含参数的一元二次不等式的解法专题训练

专题 含参数的一元二次不等式的解法
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按2
x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;
例1 解不等式：()0122
>+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。

解：∵()044222
>+=-+=∆a a a 解得方程 ()0122
=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=a a a x 24222++--= ∴当0>a 时,解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22
例2 解不等式()00652
≠>+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解 ()()032)65(2
>--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x
二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；
例3 解不等式042>++ax x
分析 本题中由于2
x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，2
1622---=a a x ， 显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或
例4 解不等式()
()R m x x m ∈≥+-+014122 解 因,012>+m ()()2223414)4(m
m -=+--=∆ 所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>
-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。

例5 解关于的x 不等式2(1)410()m x x m R +-+≤∈ 分析：当m+1=0时,它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1≠1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：⑴当m<－1时，⊿=4（3－m ）>0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。

⑵当－1<m<3时，⊿=4（3－m ）>0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。

⑶当m=3时，⊿=4（3－m ）=0，图象开口向上，与x 轴只有一
个公共点，不等式的解为方程2
4410x x -+=的根。

⑷当m>3时，⊿=4（3－m ）<0,图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为∅。

解：11,|;4m x x ⎧
⎫=-≥⎨⎬⎩⎭
当时原不等式的解集为 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤≤+--<<-⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-+≤+--≥-<∆=+-+-≠132132|,31132132|1);
34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
=21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为∅。

小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。

⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。

⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。

例6 解关于x 的不等式)0(,04)1(22
>>++-a x a ax
思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。

具体解答请同学们自己完成。

三、按方程02=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<； 例7 解不等式)0( 01)1(2
<<++-a x a
a x 变式：0>a 分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--a x a x ，故对应的方程必有两解。

本题 只需讨论两根的大小即可。

解：原不等式可化为：()0)1(<-
-a x a x ，令a a 1=，可得：1-=a ∴当1-<a 时，a a 1<，故原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<<a x a x 1|； 当1-=a 时，a
a 1=,可得其解集为φ； 当01<<-a 时, a a 1>
,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x a x 1|。

例8 解不等式0652
2>+-a ax x ，0≠a
分析 此不等式()0245222>=--=∆a a a ，又不等式可分解为()0)3(2>--a x a x ，故只需比较两根a 2与a 3的大小.
解 原不等式可化为：()0)3(2>--a x a x ，对应方程()0)3(2=--a x a x 的两根为
a x a x 3,221==，当0a 时，即23a a ，解集为{}a x a x x 23|<>或；当0<a 时，即23a a ，解集为{}
|23x x a x a ><或
四、针对性练习
1、解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x
2、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax
3、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax
1、解：0)2(2>+-+a x a x )(*
()3243240422+≥-≤⇔≥--=∆a a a a 或，
此时两根为()242)2(21a
a a x --+-=，()242)2(22a
a a
x ----=.
（1）当324-<a 时，0>∆，)
(*解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,24
8)2(2a a a )； （2）当324-=a 时，0=∆，)(*解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)； （3）当324324+<<-a 时，0<∆，)(*解集为R ； （4）当324+=a 时，0=∆，)(*解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)；
（5）当324+>a 时，0>∆，)
(*解集为(248)2(,2
+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,24
8)2(2a a a ).
2、解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x
若0<a ，原不等式a
x x a x 10)1)(1(<⇔>--
⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x a
x )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故 （1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；
（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔
x a
； （3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，当0<a 时，解集为{11><x a
x x 或}；当0=a 时，解集为{1>x x }；当10<<a 时，解集为{a x x 11<
<}；当1=a 时，解集为φ；当1>a 时，解集为{11<<x a x }. 3、解：.012<-+ax ax )(*
（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*
（2）0≠a 时，则0042
>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，a
a a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242a
a a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；
③当4-=a 时，0=∆，2
1)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->a
a a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,a
a a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；
当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,2
1); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242a a a a ).。