能量0F非常接近,所以，我们可以将Q()在0F 附近展开，即
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
此外,对于I=n有：
0 F
H ( ) g ( )
0 F
（1） 代入下式，并只取到一级近似
1 0 0 Q( ) Q( )+( - )Q( ) ( - F ) 2 Q( F )+ 2
0 F 0 F 0 F
0 0 0 Q F H ( F ) g ( F )
d Q( ) Q( ) ( g ( )) 0 F d
0 F
代入
I Q( )+
Q( )(k BT ) 2 得到： 6
2 0 F
2
其中
d 2 u u0 ( ) g ( ) [ g ] 0 (kBT ) F 6 d
0 F 0 F
1.计算单位体积电子的能量
自由电子气体在一般温度下单位体积的总能 量（内能）为：
u g ( ) f ( )d
０
这又是费米积分形式
I H ( ) f ( )d
０
且我们已知上式近似为
I Q( )+
0 F
2
6
0 F
Q( )(k BT ) 2
半导体物理简并半导体费米分布
半导体物理简并半导体费米分布
半导体物理中的简并半导体费米分布是指，在某些情况下，费米能级可以接近导带底或价带顶，甚至会进入导带或价带中。
此时，导带中量子态被电子占据或价带中量子态被空穴占据的概率非常小，必须考虑泡利不相容原理的限制，因此玻耳兹曼分布函数不再适用，而必须应用费米分布函数来分析能带中的载流子统计分布问题。
在含施主杂质的n型半导体中，当掺杂浓度较高时，在低温弱电离区，费米能级随温度的增加而上升，并在某个温度下达到最大值，这个最大值可能会超过导带底并进入导带中。
在含受主杂质浓度较高的P型半导体中，同理，费米能级也有可能在某个温度下达到最小值，并进入价带中。
发生载流子简并化的半导体称为简并半导体，简并半导体表现得更接近金属，常见于杂质浓度较高的情况。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的半导体材料和掺杂浓度，以满足不同的应用需求。
4-4 费米统计1
2 (
f )d
第一项积分为1，第二项由于被积函数为奇，对称区域积分为0。
f 1 1 2 2 ( )d e 1 e 1 d 20 e 1 e 1 d 2
2 2e (1 2e 3e 2 ....)d
关于二价金属的费米面
X射线发射谱
• 阴极射线打击原子内层电子产生激发空出内层能级，价电 子向内层跃迁发射光子，表现为X射线的连续谱，谱线强 度取决于能态密度和发射几率。
• T>0K时，随温度升高，靠近费米面 EF0（几个kBT范围）的电子部分跃 迁到费米面之上，EF略小于EF0。
N f ( E ) N ( E )dE f ( E )Q( E ) 0 Q( E )(
• 只有当温度大于绝对零度时，由于热激发，费米面附 近的电子才可能跃迁到费米海以上的空态，但是费米 海深处的电子由于泡利原理的限制，如果没有足够的 能量是不可能跃迁到费米海以上的。当然费米面附近 电子的激发可以是其它形式的能量。
四、电子热容量
电子总能量U Ef ( E ) N ( E )dE f ( E ) R ( E ) 0
1 ds V 4k 2 m V 2m E 2 CE K E 4 3 2 k 2 2 m • 以近自由电子为例，周期性势场的影响主要表现在布里渊区边界 附近，在其它地方只对自由电子情况有较小的修正。因此，第一 布里渊区的等能面从原点向外，开始基本上保持为球面，在接近 布里渊区边界时，同样的 k，E(k)减小了，等能面将向边界凸出， 达到同样的E，需要更大的k。当E 超过在边界上的A 点的能量EA， 一直到 E接近于在顶角 C点的能量 EC，即第一能带顶时，等能面 将不再是完整的闭合面，而成为分割在各个顶角附近的曲面。 N(EA)取极大值，而N(EC)将为零。
固体物理学：第五章 第一节 费米分布函数和自由电子气比热容
在T趋近于0时，电子比热容按照T的线性函数趋于0， 而晶格比热容按照T3趋于0：
令
得到一个温度
以铜为例，取 得到
低于此温度电子比热容占优势。
测金属的低温比热容，一般做Cv/T和T2的曲线，我们 将得到一个直线，斜率即系数b，截距就是γ。
其中称为亥维赛单元函数heavisidestepfunction在基态下所有能量小于或等于费米能的态都被占据而所有能量高于费米能的态都空着费米面就是价电子的最高能量有对于自由电子气有将其代入513得到其中是电子浓度零温下ef只依赖于电子浓度
第五章 金属电子论
§5.1 费米分布函数和自由电子气比热容
其中
是电子浓度，零温下，Ef只依赖于电子浓度。
系统的基态能量为： 每个电子的平均能量为 电子的平均速度为
因为 根据热力学关系，求得电子气的零温压强为
对于一般金属 得到
