含参数的一元二次不等式的解法专题训练
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专题 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。
解：∵()044222
>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>21|x x 当0 ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22 例2 解不等式()00652 ≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x 分析 本题中由于2 x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。 解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ ≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2 1622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或 例4 解不等式() ()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ =21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩ ⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33> - 例5 解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。⑵当－1 个公共点，不等式的解为方程2 4410x x -+=的根。⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。 解：11,|;4m x x ⎧ ⎫=-≥⎨⎬⎩⎭ 当时原不等式的解集为 ⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1); 34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧ =21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。 小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。 例6 解关于x 的不等式)0(,04)1(22 >>++-a x a ax 思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。 三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例7 解不等式)0( 01)1(2 <<++-a x a a x 变式：0>a 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。本题 只需讨论两根的大小即可。 解：原不等式可化为：()0)1(<- -a x a x ，令a a 1=，可得：1-=a ∴当1- ⎨⎧< a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 时, a a 1> ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧< 例8 解不等式0652 2>+-a ax x ，0≠a 分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小. 解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为 a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0 |23x x a x a ><或