三、激发态（T<>0K）时，自由电子气的费米能
因为基态费米能是很高的能量，定义费米温度：
它的大小大约在 50,000 K， 室温T相对而言就很低了
对于很多金属，实验测量得到的γ值，与自由电子 模型的符合的很好。也有些材料，两者的偏差是来 自于自由电子气模型过于简单。
理论和实验的电子比热容系数
对于过渡族金属，除了未满的s带之外，还存在未满的 d带，d带是内层电子的窄能带，加之5个d轨道形成的 能带严重交叠，有特别大的特密度。同时d带和s带也 有很大的重叠，费米能位于d带中。因此过渡金属 N(EF)很大，具有很高的电子比热容
因为 第二项中
，上式右边第一项为0， 峰值在Ef处
将Q(E)在费米面处作泰勒展开，准确到第二项：
金属电子论
所以热电子发射电流密度的理论表达式应为：
jx evx dn m3 e 3 3 4
dvy
dvz
vx
dv x 1 mv 2 EF exp 2 kBT 1 dvx
f N Q( E ) dE 0 E
函数 具有δ函数的性质，积分贡 献主要来自E≈EF 附近，Q(E) 在 EF点 附近做泰勒展开，对于近自由电子可 近似给出
2 k T 2 2 T 2 0 0 EF EF 1 B 0 EF 1 12 EF 12 TF
2
Richardson－Dushman公式
其中A为常数，W为功函数（或脱出功），即电子逸出金 属所需克服的势垒。 根据实验数据作图可以得到一条直线，其斜率给出功函数：
j ln 2 T
1 T
对于该实验规律，金属自由电子论可以给出合理的解释。
2 k 2 1 2 k E (k ) mv , v(k ) 2m 2 m
W j AT 2 exp k BT
其中
2 mekB A 2 3 2
W V0 EF
（此即功函数）
在上面的推导中，用到两个积分公式：
mv 2 y exp 2 k BT
2 mv x vx exp 2kBT 2V0 m
2V0 m
m3 e 3 3 4
0 EF dvy dvz vx exp kBT 2V0 m
电子信息材料物理 1-费米分布和热容
第讲第二讲金属电子论教材教材，p2751主要内容•能带理论复习•电子的费米分布•金属电子的输运过程•逸出功与接触电势2布洛赫电子的能量E与n和波矢k都有关系，记为E k。
布都n()能带结构3紧束缚近似原子间相互作用原子能级晶体能带4近自由电子近似周期势场的起伏很小一般的k，类似自由电子，抛物线。
k=n5k nπ/a（布里渊区边界），驻波，能量突变。
能带结构金属绝缘体半导体7能带电子在绝对零度时的分布（基态）•晶体中的电子将将由低到高的填充能带中的能级。
•每个能级上两个电子（自旋向上，向下）。
向下）每个状态只有个电子泡利不•每个状态只有一个电子，泡利不相容原理。
9主要内容•能带理论复习•电子的费米分布•金属电子的输运过程•逸出功与接触电势10电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面费•电子热容教材，p276-286，p220-222262622022211费米能级满足条件 系统总的导带电子数为N，则有：∑=量子态NEf)(即费米分布函数对所有量子态求和等于系统总的电子数。
能带论---导带能级准连续，能态密度函数N(E)来刻画，则：NdEENEf=∫∞0)()(费米能级E F取决于温度T和系统导带电子总数N（严格来说是电子浓度）由上述积分式确定13说是电子浓度），由上述积分式确定。
电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面•电子热容14E 是一个明显界限。
的能态是空的，F 是个明显界限•泡利不相容原理：电子从能量最低状态开始按能量增大的顺序依次占据能级每个能始按能量增大的顺序依次占据能级，每个能级包含两个能态（电子，自旋相反），直到电子填完为止。
E 0表示电子电子填充的最15F 高能级。
电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面•电子热容19⎪⎩>>≈Tk E f B F E -E 0)(1•热激发下，相对0K ，费米能级E 上下几个k T 的区域0.5能F 下个B 的域电子填充状态发生变化----部20电子部分占据电子“热激发”•=E =1.5∼∼定义费米温度T F E F /k B ，E F 1.511eV ，T F 50000K ，室温T=300K ，k B T=0.026eV 。
第八章玻色分布和费米分布
l
2019年9月16日星期一
第八章 玻色统计和费米统计
(8.1.8)
其中,Ξ是系统的巨配分函数。对Ξ取对数，得:
lnΞ lln(1el) (8.1.9) l
式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻 色分布。
2.热力学公式:
按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分 函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。
Ug2h3V(2mkT)3/2KT 0 ex2xdx1
2019年9月16日星期一
第八章 玻色统计和费米统计
将被积函数的分母展开：
e1x 1ex(11ex)
在e 小的情形下，e x是一个小量，可利用下面的公式展开：
1 1ey
1eye2y
JkTlnΞ
(8.1.15)
只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面 的热力学公式得到相应的热力学量。
2019年9月16日星期一
第八章 玻色统计和费米统计
§8.2 弱简并理想玻色气体和费米气体
一般气体满足非简并性条件eα>>1 可用玻 耳兹曼分布来处理。
如果eα很小，但又不能被忽略，则此情形被 称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气 体的差异。
弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理 问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨 论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体， 下面的符号适用于玻色气体。
2019年9月16日星期一
第八章 玻色统计和费米统计
考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒 子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：
2019年9月16日星期一
第八章 玻色统计和费米统计
将(8.1.2)中的两个式子分别写为；
电子气的费米能和热容量课件
汇报人：文小库
2024-01-10
CONTENTS
• 电子气的费米能 • 电子气的热容量 • 费米能与热容量的关系 • 实验测量与理论计算 • 应用与展望
01
电子气的费米能
费米能定义
费米能
费米能是电子气中的最高 可占用的量子态的能量， 是费米子系统中最关键的
物理量。
计算方法
多体效应和量子相变
在强关联系统和量子相变过程中 ，多体效应对费米能和热容量的 影响是一个值得深入探讨的问题 。理解这些影响有助于揭示新的 量子现象和相变机制。
谢谢您的聆听
THANKS
适用范围
费米分布适用于描述低能量的粒子分布，对于高能粒子分布需考虑其他 因素。
03
物理意义
费米分布反映了粒子在特定温度和费米能下的占据概率，是描述费米子
系统的重要统计工具。
费米能与温度的关系
费米能随温度升高而增加
费米能与热容量的关系
随着温度的升高，系统中的粒子能量 增加，因此费米能也会相应增加。
费米能的大小决定了系统的热容量， 费米能越高，系统的热容量越大。
热容量的实验测量方法
热导率测量法
通过测量电子气在不同温度下的热导率， 结合热容量的定义计算热容量。
热电偶法
利用热电偶测量电子气中的温度梯度，结 合热容量的定义计算热容量。
热辐射法
通过测量电子气在不同温度下的热辐射功 率，结合热容量的定义计算热容量。
理论计算模型与实际测量的比较
理想气体模型
01
理想气体模型假设电子气中电子之间无相互作用，理论计算结
热容量变化对费米能的影响
随着热容量的变化，费米能级的位置也会相应地发生变化。
热力学费米分布的推导过程
热力学费米分布的推导过程热力学费米分布的推导过程如下：假设系统中有一组粒子，满足费米-狄拉克统计。
统计物理中的费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态最多只能有一个粒子。
根据泡利不相容原理，每个量子态的粒子数要么为0（无粒子），要么为1（有一个粒子）。
考虑一个费米气体系统，由N个粒子组成，各占据不同的量子态。
假设每个粒子各自的能级为ϵi，共有ω个不同的量子态。
根据费米子的性质，每个粒子的能级都要与其他粒子的能级不同。
我们希望计算出费米分布函数，即粒子占据每个量子态的概率。
设粒子占据第i个量子态的概率为f(i)，则占据其余量子态的概率为1-f(i)。
根据统计物理的定义，粒子占据第i个量子态的概率应满足以下两个条件：1. 粒子在所有量子态上的分布概率之和为1：∑[f(i) + (1-f(i))] = ∑1 = ω2. 粒子在每个量子态上的概率与粒子的占据数之间有关：f(i) + (1-f(i)) = 1，当粒子数大于等于1时；f(i) + (1-f(i)) = 0，当粒子数等于0时。
考虑到不同的量子态是互相独立的，我们可以根据各个量子态的占据概率的独立性，将整个系统的概率分布表示为各个量子态的概率的乘积。
因此，我们定义费米分布函数f(i)为粒子占据第i个量子态的概率。
考虑到泡利不相容原理，每个量子态上最多只能有一个粒子，因此我们可以写出费米分布函数的形式：f(i) = 1 / [exp[(ϵi - μ) / kT] + 1]其中，ϵi为第i个量子态的能量，μ为化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。
费米分布函数的形式给出了粒子占据各个量子态的概率。
当温度趋近于绝对零度时，由于费米分布函数中的指数项非常大，可以将其近似为无穷大，费米分布函数则为0。
这就对应了费米子自由度下的全满能级，即费米能级以下的能级被占满，费米能级以上的能级为空。
以上即为热力学费米分布的推导过程。
费米系统的最概然分布
费米系统的最概然分布
费米系统的最概然分布
费米系统是一种量子力学模型，它被广泛应用于物理和化学的理论研究中。
费米系统的最概然分布是指在一组费米系统中，所有可能的状态的分布情况。
最概然分布可以用两种方法来描述：一种是概率性质上的，另一种是比大小的。
概率性质上的最概然分布指的是，当费米系统的能量状态是定的情况下，各能量态的数量之间的相对比例。
这种比例一般取决于费米系统的总能量，当能量状态是固定的时候，它就可以通过热力学的考虑来得到。
这样，当费米系统的总能量是定的时候，它的最概然分布就可以用“能量分歧”的方法来描述：指的是，每一个系统对应的能量状态，其分歧比例等于它的能量在总体中所占比例的平方（它们的乘积）。
比大小的最概然分布指的是，当系统的总能量是定的时候，能量状态之间的比大小的分布情况。
实际上，这种分布也可以由能量分歧的考虑来得出，但是，当费米系统的总能量不是一个定值的时候，比较大小的最概然分布就不能用能量分歧的方法来描述。
热力学考虑提出了熵在热力学中的一种重要概念，这个概念可以用来描述大小的最概然分布。
在这种情况下，各能量状态的概率就是每个能量状态熵的函数，它们的和的最大值就是费米系统的熵。
以上就是费米系统的最概然分布情况，它们可以用概率性质上的最概然分布和比大小的最概然分布两种方法来描述。
无论是哪种
情况，它们都可以由热力学的考虑来获得，它们都可以用来描述费米系统的总能量分布情况。
讨论固体中原子、电子对热容量的贡献
讨论固体中原子、电子对热容量的贡献固体是由原子或者分子组成的物质，其热容量是指在加热过程中吸收热量的能力。
热容量的大小反映了固体内部粒子的运动自由度，包括原子和电子的运动。
在固体中，原子和电子对热容量的贡献有着不同的特点和机制。
首先，我们来讨论原子对固体热容量的贡献。
固体中的原子由于受到晶格的限制，其运动仅限于振动，即原子在平衡位置附近做小幅度的振动。
这种振动称为晶格振动或者声子振动。
由于原子振动的自由度有限，因此原子对固体热容量的贡献很小。
然而，随着温度的升高，原子的振动会增强，其能量和热容量也会增大。
根据经典统计物理学的理论，固体的热容量与温度的关系可以由爱因斯坦模型或者德拜模型来描述。
爱因斯坦模型假设固体中的每个原子都具有相同的振动频率，且原子之间没有相互作用。
这个模型对于描述固体的低温热容量是比较准确的，但是在高温下的热容量预测就不太准确了。
爱因斯坦模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3Nk [(θE / T)^2 exp(θE / T)] / [(exp(θE / T) - 1)^2]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，N表示固体中的原子数目，k是玻尔兹曼常数，θE是爱因斯坦温度，T是绝对温度。
德拜模型更为复杂，它考虑了固体中的原子之间的相互作用。
德拜模型假设固体中的原子之间可以发生相互作用，且每个原子的振动频率不一样。
德拜模型可以更好地解释高温下固体热容量的行为。
德拜模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3R [(T / θD)^3 ∫0θD/(T / θD) (x^4 exp(x) / (exp(x) - 1)^2) dx]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，R是气体常数，θD是德拜温度，T是绝对温度。
除了原子振动对热容量的贡献外，固体中的电子也对热容量有贡献。
电子是固体中带有负电荷的粒子，其能量受到晶格势场的制约。
在固体中，电子可以在能带中自由运动，其能量由费米能级决定。
费米分布和热容
EF的确定
N
f ( E)g( E) dE
0 0
g( E)
e
( E EF ) / k BT
1
dE
引入一个函数：
s( E)
E
g( E)dE
0
0
g (E) s (E)
'
s(E)表示0E范围内量子态的总数。
N
f ( E)d[s( E)]
0
f ( E)s( E)
EF 0
3 N 2m V
2
2/3
2
2m
3 n
2
2/3
•n=N/V为价电子浓度，T=0k时的费米能EF0仅仅依赖电子浓度n。
•对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，EF0=1.511eV。
某些金属的费米能
金属
EF0/eV
Li
4.72
g ( EF 0 ) V 2m 2 2 2
3/ 2
EF 0
1/ 2
EF 0
2
2m
3 n
2
3/ 2
g ( EF 0 )
mV
2/3
2
2
3 n
2
1/ 3
V 2m 2 2 3
3/ 2
EF 0 N
dN N
ln N
ndeegef???0ndeem2vfe????????21230222?0?nem2vf???????23023223??32???2203?22??????????vvnmmef?????32223?22mn??3?nnv为价电子浓度t0k时的费米能ef0仅仅依赖电子浓度n
费米分布函数的物理意义
费米分布函数的物理意义费米分布函数是描述费米子的微观统计性质的数学工具，它在统计物理、凝聚态物理、量子化学等领域得到了广泛应用。
费米分布函数的物理意义可以从以下几个方面进行解释。
1. 描述费米子的能级填充情况费米分布函数描述了一个系统中的费米子在各个能级上的填充情况。
根据泡利不相容原理，每个能级上只能填充一个费米子，而费米分布函数则指出了对于一个给定能量水平，有多少费米子填充了该能量水平。
具体而言，费米分布函数可以用来计算费米子的平均填充数、平均能量等参数。
从这些参数可以得到费米气体的热力学性质，如温度、压强、热容等。
因此，费米分布函数在描述费米气体的物理性质方面具有非常重要的作用。
2. 描述费米子的动力学行为费米分布函数也可以用来描述费米子的动力学行为。
具体而言，它可以用来计算费米子的概率密度函数和速度分布函数等动力学参数。
这些参数可以用来描述费米子的运动状态、输运性质等。
在实际应用中，费米分布函数在半导体物理、量子输运、超导等领域发挥了巨大作用。
例如，在半导体器件中，费米分布函数可以用来描述电子在材料中的分布和输运行为，从而帮助人们设计更加高效的电子器件。
3. 描述费米子的相互作用费米子之间存在相互作用，这些相互作用可以影响费米子的热力学和动力学行为。
费米分布函数可以用来描述费米子之间的相互作用，并计算其对物理性质的影响。
例如，在超导材料中，费米子之间会形成库伦相互作用，这种相互作用可以导致电子之间的吸引效应，并导致超导现象的发生。
费米分布函数可以用来描述这种相互作用，并计算出超导现象的临界温度等参数。
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2
自由电子：
V 2m g (E) 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
d dE
ln g ( E )
1 2E
EF EF 0
2
6
(k BT )
2
1 2 EF 0
2 k BT 2 EF EF 0 1 ( ) 12 EF 0
上面结果类似级数展开。室温下(kBT/EF0)2项仅104数量级，所以 EF和EF0十分接近。但EF随温度升高的轻微降低往往有重要的影响。
EF 0
3 N 2m V
2
2/3
2
2m
3 n
2
2/3
•n=N/V为价电子浓度，T=0k时的费米能EF0仅仅依赖电子浓度n。
•对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，EF0=1.511eV。
某些金属的费米能
金属
EF0/eV
Li
4.72
3 2
ln E F 0 C
3 dE 2 EF 0
g ( EF 0 )
dN dE
3N 2 EF 0
11
二维正方格子金属费米面
•二维自由电子近似下费米面的半径kF： kF 2n
•当kF远小于/a，即费米面远离布里源区边界。自由电子：球形；近自由 电子近似：球形（略微畸变）
自由电子和近自由电子
E
3/ 2
dE
V 2m 2 2 5
3
EF 0
3/ 2
5/ 2
V 2m 2 2 5 3
E
3/ 2 F0
EF 0
3 5
NEF 0
因此每个自由电子的平均能量为：
E U0 N 3 5 EF 0
4
T0K时的费米能级EF
•有限温度下的费米能级EF不等于EF0！！
能带电子的经典近似
已知能谱E(k)
k 1 E (k ) k
能带电子速度：
能带电子运动方程： 能带电子牛顿方程：
v
F
d (k ) dt
F m a
*
能带电子有效质量：
m
*
2
2 2
E (k ) / k
1
能态密度 g(E)
能态密度定义为单位能量间隔内的状态数，用g(E) 表示。考虑能量在EE+dE之间的状态数为G，则 g(E) 定义为：
(k ) F
2mE ( n) 3
0 F 2
1/ 3
10
费米面附近电子的速度称为费米速度vF:
vF 2 EF m
0
k F m
m
3 n
2
1/ 3
对一般金属，n=102223/cm3，m=10-27g，vF108cm/s。 费米面附近电子气体的能态密度，称费米能态密度:
9
费米面附近的电子状态非常重要！有必要重点讨论。又因为在 kBT << EF0的情况下，EF对EF0偏差很小，故认为EF EF0。
费米能级EF0： EF 0
2
2m
3 n
2
2/3
费米面对应的电子的波矢量称费米波矢kF：
k F ( n) 3
2
1/ 3
费米面电子的动量称费米动量：
g( E)dE
0
g (E) s (E)
'
EF E F 0
2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
8
'
EF E F 0
2
6
(k BT )
2
g ( EF0 ) g ( EF0 )
'
EF 0
d (k BT ) ln g ( E ) 6 dE EF 0
5
EF的确定
N
f ( E)g( E) dE
0 0
g( E)
e
( E EF ) / k BT
1
dE
引入一个函数：
s( E)
E
g( E)dE
0
0
g (E) s (E)
'
s(E)表示0E范围内量子态的总数。
N
f ( E)d[s( E)]
0
f ( E)s( E)
s( E)(
0
f E
)dE
第一项显然等于0，因为当E0时，s(E)0；当E时，f()0。
N s( E)(
0
f E
)dE
6
f (E) e
f ( E) E 1
1
( E E F ) / k BT
1
1
( E EF ) / k BT
k BT [e
N s ( EF )
6
2
(k BT ) s" ( EF )
2
上式右端在EF0处作(EF-EF0)级数展开：
N s ( EF0 ) s ( EF0 )( EF EF 0）
'
6
2
(k BT ) s" ( EF0 )
2
EF 0
s ( EF0 )
g ( E ) dE
•当费米面接近第一布里源区边界（即kF /a）。自由电子近似：由于周 期势作用，布里渊区边界存在能隙，将使费米面畸变。费米面几乎总是垂 直布里渊区边界，并且尖角圆滑化。
•当kF> /a此时，费米面穿过第一布里渊区进入第二布里渊区。形状更为复 杂。 12
f(E)
EF必须满足：
N
f ( E)g( E) dE e
0 0
g( E)
( E EF ) / k BT
1
dE
•假设T升高，EF不变(=EF0)。 热激发使电子在EF0以下能级占 据几率减小， EF0以上能级几率增加，对称变化。 •自由电子，g(E)随E递增，总电子数增加。故EF必须降低。
Na
3.12
K
2.14
Cs
1.53
Al
11.8
Zn
11.0
Cu
7.04
Ag
Au
3
5.51 5.54
“导带电子系统”的基态能量：
U 0 Ef ( E ) g ( E )dE
0 EF 0
Eg ( E )dE
0
EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
3/ 2
0
EF 0
s ( EF0 )( EF EF 0）
'
6
2
(k BT ) s" ( EF0 ) 0
2
N f ( E ) g ( E ) dE
0
g ( E )dE
0
EF EF0
2
6
(k BT )
2
s" ( EF0 ) s ' ( EF0 )
E
s( E)
g ( EF 0 ) V 2m 2 2 2
3/ 2
EF 0
1/ 2
EF 0
2
2m
3 n
2
3/ 2
g ( EF 0 )
mV
2/3
2
2
3 n
2
1/ 3
V 2m 2 2 3
3/ 2
EF 0 N
dN N
ln N
g ( E ) lim G E
E 0
2
设体积V内金属价电子总数为N，则：
f ( E ) g ( E )dE N
V 2m 2 2 3
2
3/ 2
0
EF 0 N
3/ 2
EF 0
0
V 2m 2 2 2
3/ 2
E
1/ 2
dE N
( E EF ) / k BT
1][e
1]
(f/E)特点：非零值集中于EF附 近kBT范围内，且是(EEF)的偶函 数，具有类似函数的特征 。
N s ( E )(
0
f E
)dE
s( E )( E )dE
f
积分的主要贡献来自EF附近的E，积分下限改为-不改变结果。 7